1、旧知回顾 定性研究和定量研究相结合是问题的定性研究和定量研究相结合是问题的一般方法前面几讲，我们对球面三角形一般方法前面几讲，我们对球面三角形的边角关系进行了定性研究，得出了的边角关系进行了定性研究，得出了“两两边之和大于第三边边之和大于第三边”“”“大边对大角大边对大角”“”“等等边对等角边对等角”等结论等结论新课导入 我们知道，平面三角形的边角之我们知道，平面三角形的边角之间存在定量的边角关系间存在定量的边角关系:正弦定理、正弦定理、余弦定理对于球面三角形，其边角余弦定理对于球面三角形，其边角之间是否有类似平面三角形的正弦定之间是否有类似平面三角形的正弦定理、余弦定理这种定量关系呢？理、余
2、弦定理这种定量关系呢？为方便类比，我们首先给出平面上的正弦为方便类比，我们首先给出平面上的正弦定理、余弦定理定理、余弦定理C B A acb图图7-17-1 平面平面 如下图所示，如下图所示，ABC则有则有正弦定理：正弦定理：sinAsinBsinC=;abc 222a=b+c-2bccosA,222b=a+c-2accosB,222c=a+b-2abcosC,余弦定理：余弦定理：教学目标 感知球面三角形的定量研究在现实中的感知球面三角形的定量研究在现实中的 应用应用 掌握球面上的正弦定理和余弦定理掌握球面上的正弦定理和余弦定理 了解正弦定理和余弦定理的证明了解正弦定理和余弦定理的证明知识与能
3、力知识与能力 通过观察，了解正弦定理和余弦定理的特点通过观察，了解正弦定理和余弦定理的特点 进一步了解球面三角形再实际生活中的应用进一步了解球面三角形再实际生活中的应用 通过实例来深入对球面三角形的认识通过实例来深入对球面三角形的认识过程与方法过程与方法 让学生从定量的角度来学习球面三角形让学生从定量的角度来学习球面三角形 从生活中大量存在的现象中得出规律从生活中大量存在的现象中得出规律 培养合作交流意识培养合作交流意识 情感态度与价值观情感态度与价值观 球面上的正弦定理和余弦定理球面上的正弦定理和余弦定理 余弦定理的证明余弦定理的证明 余弦定理的应用余弦定理的应用教学重难点一、球面上的正弦定
4、理和余弦定理一、球面上的正弦定理和余弦定理 为简便起见，考虑单位球面上的情况为简便起见，考虑单位球面上的情况图图7-27-2OFCBAacbH DEG 如图如图7-27-2，单位球面上球面，单位球面上球面ABC的边的边长分别为长分别为a，b，c ，则，则 a=BC=BOC（弧（弧度），度），a=BC=BOC（弧度），（弧度），a=BC=BOC（弧度），球面（弧度），球面ABC的三的三个内角分别为个内角分别为A，B，C，根据球面，根据球面角的定义可知，角的定义可知，A，B，C，分别等分别等于二面角于二面角C-OA-B，A-OB-C，A-OC-B的大的大小小 下面，我们首先看一下二面角下面，我们首
5、先看一下二面角A-OB-C和二面角和二面角A-OC-B。如图。如图7-27-2，过点，过点A作作AD平面平面OBC ，点，点D为垂足，再过为垂足，再过D点分点分别作别作DEOB ，DFOC，E、F为垂足，为垂足，连结连结AE、AF 因为因为DE是是AE在平面在平面OBC的射影，的射影，且且DEOB，所以，所以OBAE.同理，同理，OCAF.因此，因此，DEA和和DFA分别为二面角分别为二面角AOBC和和AOCB的平面角的平面角所以，所以，DEA=B ,DFA=C .在在RtADE和和RtADF 中中 ,因为因为AD=AEsinDEA=OAsinAOBsinB=sincsinB,AD=AFsin
6、DFA=OAsinAOCsinC=sinbsinC .所以所以，sincsinB=sinbsinC 即即 sinBsinC=sinbsinc同理同理 sinAsinC=sinasinc 所以所以,可以得到可以得到 ：球面上的正弦定理球面上的正弦定理 设单位球面上球面设单位球面上球面ABC的三个内角分别为的三个内角分别为A,B,C ，三，三边长分别为边长分别为 a,b,c ，则，则 sinAsinBsinC=sinasinbsinc 继续考察图继续考察图7-27-2，则，则OF=cosb,OE=cosc.c.过点过点F作作FGOB于于G点，则点，则OE=OG+GE,OG=OFcosa=cosco
