1、专题专题 2020 以相似三角形为背景的证明与计算以相似三角形为背景的证明与计算 考点分析 【例【例 1】（2019 辽宁中考真题）已知，在辽宁中考真题）已知，在 Rt ABC 中，中，ACB90，D 是是 BC 边上一点，连接边上一点，连接 AD，分别以，分别以 CD 和和 AD 为直角边作为直角边作 Rt CDE 和 和 Rt ADF，使，使DCEADF90，点，点 E，F 在在 BC 下方，连接下方，连接 EF （1）如图）如图 1，当，当 BCAC，CECD，DFAD 时，时， 求证：求证：CADCDF， BDEF； （2）如图）如图 2，当，当 BC2AC，CE2CD，DF2AD 时
2、，猜想时，猜想 BD 和和 EF 之间的数量关系？并说明理由之间的数量关系？并说明理由 【答案】【答案】 （1）见解析；见解析； （2）BDEF，理由见解析. 【解析】【解析】 （1）证明：ACB90， CAD+ADC90， CDF+ADC90， CADCDF； 作 FHBC 交 BC 的延长线于 H， 则四边形 FECH 为矩形， CHEF， 在 ACD 和 DHF 中， 90 CADHDF ACDDHF ADDF ， ()ACDDHF AAS DHAC， ACCB， DHCB， DHCDCBCD，即HGBD， BDEF； （2）BDEF， 理由如下：作FGBC交BC的延长线于G， 则四边形
3、FECG为矩形， CGEF， CADGDF ，90ACDDGF ， ACDDGF， 2 DGDF ACAD ，即2DGAC，GF2CD， BC2AC，CE2CD， BCDG，GFCE， BDCG， GFCE，GFCE，G90， 四边形 FECG 为矩形， CGEF， BDEF 【点睛】 此题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题关键在于作辅助 线和掌握各判定定理. 【例【例 2】 （2019 辽宁中考真题）如图，辽宁中考真题）如图，ABC中，中，ABAC，DE 垂直平分垂直平分 AB，交线段，交线段 BC 于点于点 E（点（点 E 与点与点 C 不重合） ，
4、 点不重合） ， 点 F 为为 AC 上一点， 点上一点， 点 G 为 为 AB 上一点 （点上一点 （点 G 与点与点 A 不重合） ， 且不重合） ， 且180GEFBAC （1）如图）如图 1，当，当45B 时，线段时，线段 AG 和和 CF 的数量关系是的数量关系是 （2）如图）如图 2，当，当30B时，猜想线段时，猜想线段 AG 和和 CF 的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明 （3）若）若6AB，1DG ， 3 cos 4 B ，请直接写出，请直接写出 CF 的长的长 【答案】【答案】 （1）AGCF； （2） 1 2 AGCF，理由见解析； （3）2.5 或 5 【解析】
5、【解析】 解： （1）相等，理由：如图 1，连接 AE， DE 垂直平分 AB， AEBE， 45BAEB ， AEBC， ABAC， BEECAE，45BAEEACC， 180GEFBAC， 360180180AGEAFE， 180AFECFE， AGECFE， 45GAEC， AEGCEF AAS， AGCF； 故答案为：AGCF； （2） 1 2 AGCF， 理由：如图 2，连接 AE， ABAC， 30BC ， 120BAC， DE 垂直平分 AB， AEBE， 30BAEB ， 90CAE，BAEC， 180GEFBAC， 180AGEAFE， 180CFEAFE， AGECFE，
6、AGECFE， AGAE CFCE ， 在Rt ACE中，30C， 1 sin 2 AE C CE ， 1 2 AG CF ， 1 2 AGCF； （3）当 G 在 DA 上时，如图 3，连接 AE， DE 垂直平分 AB， 3ADBD，AEBE， cos BD B BE ， 3 4 3 cos 4 BD BE B ， 4AEBE， BAEB ， ABAC， BC ， CBAE， 180GEFBAC， 360180180AGEAFE， 180AFECFE， CFEAGE， CFEAGE， CFCE AGAE ， 过 A 作AHBC于点 H， 3 cos 4 BH B AB ， 339 6 44
7、2 BHAB， ABAC， 29BCBH， 4BE ， 9 45CE ， 3 12AGADDG ， 5 24 CF ， 2.5CF； 当点 G 在 BD 上，如图 4，同（1）可得，CFEAGE， CFCE AGAE ， 3 14AGADDG ， 5 44 CF ， 5CF， 综上所述，CF 的长为 2.5 或 5 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，正确的作出辅助线是解题的关键 考点集训 1 （ （2019 山东中考真山东中考真题）如图题）如图 1，在 ，在 Rt ABC 中，中，B=90，BC=2AB=8，点，点 D
8、，E 分别是边分别是边 BC，AC 的中点，的中点， 连接连接 DE，将，将 EDC 绕点绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为按顺时针方向旋转，记旋转角为 . （1）问题发现）问题发现 当当0 时，时， AE BD ； 当当时，时， AE BD （2）拓展探究）拓展探究 试判断：当试判断：当 0360时，时， AE DB 的大小有无变化？的大小有无变化？请仅就图请仅就图 2 的情况给出证明的情况给出证明. （3）问题解决）问题解决 当当 EDC 旋转至旋转至 A、D、E 三点共线时，直接写出线段三点共线时，直接写出线段 BD 的长的长. 【答案】【答案】 （1） 5 2 , 5 2 .（2）
