1、第三章 数 列第第1717课时课时 等差等比数列的基本等差等比数列的基本 概念及运算概念及运算 1.1.定义：从第定义：从第2 2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的差差等于等于同一个常数同一个常数的数列，叫做的数列，叫做等差数列等差数列，这个常数叫做等，这个常数叫做等差数列的差数列的公差公差，通常用字母，通常用字母 d 表示表示.1nnaa常数 an n 等差数列等差数列1(1)naand()nmaanm d2.2.通项公式：通项公式：推广：推广：知识要点知识要点变式：变式：mnaadnaadmnn,111()2nnn aaSdnnna2)1(13.3.前前n n项和公式：项
2、和公式：dnnnan2)1(2abA 如果如果a，A，b成等差数列，那么成等差数列，那么叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项.1.1.定义：从第定义：从第2 2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的比比等于等于同一个常数同一个常数的数列，叫做的数列，叫做等比数列等比数列，这个常数叫做等，这个常数叫做等比数列的比数列的公比公比，通常用字母，通常用字母 q 表示表示.2.2.通项公式：通项公式：qaann1)(*112Nnaaaannnn11nnqaa),(*Nnmmnqaamnmn、)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnnacb;xqxqx、33xqxqqxqx、
3、例例1.在等差数列在等差数列an中中,已知已知a5=10,a12=31,求通项求通项an.分析分析:此题已知此题已知a5=10,n=5;a12=31,n=12分别代入通项分别代入通项公式公式an=a1+(n-1)d 中中,可得两个方程可得两个方程,都含都含a1与与 d 两个未两个未知知 数组成方程组数组成方程组,可解出可解出a1与与d.这里采用待定系数法，这里采用待定系数法，通过解方程通过解方程(组组)，求出首，求出首项项a1和公差和公差d，体现了方，体现了方程思想，是数学中常用程思想，是数学中常用的解题思想方法的解题思想方法.解：设解：设an=a1+(n-1)d，则有则有 a1+4d=10
4、(1)a1+11d=31 (2)解得解得 a1=-2,d=3,所以所以,an=-2+(n-1)3=3n-5例例2.已知数列的通项公式为已知数列的通项公式为an=pn+q,其中其中p、q是常数是常数,且且 p0,那么这个数列是否为等差数列？如果是那么这个数列是否为等差数列？如果是,其首其首项与公差是什么？项与公差是什么？解：取数列解：取数列 an 中的任意相邻两项中的任意相邻两项an-1,an(n2)，an-an-1=(pn+q)-p(n-1)+q =pn+q-(pn-p+q)=p 它是一个与它是一个与n无关的常数，所以无关的常数，所以 an 是等差数列，是等差数列，且公差是且公差是p.在通项公
5、式中令在通项公式中令n1，得，得a1pq，所以这个，所以这个等差数列的首项是等差数列的首项是 pq，公差是，公差是 p.则则 (x-d)+x+(x+d)=15 (x-d)2+x2+(x+d)2=83所求三个数分别为所求三个数分别为3，5，7或或7，5，3.解得解得 x5，d2.解：设此三个数分别为解：设此三个数分别为 x-d，x，x+d，例例3.已知三个数成等差数列，其和已知三个数成等差数列，其和15，其平方和为，其平方和为 83，求此三个数，求此三个数.它们的比为它们的比为3:4:5.直角三角形三边长分别为直角三角形三边长分别为3d,4d,5d，a=3d (a=-d舍去舍去)，即即a2-2a
6、d-3 d 2=0，亦即亦即(a-3d)(a+d)=0，由勾股定理得：由勾股定理得：(a+2d)2=a2+(a+d)2,解解:设直角三角形三边长分别为：设直角三角形三边长分别为：a,a+d,a+2d (a0,d0)，例例4.已知直角三角形三边长成等差数列，试求其三边已知直角三角形三边长成等差数列，试求其三边之比之比.例例4.已知直角三角形三边长成等差数列，试求其三边已知直角三角形三边长成等差数列，试求其三边之比之比.另解另解:设直角三角形三边长分别为：设直角三角形三边长分别为：a-d,a,a+d (ad0)，由勾股定理得：由勾股定理得：(a+d)2=a2+(a-d)2,即即a2-4ad=0，亦
7、即亦即a(a-4d)=0，a=4d (a=0舍去舍去)，直角三角形三边长分别为直角三角形三边长分别为3d,4d,5d，它们的比为它们的比为3:4:5.（2）1.2，2.4，4.8，,135)3(5144a.405)3(5155a,6.922.1144a.2.1922.1155a（1）5，-15，45，,83,21,32)3(,3294332144a5 152327.34128a11nnqaa例例5.求下列等比数列的第求下列等比数列的第4，5项：项：例例6.设设 a,b,c,d 均为非零实数，均为非零实数，求证：求证：a,b,c成等比数列且公比为成等比数列且公比为d.a,b,c成等比数列成等比数
8、列证证:关于关于d 的二次方程的二次方程 有实根有实根0222222cbdcabdba22222244()()0bacabbc 220bac20bac则必有：2bac即设公比为设公比为q，则，则b=aq，c=aq2代入得代入得:02422222222qaqadaqaaqdqaa2210qa2220dqdq0dq即是0222222cbdcabdba例例6.设设 a,b,c,d 均为非零实数，均为非零实数，求证：求证：a,b,c成等比数列且公比为成等比数列且公比为d.0222222cbdcabdba另证：另证：2222220abdb ac dbc 222222220a dabdbb dbcdc22
9、0adbbdcadbbdc,a b c d是非零实数bcdaba,b,c成等比数列成等比数列且公比为且公比为d.例例7.已知数列已知数列an，.)2(81,2*nnnaSNa（1）求证：）求证：an是等差数列；是等差数列；（2）若）若b1=1，b2=4，bn前前n项和为项和为Bn，且，且 Bn+1=（an+1-an+1)Bn+(an-an+1)Bn-1(n2),求求bn的的通项公式通项公式.例例7.已知数列已知数列an，.)2(81,2*nnnaSNa（1）求证：）求证：an是等差数列；是等差数列；解解:(1)an+1=Sn+1-Sn221)2(81)2(81nnaa8an+1=(an+1+2
10、)2-(an+2)2(an+1-2)2-(an+2)2=0(an+1+an)(an+1an-4)=0an ,an+1+an 0N*an+1-an-4=0即即an+1-an=4数列数列 an 是等差数列是等差数列.)2(81,2*nnnaSNa（2）若）若bn=1，b2=4，bn前前n项和为项和为Bn，且，且 Bn+1=（an+1-an+1)Bn+(an-an+1)Bn-1(n2),求求bn的的通项公式通项公式.Bn+1=5Bn-4Bn-1Bn+1-Bn=4(Bn-Bn-1)bn+1=4bn(n2)又已知又已知b1=1,b2=4,例例7.已知数列已知数列an，解解（2）由由an+1-an=4，由题设知，由题设知故故bn是首项为是首项为1，公比为，公比为4 的等比数列的等比数列.bn=4n-1(n N*)