7、sbcosa.过点过点D在平面在平面OBC内作内作DHFG，垂足为，垂足为H，则，则 DHOB，所以有，所以有 DFH=BOC=a,且四边形且四边形DEGH是矩形是矩形所以所以 GE=DH=DFsinBOC=AFcosCsina =sinbsinacosC .因此因此 ,cosc=cosacosb+sinasinbcosC.同理同理 cosa=cosbcosc+sinbsinccosA .cosb=cosacosc+sinasinccosB .于是，得到：于是，得到：球面上的余弦定理球面上的余弦定理 设单位球面设单位球面上球面上球面 的三个内角分别为的三个内角分别为A,B,C ，三边长分别为，
8、三边长分别为 a,b,c ，则则 ABCcosc=cosacosb+sinasinbcosC .cosa=cosbcosc+sinbsinccosA ，cosb=cosccosa+sincsinacosB ，如果球的半径为如果球的半径为r，那么从上图可知，那么从上图可知BC=a=rBOC,AC=b=rAOC,AB=c=rAOB，因此在推导过程中，分别用因此在推导过程中，分别用ar,br,cr代替代替 a,b,c ，就得到半径为，就得到半径为r的球面上的正弦定理与的球面上的正弦定理与余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理 ；sinAsinBsinC=abcsinsinsinrrr余弦定理余弦定理abc
9、bccos=coscos+sinsincosArrrrrbcacacos=coscos+sinsincosBrrrrrcababcos=coscos+sinsincosC rrrrr 在球上是否有类似于平面上的勾股定理？在球上是否有类似于平面上的勾股定理？答案是肯定的，即存在类似于平面上的答案是肯定的，即存在类似于平面上的勾股定理勾股定理 在球面在球面ABC中，若中，若C=90=90，称，称ABC为球面直角三角形由球面上的余弦定理可为球面直角三角形由球面上的余弦定理可以得到球面直角三角形中三边之间的关以得到球面直角三角形中三边之间的关系称为系称为球面上的球面上的“勾股定理勾股定理”球面上的球面
10、上的“勾股定理勾股定理”设单位球面上球面设单位球面上球面ABC的三个内角的三个内角分别为分别为 A，B，C，其中一个内角其中一个内角C=9090，三边长分别为，三边长分别为a,b,c，则，则 cosc=cosacosb .设单位球面上球面设单位球面上球面ABC的三个内角的三个内角分别为分别为 A，B，C，其中一个内角其中一个内角C=9090，三边长分别为，三边长分别为a,b,c，则，则cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosa ,cosB=-cosCcosA+sinCsinAcosb ,cosC=-cosAcosB+sinAsinBcosc .余弦定理的另一种表达式余弦定理的另一种
11、表达式二、用向量方法证明球面上的余弦定理二、用向量方法证明球面上的余弦定理 1.向量的向量积向量的向量积 为了证明球面上的余弦定理，引入为了证明球面上的余弦定理，引入一种新的运算一种新的运算向量积向量积 设向量设向量a、b的夹角为的夹角为 ，把大小为，把大小为 ，方向垂直于方向垂直于a和和b，且与，且与a和和b构成右手系的向量，构成右手系的向量，叫做叫做a和和b的的向量积向量积aabb图图7-3a b sin记作记作ab，大小表示为，大小表示为 .sina ba b容易验证，向量积满足以下的运算律：容易验证，向量积满足以下的运算律：（1）(反交换律反交换律).).（2）.（3）(分配律分配律)
