1、高三数学第 1 页共 6 页20222023 学年度高三年级第一学期期末教学质量调研数数 学学 试试 题题一一、单单项项选选择择题题：本本大大题题共共 8 8 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共共计计 4 40 0 分分在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一个个是是符符合合题题目目要要求求的的1 设集合2230Ax xx，2logBx yxa，若AB，则实数 a 的取值范围为()A3 ，B1 3，C1，D1，2 已知复数z满足1i3iz，则z的虚部为()A1B1CiDi3 设等比数列 na的前 n 项和为nS，已知13a，633SS，则7a()A6B12C18D4
2、84 已知向量a，b满足3a b，2abaa，则a()A5B1C2D35 设22log 3a，0.212b，1sin2c，则()AcbaBbacCcabDbca6 已知函数 3sin06f xx的图象向左平移0 个单位长度后与其导函数 yfx的图象重合，则 f的值为()A0B32C62D7 在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美如图所示的是清代诗人黄柏权的茶壶回文诗，其以连环诗的形式展现，20 个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作 数学与生活也有许多奇妙的联系，高三数学第 2 页共 6 页如 2020 年 02 月 02 日（20200202）
3、被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把 20200202 这样的对称数叫回文数，如 11，242，5225 都是回文数，则用 0，1，2，3，4，5 这些数字构成的所有三位数的回文数中能被 3 整除的个数是()A8B10C11D138 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：222210 xyabab的左，右焦点分别是 F1，F2，点 P 是椭圆 C 上一点，点 Q 是线段 PF1靠近点 F1的三等分点，若 OPOQ，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A112，B212，C1322，D312，二二、多多项项选选择择题题：本本大大题题共共 4 4 小小题题，每每
4、小小题题 5 5 分分，共共计计 2 20 0 分分在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求全全部部选选对对的的得得 5 5 分分，部部分分选选对对的的得得 2 2 分分，有有选选错错的的得得 0 0 分分9 下列统计量中，用于测度样本的集中趋势的有()A中位数B平均数C众数D标准差10一口袋中有除颜色外完全相同的 3 个红球和 2 个白球，从中无放回的随机取两次，每次取 1 个球，记事件 A1：第一次取出的是红球；事件 A2：第一次取出的是白球；事件 B：取出的两球同色；事件 C：取出的两球中至少有一个红球，则()A事件 A1，A2为互斥事件B事件 B，
5、C 为独立事件C 25P B D234P C A11在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，设1BPBD ，其中0 1，则()APC1A1DBPA1与平面 ABD1所成角的最大值为3C若12，则平面 PAC平面 A1C1DD若PAC 为锐角三角形，则213，高三数学第 3 页共 6 页12 设定义在 R 上的函数 f x与 g x的导数分别为 fx与 gx，已知 31f xgx，1fxgx，且 fx关于直线1x 对称，则下列结论一定成立的是()A 20f xfxB 20fC11gxgxD 20gxgx三三、填填空空题题：本本题题共共 4 4 小小题题，每每小小题题 5 5 分分，共
6、共计计 2 20 0 分分13已知12nxx的展开式中各二项式系数之和为 64，则其展开式中的常数项为_14 已知抛物线220ypx p的焦点为F，过F且斜率为3直线与抛物线在第一象限交于点A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，若AMF 的面积为4 3，则p _15已知函数 220ln0 xaxa xf xxax x，恰有三个零点，则实数a的取值范围是_16在平行四边形 ABCD 中，1AB，5AD，ABBD，将ABD 沿 BD 折起到PBD 的位置，若二面角 PBDC 的大小为 120，则四面体 PBCD 的外接球的表面积为_四四、解解答答题题：本本大大题题共共 6 6 小小题题，共共 7
7、70 0 分分解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤17(本小题满分 10 分)在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答2241nnnaaS；1111nnaannn n已知nS为数列 na的前n项和，满足11a，0na，_（1）求数列 na的通项公式；（2）设cos nnbSn，求数列 nb的前21n 项和21nT高三数学第 4 页共 6 页18(本小题满分 12 分)为了进一步加快推进学生素质教育，丰富学生的课余生活，挖掘学生的动手动脑潜力，学校在高一年级进行了一次“变废为宝”手工作品评比，对参赛作品进行统计得到如下统计表：不合格合格合计女生
