1、 新高考数学试题 第 1 页（共 32 页） 山东省 2020 年高考押题密卷（5 月） 数 学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分
2、，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求是符合题目要求 1 2 | 314=log3 ,= x AxxBxAB设集合，则 U A0,1 B0,1 C 5 ,8 3 D 5 ,8) 3 2已知 2019 (2) i zi，则复平面内与z对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知(1, 2),A (4, 1),B(3,2),C则cos BAC A 2 10 B 2 10 C 2 2 D 2 2 4我省高考实行 33 模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三， 今年高一的小明与小芳进行
3、选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的概率 为 A 11 40 B 9 20 C 9 10 D 1 2 5已知双曲线C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线与直线x0的夹角为60 ，若以双曲线C的实 轴和虚轴为对角线的四边形周长为22 3，则双曲线 C 的标准方程为 A 2 2 1 3 x y B 22 1 93 xy C 22 1 39 xy D 2 2 1 3 y x 6 1 ( )cossin(3) 3 x x f xx函数的图像大致为 新高考数学试题 第 3 页（共 32 页） 7已知在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
4、 sin2Asin Bsin C0，则 sinsin 2sin BC A 的取值范围为 A 1 1 , 2 2 B 1 0, 4 C 1 0 2 ， D1,1 8已知函数 f(x)x2a，g(x)x2ex，若对任意的 x21,1，存在唯一的 x1 1 ,2 2 ，使得 f(x1)g(x2)，则实数 a 的取值范围是 A,4e B 1 ,4 4 e C 1 ,4 4 e D 1 ,4 4 二、二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求目要求全部选对的得全部选对的得
5、 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错分，有选错的得的得 0 分分 9对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为 A若 ab，则 11 ab B若 ab，则 22 acbc C若a0b，则a2ab0，则 a ca b cb 10将函数( )2sin (sin3cos ) 1f xxxx图象向右平移 3 个单位得函数( )g x的图像则下列 命题中正确的是 A( )f x在(,) 4 2 上单调递增 B函数( )f x的图象关于直线 5 6 x 对称 C( )2cos2g xx D函数( )g x的图像关于点(,0) 2 对称 11如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为a
6、，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF= 2 2 a，以下 结论正确的有 AACBE； B点 A 到 BEF 的距离为定值 C三棱锥 ABEF 的体积是正方体 1111 ABCDABC D体积的 1 12 ； D异面直线 AE，BF 所成的角为定值 新高考数学试题 第 5 页（共 32 页） 12已知函数 2 2 |log (1)|,13 ( ) 129 6,3 22 xx f x xxx ，若方程( )f xm有四个不同的实根 1234 ,x x x x，满 足 1234 xxxx，则下列说法正确的是 A 1 2 1x x B 12 11 1 xx C 34 12xx D 34 (2
7、7,29)x x 第卷 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13函数 ln ( ) x ax f x e 在点(1,(1)Pf处的切线与直线230xy垂直，则a 14如果 n 32 1 3x x 的展开式中各项系数之和为4096，则n的值为_，展开式中x的系数为 _(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 15各项均为正数且公比0q的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 51 4a a， 24 5aa，则 2 5 2 2 n S an 的最小值为_ 16如图所示，三棱锥 ABCD 的顶点 A，B，C，D 都在半径为2同一球面上，AB
8、D 与BCD 为直角三角形，ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 P，Q 分别为线段 AO，BC 上的动点(不含 端点)，且 APCQ，则三棱锥 PQCO 体积的最大值为_ 四、四、解答题：本小题共解答题：本小题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）(开放题)在锐角ABC 中，2 3a ,_，求ABC 的周长 l 的范围 在m cos A 2，sin A 2，n cos A 2，sin A 2，且 1 2 m n ， cos A(2b-c)acos C，f(x)cos xcos x 3 1 4,