12、.).a b=-b a(a)b=(a b)=a(b),(R)a(b+c)=a b+a c 我们知道，在空间直角坐标系中，可以我们知道，在空间直角坐标系中，可以用向量的坐标表示向量的数量积运算，同样用向量的坐标表示向量的数量积运算，同样也可以向量的坐标表示向量的向量积运算也可以向量的坐标表示向量的向量积运算 利用向量的向量积和数量积的坐标关系，利用向量的向量积和数量积的坐标关系，可以得到向量积和数量积之间的关系可以得到向量积和数量积之间的关系：（*）(a b)(c d)=(a c)(b d)-(a d)(b c)xzycdababcd cd图图7-4 给定向量给定向量a,b,c,d,那么那么 a
13、b和和cd分别分别是向量是向量a,b 和向量和向量c,d 所成平面的法向量所成平面的法向量,这这 两个法向量所成的角与向量两个法向量所成的角与向量a,b 和向量和向量c,d 所成的平面二面角相等或互补，设这两所成的平面二面角相等或互补，设这两个平面所成的二面角是个平面所成的二面角是 ，则，则 (a b)(c d)=a b c d cos2.球面上余弦定理的向量证明法球面上余弦定理的向量证明法图图7-5OCABccbaba如图如图7-5，设单位球面上，设单位球面上，球面球面 的三边长分别为的三边长分别为 a,b,c，且它们满足：且它们满足：，则，则ABCOA=a,OB=b,OC=c (a b)(
14、a c)=a b a c cosA =(a b sinc)(a c sinb)cosA =sinbsinccosA (a b)(a c)=(a a)(b c)-(a c)(b a)=cosa-cosbcosccosa=cosbcosc+sinbsinccosA .又因为又因为 所以所以同理同理 cosb=cosacosc+sinasinccosB .cosc=cosacosb+sinasinbcosC .这就得到球面上的余弦定理这就得到球面上的余弦定理类似的方法可以证明正弦定理类似的方法可以证明正弦定理三三 从球面上的正弦定理看球面与平面从球面上的正弦定理看球面与平面 观察平面上与球面上的正弦
15、定理观察平面上与球面上的正弦定理 sinAsinBsinC=;abcsinAsinBsinC=.sinasinbsinc 从形式上看两个分式中，对应项的分从形式上看两个分式中，对应项的分子子相同，分母不同，一个是边长，一个是相同，分母不同，一个是边长，一个是边长的正弦值在什么情况下，边长的正边长的正弦值在什么情况下，边长的正弦值可以近似于边长的值呢？弦值可以近似于边长的值呢？这说明，当球面三角形的边长相对于这说明，当球面三角形的边长相对于球的半径很小时，球面上的正弦定理就近球的半径很小时，球面上的正弦定理就近似为平面上的正弦定理似为平面上的正弦定理 如果弧度数越小，单位圆中的正弦线如果弧度数越
16、小，单位圆中的正弦线长与相应的弧长就非常接近，即当长与相应的弧长就非常接近，即当a,b,c 很小时，有很小时，有 ，这时，这时球面上的正弦定理就近似为平面上的正弦球面上的正弦定理就近似为平面上的正弦定理定理sin,sinsinaabb,cc .四四 球面上余弦定理的应用球面上余弦定理的应用求地求地球上两城市之间的距离球上两城市之间的距离 地球表面可以近似看作球面，那么地球表面可以近似看作球面，那么求地球上两地之间的距离就可以看成是求求地球上两地之间的距离就可以看成是求球面上两点之间的距离球面上两点之间的距离 设单位球面上两点设单位球面上两点 A（，）、）、B（，），假设），假设 C为北极，球面
17、为北极，球面 的边的边长分别为长分别为a,b,c，由经度的定义可知球面，由经度的定义可知球面角角 ，再由球面上的余弦定理得：，再由球面上的余弦定理得：距离距离 .1122ABC121221c=arccossin sin+cos cos cos-12ACB=-若半径为若半径为R，则两点之间的距离为，则两点之间的距离为Rc.课堂小结球面上的正弦定理和余弦定理：球面上的正弦定理和余弦定理：sinAsinBsinC=sinasinbsinccosc=cosacosb+sinasinbcosC .cosa=cosbcosc+sinbsinccosA ，cosb=cosccosa+sincsinacosB ，