8、120100220男生305080合计150150300（1）运用独立性检验的思想方法判断：能否有 99%以上的把握认为性别与作品是否合格有关联？并说明理由（2）学校为了鼓励更多的同学参与到“变废为宝”活动中来，决定通过 3 轮挑战赛评选出一些“手工达人”，3 轮挑战结束后，至少 2 次挑战成功的参赛者被评为本学期的“手工达人”已知某参赛者挑战第一、二、三轮成功的概率分别为34，12，13，求该参赛者在本学期 3 轮挑战中成功的次数 X 的概率分布及数学期望 E(X)参考公式：22n adbcabcdacbd，nabcd20Px0.0250.0100.0050.0010 x5.0246.635
9、7.87910.828高三数学第 5 页共 6 页19(本小题满分 12 分)在ABC 中，ACB 的平分线 CM 与边 AB 交于点 M，且 AMCM1（1）若6A，求ABC 的面积 S；（2）求AM MCBM 的最小值20(本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，底面ABC 是边长为 2 的正三角形，A1CA1B，平面 A1BC平面 ABC，M 是棱 B1C1的中点（1）证明：AC1平面 A1BM；（2）若四棱锥 A1BCC1M 的体积为32，求二面角 A1BMC 的余弦值ABCA1B1C1M高三数学第 6 页共 6 页21(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xO
10、y 中，已知圆 E：2224xy和定点2 0F，P 为圆E上的动点，线段 PF 的垂直平分线与直线 PE 交于点 Q，设动点 Q 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程；（2）设曲线 C 与 x 轴正半轴交于点 A，过点 T(t，0)(1t1)的直线 l 与曲线 C 交于点M，N（异于点 A），直线 MA，NA 与直线 xt 分别交于点 G，H若点 F，A，G，H四点共圆，求实数 t 的值22(本小题满分 12 分)已知函数 lnf xa x，1 exg xx，其中 a 为实数（1）若函数 f x，g x的图象在1x 处的切线重合，求 a 的值；（2）若ea，设函数 h xf xg x的极值
11、点为 x0求证：函数hx有两个零点 x1，x2(x1x2)；3x0 x1 x2 1第 1 页 共 10 页 20222023 学年度高三年级第一学期期末教学质量调研 数数 学学 试试 题题 参参 考考 答答 案案 及及 评评 分分 标标 准准 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 4040 分 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的分 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 C A B D A D B A 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本
12、大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 2020 分在每小题给出的选项中，有分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 题号题号 9 10 11 12 答案答案 ABC ACD ABD BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 2020 分分 题号题号 13 14 15 16 答案答案 60 2 10e，8 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，
13、共 7070 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分本小题满分 10 分分)【解】（1）选，2241nnnaaS+=，则2+1+1+1241nnnaaS+=，故22+1+1+1422nnnnnaaaaa+=，即()22+1+12nnnnaaaa+=，因0na，10nnaa+，所以12nnaa+=为定值，故数列 na是首项11a=，公差为2d=的等差数列，所以21nan=5 分 选，因为()1111nnaannn n+=+，故11111nnaannnn+=+，第 2 页 共 10 页 所以1111nnaann+=+，故数列1nan+
14、是常数列，所以11121naan+=，故21nan=5 分（2）由（1）知21nan=，2nSn=，故()22cos 1nnbnnn=，所以()()2122222211234121nnTn=+()()()()123452221nn=+()()123452221nn=+()()2222112nn+=22nn=+10 分 18(本小题满分本小题满分 12 分分)【解】（1）提出假设 H0：性别与作品合格与否无关 22300(120 5030 100)6.8186.635150 150220 80=，当0H成立时，()26.6350.01P=，所以有 99%的把握认为性别与作品是否合格有关 5 分（