9、 1 4 fA 注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解 18 （12 分）已知数列 n a满足 a1a2a3an2n(nN*). （1） n a求数列的通项公式； 新高考数学试题 第 7 页（共 32 页） （2） 2 (1) log n a n bn若g， , 1 () n n nNnS b 求数列的前 项和 19（12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，DEAB，ACBC，BC2AC2，AB 2DE，且 D 点在平面 ABC 内的正投影为 AC 的中点 H （1）证明:ABC面BCE面 （2）求 BD 与面 CDE 夹角的余弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22
10、:1(0) xy Cab ab ，椭圆上的点到焦点的最小距离为22且过点 ( 2,1)P （1）求椭圆C的方程； （2）若过点(3,0)M的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，若点P关于x轴的对称点为 P ，判断直线P Q 是否经过定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由 21 （12 分） 中国制造 2025是经国务院总理李克强签批，由国务院于 2015 年 5 月印发的部署全 面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领。制造业是 国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基。发展制造业的基本方针为质量为先，坚 持把质量作为建设制造强国的生命线。
11、某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与 生产标准的质量差都服从正态分布 2 ( ,)N ，并把质量差在(,) 内的产品为优等品， 质量差在(,2 ) 内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等 品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取 1000 件，测得产品质量差的样本数据统 计如下： （1）根据频率分布直方图，求样本平均数x （2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为 100，用样本平均数x作为 的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率（同一组中的 数据用该组区间的中点值代表） 参考数据：若随机变量服从正态分布 2 ,
12、N ，则： 0.6827P ， 220.9545P，330.9973P 新高考数学试题 第 9 页（共 32 页） （3）假如企业包装时要求把 3 件优等品球和 5 件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子 中摸出三件产品进行检验， 记摸出三件产品中优等品球的件数为 X， 求 X 的分布列以及期望值 22 （12 分）已知 2 ( ) x f xeaxx（0a） （1）讨论 fx 得单调性； （2）已知函数 ( )f x有两个极值点 12 ,x x，求证： 12 2ln2xxa 新高考数学试题 第 11 页（共 32 页） 答案+全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13、 C A D D A A A B BCD AC ABC BCD 1 C 【解析】 5 45331 , 310x8 3 AxxxxxBx x 5 .,8 3 AB 所以 故 选 C. 2A 【解析】因为 2019 (2)1 212 2(2)(2)555 iiii zi iii ,所以 12 55 zi.故选 A. 3D 【解析】(3,1)AB ，(2,4)AC .所以 642 cos 2| |1020 AB AC BAC ABAC .故选 D 4D【解析】今年高一的小明与小芳对六科没有偏好，则基本事件总数 n 33 66 cc400， 他们选课都相同包含的基本事件 m20， 他们选课两项相同包含
14、的基本事件 2 11 64 3 180lc c c 所以他们选课至少两科相同的概率为 P 1 2 .故选 D 5A 【解析】 因为双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线与直线 x0 的夹角为 60 ，所以双 曲线 C 的渐近线方程为 y 3 3 x，所以 b a 3 3 .因为以双曲线 C 的实轴和虚轴为对角线的四边形的 面积为2 2 3 ，所以2a 222 3b ，即 13ab .由 3 3 13 b a ab 解得 3 1 a b 所 以双曲线 C 的标准方程为 2 2 1 3 x y . 6A 【解析】设 1 ( )3 3 x x g x . 则 11 ()33
15、( ) 33 xx xx gxg x . 故sin( ( )sin( ( )gxg x ，所以函数 1 sin(3) 3 x x y 为偶函数， 又函数 cosyx 为偶函数，所以 1 ( )cossin(3) 3 x x f xx为偶函数. 故可排除选项 C、D. 新高考数学试题 第 13 页（共 32 页） 又cos1 0， 1 1 110 sin(3)sin0 33 ，所以 10 (1)cos1 sin0 3 f，故排除 B.综上，选 A. 7A 【解析】 由正弦定理及 sin2Asin Bsin C0，得 a2bc， 根据余弦定理 a2b2c22bccos A， 得 22 2 1 co
16、s abc bcA ， 令 p sinsin 2sin BC A 2 bc a ， 所以bcpa 2， 因此 2222(1 2)ap aacosA4，即 2 41pcosA2， 由题意可知 A 是锐角， 所以 00b，此时 a2ab 故 C 为假命题； 若 cab0，则 c a c b，则 0 ca a b cb，故 D 为真命题 10AC【解析】 2 ( )2sin2 3sin cos1cos23sin22sin(2) 6 f xxxxxxx . 由(,) 4 2 x ，可得 27 2(,) 636 x ，显然函数2sinyt 在 27 (,) 36 上单调递增，所以 A 正确.令2() 6