9、无变化；理由参见解析.（3）4 5，12 5 5 . 【解析】【解析】 （1）当 =0时， Rt ABC 中，B=90， AC= 2222 (82)84 5ABBC， 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点， 4 5 2 5 2 AE ,BD=82=4， 2 55 42 AE BD 如图 1， ， 当 =180时， 可得 ABDE， ACBC AEBD ， 4 55 82 AEAC BDBC （2）如图 2， ， 当 0360时， AE BD 的大小没有变化， ECD=ACB， ECA=DCB， 又 5 2 ECAC DCBC ， ECADCB， 5 2 AEEC BDDC （3）如图 3，
10、 ， AC=4 5，CD=4，CDAD， AD= 2222 (4 5)480 168ACCD AD=BC，AB=DC，B=90， 四边形 ABCD 是矩形， BD=AC=4 5 如图 4，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P， ， AC=4 5，CD=4，CDAD， AD= 2222 (4 5)480 168ACCD ， 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点， DE= 111 (82)4 222 AB =2， AE=AD-DE=8-2=6， 由（2） ，可得 5 2 AE BD ， BD= 612 5 55 2 综上所述，B
11、D 的长为4 5或12 5 5 2 （ （2019 江苏初三期末）如图，四边形江苏初三期末）如图，四边形 ABCD 中， 中，AC 平分平分DAB，ADC=ACB=90，E 为为 AB 的中点，的中点， （1）求证：）求证：AC2=ABAD； （2）求证：）求证：CEAD； （3）若）若 AD=4，AB=6，求，求的值的值 【答案】【答案】 （1）见解析（2）见解析（3） AC7 AF4 【解析】【解析】 解： （1）证明：AC 平分DAB DAC=CAB ADC=ACB=90 ADCACB ADAC ACAB 即 AC2=ABAD （2）证明：E 为 AB 的中点 CE= 1 2 AB=AE
12、 EAC=ECA DAC=CAB DAC=ECA CEAD （3）CEAD AFDCFE ADAF CECF CE= 1 2 AB CE= 1 2 6=3 AD=4 4AF 3CF AC7 AF4 3（2019 四川中考真题） 如图，四川中考真题） 如图， 90ABDBCD ， DB 平分平分 ADC， 过点， 过点 B 作作BM CD交交 AD 于于 M 连 连 接接 CM 交交 DB 于于 N （1）求证：）求证： 2 BDAD CD； （； （2）若）若68CDAD，求，求 MN 的长的长 【答案】【答案】 （1）见解析； （2） 4 7 5 MN . 【解析】【解析】 证明： （1）D
13、B 平分ADC， ADBCDB，且90ABDBCD， ABDBCD ADBD BDCD 2 BDAD CD （2）/BMCD MBDBDC ADBMBD，且90ABD BMMDMABMBA， 4BMMDAM 2 BDAD CD，且68CDAD ， 2 48BD， 222 12BCBDCD 222 28MCMBBC 2 7MC /BMCD MNBCND 2 3 BMMN CDCN 且 2 7MC 4 7 5 MN 【点睛】 考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求 MC 的长度是本题的关键 4 （ （2019 江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，江苏泰州中学附属初中初三月考）
14、如图，Rt ABC 中， 中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm动点 动点 M 从从 点点 B 出发，在出发，在 BA 边上以每秒边上以每秒 3cm 的速度向定点的速度向定点 A 运动，同时动点运动，同时动点 N 从点从点 C 出发，在出发，在 CB 边上以每秒边上以每秒 2cm 的速度向点的速度向点 B 运动，运动时间为运动，运动时间为 t 秒（秒（0t 10 3 ） ，连接） ，连接 MN （1）若）若 BMN 与与 ABC 相似，求相似，求 t 的值；的值； （2）连接）连接 AN，CM，若，若 ANCM，求，求 t 的值的值 【答案】【答案】 （1） BMN 与 ABC 相似时，
15、t 的值为 20 11 或 32 23 ； （2）t= 13 12 【解析】【解析】 （1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，BN=（82t）cm，BA= 22 68 =10（cm） ，当 BMNBAC 时， BMBN BABC ， 382 108 tt ，解得：t= 20 11 ； 当 BMNBCA 时， BMBN BCBA ， 382 810 tt ，解得：t= 32 23 ， BMN 与 ABC 相似时，t 的值为 20 11 或 32 23 ； （2） 过点 M 作 MDCB 于点 D， 由题意得： DM=BMsinB= 6 3 10 t= 9 5 t（cm） ， BD=BMc