15、2）X 的所有可能值分别为 0，1，2，3()1121042312P X=，()312112111314234234238P X=+=，()3123111115242342342312P X=+=，()311134238P X=9 分 故 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 112 38 512 18 第 3 页 共 10 页()135119 012312812812E X=+=，11 分 所以参赛者在 3 轮挑战中成功的次数 X 的数学期望为1912次 12 分 19(本小题满分本小题满分 12 分分)【解】（1）在AMC 中，AMCM16A=，所以6ACM=，又 CM 是ACB 的平
16、分线，所以23ACBACM=，6BCM=，故2BAACB=，在 RtCBM 中，CM1，6BCM=，故12BM=，32BC=，所以ABC 的面积11133 3122228SAB BC=+=5 分（2）设A=，则ACMBCM=，2CMB=，3B=，所以00203，解得03，7 分 在CBM 中，据正弦定理，得sinsinBMCMBCMB=，得()sinsinsinsinsin 3sin3BCMBMCMB=，所以cosAM MCBMAM MCCMBBM+=+sinsincos2cos2sin3sin cos2cos sin2=+=+2sincos2sin cos22sin sin=+211cos2
17、cos2cos22cos2cos21=+=+2cos21112cos212+=+10 分 第 4 页 共 10 页 2cos211122cos212+122=，当且只当2cos21122cos21+=+，即12cos2+=时，不等式取等号 所以AM MCBM+的最小值为122 12 分 20(本小题满分本小题满分 12 分分)【解】（1）连接 AB1交 A，B 于 N，连接 MN 在三菱柱 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1平行四边形，又11ABABN=，所以 N 是1AB中点，在AC1B1中，M 是的 B1C1中点，所以 MNAC1，又MN 面1ABM，1AC 面1ABM，所以 AC
18、1平面 A1BM 5 分（2）法法一一：取 BC 的中点 O，连接OA，1OA 在A1CB 中，11ACAB=，O 为 BC 的中点，所以1AOBC，又面1ACB 面ABC，1AO 面1ACB，面1ABC面ABCBC=，所以1AOABC面 7 分 在三菱柱 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1是平行四边形，因为 M 是棱 B1C1的中点，故1113MBBBCC MSS=，又1132ABCC MV=，所以11111132ABMBABCC MVV=，所以1112B A MBV=，即1111132A MBSAO=，而111113=23=2222A MBABCSS，所以13AO=9 分 A B
19、C A1 B1 C1 M N A B C A1 B1 C1 M z x y O N 第 5 页 共 10 页 以 O 为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建 立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，故，O 0 0 0)(，B 0 1 0)(，A 0 031)(，C 01 0)(，M3 03)(所以，=BA0131)(，=BM313)(设平面ABM1的法向量，=mx y z)(，则，mBMmBA1即，+=+=xyzyz33030取=z1，得，=yx30 所以，=m03 1)(是平面ABM1的一个法向量，同理，=n1 0 1)(是平面 BMC 的一个法向量，所以，+
20、=+mnm nm n0311014cos0 1301 1222222)(，设二面角ABMC1的大小为，由图可知，=m n4coscos2，所以二面角ABMC1的余弦值为42 12 分 法二：法二：取 BC 的中点 O，连接OA，OA1 在A1CB 中，=ACAB11，O 为 BC 的中点，所以AOBC1，又面ACB1面ABC，AO1面ACB1，面ABC1面=ABCBC，所以面AOABC1 7 以 O分为坐标原点，OA，OB，OA1立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz所在直线分别为 x 轴，y，故，O 0 0 0)(，B 0 1 0)(，C 01 0(设，Ah0 01)(，则，Mh3 0)(，h
21、0，设平面BCC M1的法向量，=nx y z)(，)x轴，z轴，建第 6 页 共 10 页 则nOBnOM，即030yxhz=+=，取xh=，得3xhz=，所以()03nh=，是平面1BCC M的一个法向量，所以点1A到平面1BCC M的距离1233OA nhdnh=+，因为1132ABCC M=V，所以()221 1331233 223hhh+=+，解得3h=，故()3 03M，()03nh=，9 分 同理可得()03 1m=，是平面1ABM的一个法向量，所以()222220 1301 12cos4031101m nm nmn+=+，设二面角1ABMC的大小为，由图可知，2coscos4m