17、2 xkkZ ，解得() 26 k xkZ .故 B 错误； 将函数图象向右平移 3 个单位，即得函数 新高考数学试题 第 15 页（共 32 页） ( )()2sin2()2sin2cos22 3362 g xg xxxx 的图象.故C 正确； ( )2cos2g xx ，其对称中心为(,0)() 24 k kZ . 当1k 时，对称中心为(,0) 4 .故D 错误. 11ABC 【解析】 对于 A，由 ACBD，ACBB1，可得 AC平面 DD1B1B，故可得出 ACBE，此命 题正确； 对于 B，因为 A 点到平面 DD1B1B 距离是定值，所以点 A 到 BEF 的距离为定值，此命题正
18、确； 对于 C，EF 为定值，B 到 EF 距离为定值，所以BEF 的面积是定值，又因为 A 点到平面 DD1B1B 距 离是定值，故可得三棱锥 ABEF 的体积为定值， 3 1 1221 3 22212 Va aaa 此命题正确； 对于 D，由题图知，当 F 与 B1重合时，此时 E 与上底面中心 O 重合，则两异面直线所成的角是 A1AO，当 E 与 D1重合时，此时点 F 与 O 重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等， 故异面直线 AE，BF 所成的角不为定值，此命题错误 12BCD 【解析】如图，做出函数图象，由 12 ( )()f xf x可得， 2122 |log (
19、1)| |log (1)|xx， 又 12 xx，所以 3132 log (1)log (1)0xx，解得 12 (1) (1)1xx， 即 1 212 x xxx. 显然， (3)1f ，又03x时， ( )0f x ， 因为方程 ( )f xm 有四个不同的实根，所以01m. 因为函数 2 129 6 22 yxx的对称轴为6x， 故由 34 ()()f xf x可得 34 12xx. 解 2 129 60 22 xx，得 67x 或 67x . 所以 3 (3,67)x ， 4 (67,9)x . 新高考数学试题 第 17 页（共 32 页） 22 3433333 (12)12(6)36
20、x xxxxxx 因为 3 (3,67)x ，所以 3 6( 3,7)x ， 所以 34 (27,29)x x . 13 2 e 【解析】直线230xy的斜率 1 2k . 2 ln ( ln )() ( ln ) ( ) () xx xx a ax ax eeax x fx ee 所以 ( )f x在点(1,(1)Pf 处的切线斜率 2 1 (1) aa kf ee . 由已知 12 1kk ，即1 2 a e ，解得 2 e a . 146 1215【解析】 令 x1，可得44096 n ，所以 n6， n 32 1 3x x 的展开式的通项为 5 6 2 32 66 33 1 () nn
21、n n n n x x CxC 66 ,令 5 61 2 n ，得 n2. 所以展开式中 x 的系数为 24 63 1215c 158【解析】 因为 51 4a a， 24 5aa，且等比数列an的公比0q， 所以 24 1,4aa 则 4 2 2 a q a ，首项 1 1 2 a ， 所以 Sn a11qn 1q 1 1 2 2 n ，通项 ana1qn 1 2 2n ， 所以 2 1 1 5 42 242 448 22 n n n S an 当且仅当 1 1 4 2 2 n n ，即 n2 时等号成立， 所以当 n2 时， 2 5 2 2 n S an 的最小值为 8. 16 1 12【
22、解析】 ABD 与BCD 为直角三角形 BD 过球心 O，又球的半径为 2 新高考数学试题 第 19 页（共 32 页） BD2 2，ABC 是边长为 2 的等边三角形， AOBOCO 2，BO2CO2BC2， BOCO，BCD 是等腰直角三角形， 同理，AO2CO2AC2AOCO， AO2BO2AB2AOBO， 又COBOO，CO，BO 在平面 BCD 内， AO平面 BCD， 即 PO平面 CQO， 设 APCQx(0x 2)， SQCO 1 2CQ CO sin 45 1 2x， 则三棱锥 PQCO 的体积 V 1 3 1 2x( 2x) 1 6x( 2x) 1 6 x 2x 2 2 1
23、 12， 当且仅当 x 2x，即 x 2 2时取等号 17 （本小题满分 10 分） 【解析】若选，m cos A 2，sin A 2 ，n cos A 2，sin A 2 ，且 1 2 m n 22 11 cossin,cos0, 222223 AA AAA .（3 分） 2 4,4sin4sin2 3 sin3 ABC a lBB A 4 3sin2 3 6 ABC lB .（6 分） = 36 2 ABCAB 锐角且， 2 ,62 3,6 3 633 ABC Bl .（10 分） cos A(2b-c)acos C 1 2 coscoscos2 coscos 2 bAaCcAbAbA 新
24、高考数学试题 第 21 页（共 32 页） 0, 23 AA .（3 分） 2 4,4sin4sin2 3 sin3 ABC a lBB A 4 3sin2 3 6 ABC lB = 36 2 ABCAB 锐角且， 2 ,62 3,6 3 633 ABC Bl .（10 分） f(x)cos x 1 2cos x 3 2sin x 1 4 1 2cos 2x 3 2cos xsin x 1 4 1 2 1cos 2x 2 3 2 sin 2x 2 1 4 1 2 1 2cos 2x 3 2sin 2x 1 2sin 2x 6 ， 11 sin 2 462 fAA 0, 23 AA .（5 分）