16、osB= 8 3 10 t= 12 5 t（cm） ， BM=3tcm， CN=2tcm， CD= （ 12 8 5 t） cm， ANCM， ACB=90， CAN+ACM=90， MCD+ACM=90， CAN=MCD， MDCB， MDC=ACB=90， CANDCM， ACCD CNDM ， 12 8 6 5 9 2 5 t t t ， 解得 t= 13 12 考点：1相似三角形的判定与性质；2解直角三角形；3动点型；4分类讨论；5综合题；6压轴 题 5 （ （2019 湖北中考真题）在湖北中考真题）在ABC 中，中，90ABC， AB n BC ，M是是BC上一点，连接上一点，连接A
17、M （1）如图）如图 1，若，若1n ，N是是AB延长线上一点，延长线上一点，CN与与AM垂直，求证：垂直，求证：BMBN （2）过点）过点B作作BPAM，P为垂足，连接为垂足，连接CP并延长交并延长交AB于点于点Q. 如图如图 2，若，若1n ，求证：，求证： CPBM PQBQ 如图如图 3，若，若M是是BC的中点，直接写出的中点，直接写出tan BPQ的值（用含的值（用含n的式子表示）的式子表示） 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； 1 n 【解析】【解析】 (1)延长AM交CN于点H， AM与CN垂直，90ABC， 90BAMN，90BCNN， BAMBCN， 1
18、n ，90ABC， ABBC，ABCCBN， ABMCBN， BMBN； (2)过点C作CD BP交AB的延长线于点D， BPAM，AM与CD垂直， 由(1)，得BMBD， CDBP， CPDB PQBQ ，即 CPBM PQBQ ； 过点 C 作 CD/BP 交 AB 的延长线于点 D，延长 AM 交 CD 于点 H， PCH=BPQ， BPAM，AMCD， BPM=CHM=90， 又BMP=CMH，BM=CM， BPMCHM， BP=CH，PM=HM， PH=2PM， PMB=BMA，ABM=BPM=90， ABMBPM， PMBM PBAB ， 在 Rt PCH 中，tanPCH= PH
19、 CH ， tanBPQ= 22PHPMBM CHPBAB ， 又BC=2BM， AB n BC ， tanBPQ= 1BC ABn . 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，正确添加辅助线，熟练掌握 和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用. 6 （ （2019 辽宁初三期中）如图，在辽宁初三期中）如图，在 ABC 中， 中，AB=AC，点，点 P、D 分别是分别是 BC、AC 边上的点，且边上的点，且APD=B, （1）求证：）求证：ACCD=CPBP； （2）若）若 AB=10，BC=12，当，当 PDAB 时，求时，求 BP 的长的
20、长 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 25 3 . 【解析】【解析】 解： （1）AB=AC，B=C APD=B，APD=B=C APC=BAP+B，APC=APD+DPC， BAP=DPC， ABPPCD， BPAB CDCP ， ABCD=CPBP AB=AC， ACCD=CPBP； （2）PDAB，APD=BAP APD=C，BAP=C B=B， BAPBCA， BABP BCBA AB=10，BC=12， 10 1210 BP ， BP= 25 3 “点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等 知识，把证明 ACCD=CP
21、BP 转化为证明 ABCD=CPBP 是解决第（1）小题的关键，证到BAP=C 进而得 到 BAPBCA 是解决第（2）小题的关键 7 （ （2019 山西初三期末）如图，山西初三期末）如图， ABC 和 和 ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点，点 P 为射线为射线 BD，CE 的交点的交点 （1）求证：）求证：BD=CE； （2）若）若 AB=2，AD=1，把，把 ADE 绕点绕点 A 旋转，当旋转，当EAC=90时，求时，求 PB 的长；的长； 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）PB 的长为 2 5 5 或 6 5 5 【
22、解析】【解析】 解： （1）ABC 和 ADE 是等腰直角三角形，BAC=DAE=90， AB=AC，AD=AE，DAB=CAE， ADBAEC， BD=CE （2）解：当点 E 在 AB 上时，BE=ABAE=1 EAC=90， CE= 22 AEAC = 5 同（1）可证 ADBAEC， DBA=ECA PEB=AEC， PEBAEC， PBBE ACCE ， 1 25 PB ， PB= 2 5 5 当点 E 在 BA 延长线上时，BE=3 EAC=90， CE= 22 AEAC = 5 同（1）可证 ADBAEC， DBA=ECA BEP=CEA， PEBAEC， PBBE ACCE ，