22、 n=，所以二面角1ABMC的余弦值为24 12 分 法法三三：取 BC 的中点 O，连接OA，1OA，OM，过 A1作 A1GOM，A1HBM，垂足分别为 G，H，连结 GH 在A1CB 中，11ACAB=，O 为 BC 的中点，所以1AOBC，又面1ACB 面ABC，1AO 面1ACB，面1ABC面ABCBC=，所以1AO 面ABC 7 分 又OA面ABC，所以1OA OA 设1OAa=，则213AAa=+在等边ABC 中，O 为 BC 的中点，所以OABC，又1OAOAO=，1OA，OA面 OAA1，所以BC 面 OAA1，因为 AA1面 OAA1，所以BC AA1，在三菱柱 ABCA1
23、B1C1中，AA1CC1，四边形 BCC1B1是平行四边形，A B C A1 B1 C1 M O G H 第 7 页 共 10 页 所以四边形 BCC1B1是矩形，CC1AA1OM23a+，故四边形 BCC1M 的面积为()2213123322aa+=+因为1AO 面ABC，故1AO 面111ABC，又1AM 面111ABC，所以1AO 1AM 在 RtOA1M 中，111233OAAMaAGOMa=+因为BC 面OAA1，即BC 面OAA1M，1AG 面OAA1M，所以1AGBC，又A1GOM，OMBCO=，OM，BC面BCC1M，所以A1G面BCC1M，所以四棱锥 A1BCC1M 的体积为
24、22133333223aaa+=+，解得3a=，所以162AG=，12AB=，16CC=，22117BMBBMB=+=，所以22211ABAMBM+=，11ABAM，所以1112 217ABAMAHBM=因为 A1G面 BCC1M，BM面 BCC1M，所以 BMA1G，又 BMA1H，111AGAHA=，1AG，1AH面 A1GH，所以 BM面 A1GH，又 GH面 A1GH，所以 BMGH，所以1AHG是二面角1ABMC的平面角 10 分 在 RtA1GH 中，1116142sin42 217AGAHGAH=，所以2211142cos1sin144AHGAHG=所以二面角1ABMC的余弦值为
25、24 12 分 21(本小题满分本小题满分 12 分分)【解】（1）因为 Q 在线段 PF 的中垂线上，所以QPQF=，第 8 页 共 10 页 故224QEQFQFEPQFEF=，所以点 Q 的轨迹是以 E，F 为焦点的双曲线，其焦距24c=，2c=，且22a=，1a=，故2223bca=，所以曲线 C 的方程为2213yx=5 分（2）设直线 l：xmyt=+，()11M xy，()22N xy，联立方程组2213xmytyx=+=，整理得()222316330mymtyt+=，则()()22 222310364 31 330mm tmt =，且12221226313331mtyymty
26、ym+=，7 分 因为 F，A，G，H 四点共圆，所以HAFHGF+=，又HAFTAH+=，所以TAHTGF=，故Rt TAHRt TGF，所以THTFTATG=，即TA TFTH TG=，所以()()12GHttyy=又直线AM：()1111yyxx=，令xt=，得()1111Gtyyx=，同理()2211Htyyx=，故()()()()()()2212121212111111GHy yy yy yttxxmytmyt=+()()()2222222233311336113131tmttmtmm ttmm=+()()()()222311313 11ttttt+=，其中11t ，所以()()()
27、2123 1ttt=，解得14t=，第 9 页 共 10 页 所以实数 t 的值为14 12 分 22(本小题满分本小题满分 12 分分)【解】（1）()lnf xa x=，0 x，()afxx=，故()1 fa=，()()1 exg xx=，()exgxx=，()1eg=，因为函数()f x，()g x的图象在1x=处的切线重合，故()()()()1 111ffgg=，解得ea=2 分（2）()()()()ln1 exh xf xg xaxx=，0 x，则()exah xxx=，其中ea，又()2()e10 xah xxx=+，故()hx在()0+，上单调递减，据()1e0ha=，()1e0
28、ah aa=，故()01xa，且当()00 xx，时，()0hx，()h x在()00 x，上单调递增，当()0+xx，()0hx，()h x在()0+x，上单调递减，由（1）知，()10h=，故11x=，所以()()010h xh=下面证明()()()111ln1eln1e0aah aaaaaa+=+=+，令()ln1xxx=+，0 x，()111xxxx=，当()0 1x，时，()0 x，()x在()0 1，上单调递增，当()1+x，()0 x，()x在()1+，上单调递减，故()()10 x=，即ln1xx，当且仅当1x=时取等号，所以()ln11 1aaa+=，第 10 页 共 10
29、页 且+xxln1)(，+xxe1，+=+aaae1 121，所以+=+=+h aaaa aaaa1ln1e2201)()()(，故存在，+xxa120)(，使得=h x0)(综上所述，h x)(在，0+)(上存在两个零点=x11，+xxa120)(7 分 要证xxx31012，即证xx3202，因为x2是函数h x)(的零点，故=axxxln1 e222)(，又x0是函数h x)(的极值点，故=xxaxe000，所以=xxxxxeln1 e02220)(，=xxxxx1eln022220，又=xxxx111ln12222，所以xxx1e0220，即xxxe12ln200，所以xxx2ln0200，所以xxxx2ln212000)(，即xx3202，得证 12 分