25、 2 4,4sin4sin2 3 sin3 ABC a lBB A 4 3sin2 3 6 ABC lB = 36 2 ABCAB 锐角且， 2 ,62 3,6 3 633 ABC Bl .（10 分） 18 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）当 n1 时， 1 2a 新高考数学试题 第 23 页（共 32 页） 当2n时 a1a2a3 1n a 1 2n -得 1 2n n a 经检验 1 a不符合上式 1 2,1 2,2 n n n a n .（6 分） （2）由（1）得当 n1 时 1 2b 当2n时 n2n bn 1log a11nn（）, n 11111 2 b11211 n
26、 nnnn . n 12n 111521 . bbb421 n S n n .（12 分） 19 （本小题满分 12 分） 【解析】（1）取 BC 的中点 F，连接 EF，HF. H，F 分别为 AC，BC 的中点， HFAB，且 AB2HF. 又 DEAB，AB2DE， HFDE 且 HFDE， 四边形 DEFH 为平行四边形 EFDH， 又 D 点在平面 ABC 内的正投影为 AC 的中点 H， DH平面 ABC， EF平面 ABC，EFBCE 面ECBABC面面.（5 分） （2）DH平面 ABC，ACBC， 以 C 为原点，建立空间直角坐标系, 则 B(0,2,0)，D 1 2，0，1
27、 ， 0,1,1E 设平面 CDE 的法向量n(x，y，z)， 新高考数学试题 第 25 页（共 32 页） CD 1 2，0，1 ，CE 0,1,1， 则 1 0 2 0 xz yz 取 y1，则 x2，z-1. n(2,1,1)， 1 , 2,1 2 BD 2 14 sincos, 21 BD n BD n BD n BD 与面 CDE 夹角的余弦值为 385 21 .（12 分） 20 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由题意 22 22 222 ( 2)1 1 22 ab ac abc ，解得 2 2 2 a b c ， 故椭圆C的方程为 22 1 42 xy .（4 分） （
28、2）设 11 ( ,)P x y、 22 (,)Q xy. 将直线与椭圆的方程联立得： 22 3 1 42 yk x xy ， 消去y，整理得 2222 (21)121840kxk xk. 由根与系数之间的关系可得： 2 12 2 12 21 k xx k ， 2 12 2 184 21 k x x k . 点P关于y轴的对称点为 P ，则 11 ( ,)P xy 直线P Q 的斜率 21 21 yy k xx 方程为： 21 11 21 () yy yyxx xx ，即 2121 11 2121 () yyxx yxxy xxyy 新高考数学试题 第 27 页（共 32 页） 2121121
29、1 2121 ()() () yyyy xxx y x xxyy 211221 2121 () yyx yx y x xxyy 211221 2121 (3)(3) () (3)(3) yyx k xx k x x xxk xk x 211212 2112 23() () 6 yyx xxx x xxxx 22 22 21 2 21 2 18412 23 2121 () 12 6 21 kk yy kk x kxx k 21 21 4 () 3 yy x xx . 直线P Q 过x轴上定点 4 ( ,0) 3 （12 分） 21 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1） 4656566666
30、76 0.010 100.020 100.045 10 222 x 76868696 0.020 100.005 10 22 70.（3 分） （2）由题意样本方差 2 100s ，故 2 10s . 所以 2 (70,10 )XN， 由题意，该厂生产的产品为正品的概率 (6090)(6070)(7090)PPXPXPX 1 (0.68270.9545)0.8186 2 .（6 分） （3）X 所有可能为 0,1,2,3. 03 35 3 8 5 0 28 C C P X C 12 35 3 8 15 1 28 C C P X C 21 35 3 8 15 2 56 C C P X C 30
31、35 3 8 1 3 56 C C P X C .（10 分） 新高考数学试题 第 29 页（共 32 页） X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 9 8 E X .（12 分） 22 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1） 21 x fxeax，记( )( )21 x g xfxeax，则( )2 x g xea. 由( )0g x ，即20 x ea ，解得ln2xa. 当ln2xa时， ( )0g x ，函数 ( )g x单调递减； 当ln2xa时， ( )0g x，函数( )g x单调递增.（4 分） （2）由题意，函数 ( )f x有
32、两个极值点 12 ,x x，记函数( )g x有两个零点 12 ,x x，不妨设 12 xx ， 则 1 (,ln2 )xa ， 2 (ln2 ,)xa. 所以 12 ln2xax 记 ( )( )(2ln2)p xg xgax 2ln2 22 (2ln2) xa x eaxeaax 2 (2 )44 ln2 xx ea eaxaa 2 ( )(2 )4 xx p xea ea 由均值不等式可得 2 ( )2(2 )4440 xx p xea eaaa （当且仅当 2 (2 ) xx ea e，即 ln2xa时，等号成立）. 所以函数( )p x在R上单调递增. 由 2 ln2xa，可得 2 ()(ln2 )0p xpa，即 22 ()(2ln2)0g xgax， 又因为 12 ,x x为函数( )g x的两个零点，所以 12 ( )()g xg x， 所以 12 ( )(2ln2)g xgax， 又 2 ln2xa，所以 2 2ln2ln2axa， 又函数( )g x在(,ln2 )a上单调递减， 新高考数学试题 第 31 页（共 32 页） 所以 12 2ln2xax，即 12 2ln2xxa.（12 分）