23、 3 25 PB ， PB= 6 5 5 综上所述，PB 的长为 2 5 5 或 6 5 5 【点睛】 本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定， 证明得 PEBAEC 是解题的关键 8 （ （2019 山东初三）如图山东初三）如图，在四边形 ，在四边形 ABCD 中，中，ACBD 于点于点 E，AB=AC=BD，点，点 M 为为 BC 中点，中点，N 为线为线 段段 AM 上的点，且上的点，且 MB=MN. （1）求证：）求证：BN 平分平分ABE； （2）若）若 BD=1，连结，连结 DN，当四边形，当四边形 DNBC 为平行四边形时，求
24、线段为平行四边形时，求线段 BC 的长；的长； （3）如图）如图，若点，若点 F 为为 AB 的中点，连结的中点，连结 FN、FM，求证：，求证： MFNBDC 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 10 5 ； （3）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）AB=AC， ABC=ACB， M 为 BC 的中点， AMBC， 在 Rt ABM 中，MAB+ABC=90， 在 Rt CBE 中，EBC+ACB=90， MAB=EBC， 又MB=MN， MBN 为等腰直角三角形， MNB=MBN=45， EBC+NBE=45，MAB+ABN=MNB=45， NBE=ABN，即 BN 平分AB
25、E； （2）设 BM=CM=MN=a， 四边形 DNBC 是平行四边形， DN=BC=2a， 在 ABN 和 DBN 中， ABDB NBEABN BNBN ， ABNDBN（SAS） ， AN=DN=2a， 在 Rt ABM 中，由 AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1， 解得：a= 10 10 （负值舍去） ， BC=2a= 10 5 ； （3）F 是 AB 的中点， 在 Rt MAB 中，MF=AF=BF， MAB=FMN， 又MAB=CBD， FMN=CBD， 1 2 MFMN ABBC ， 1 2 MFMN BDBC ， MFNBDC 点睛：本题主要考查相似形的综合问题
26、，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平 行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点 9 （ （2019 河南中考真题）在河南中考真题）在ABC ，CACB，ACB点点 P 是平面内不与点是平面内不与点 A，C 重合的任意一重合的任意一 点连接点连接 AP，将线段，将线段 AP 绕点绕点 P 逆时针旋转逆时针旋转 得到线段得到线段 DP，连接，连接 AD，BD，CP （1）观察猜想）观察猜想 如图如图 1，当，当60 时，时， BD CP 的值是的值是 ，直线，直线 BD 与直线与直线 CP 相交所成的较小角的度数是相交所成的较小角的度数是 （2）类比探究）类
27、比探究 如图如图 2，当，当90 时，请写出时，请写出 BD CP 的值及直线的值及直线 BD 与直线与直线 CP 相交所成的小角的度数，并就图相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形说明的情形说明 理由理由 （3）解决问题）解决问题 当当90 时，若点时，若点 E，F 分别是分别是 CA，CB 的中点，点的中点，点 P 在直线在直线 EF 上，请直接写出点上，请直接写出点 C，P，D 在同一直线上在同一直线上 时时 AD CP 的值的值 【答案】【答案】 （1）1，60（2）45（3）2 2 ，2 2 【解析】【解析】 解： （1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB
28、 交 EC 于点 O 60PADCAB ， CAPBAD， CABA，PADA， ()CAPBAD SAS ， PCBD，ACPABD， AOCBOE， 60BEOCAO ， 1 BD PC ，线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是60， 故答案为 1，60 （2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E 45PADCAB ， PACDAB， 2 ABAD ACAP ， DABPAC， PCADBA，2 BDAB PCAC ， EOCAOB， 45CEOOAB ， 直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为45 （3）如图 31 中，当点 D 在线段
29、 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H CEEA，CFFB， EFAB， 45EFCABC ， 45PAO ， PAOOFH， POAFOH， HAPO， 90APC ，EAEC， PEEAEC， EPAEAPBAH ， HBAH ， BHBA， 45ADPBDC ， 90ADB ， BDAH， 22.5DBADBC ， 90ADBACB ， A，D，C，B 四点共圆， 22.5DACDBC ，22.5DCAABD ， 22.5DACDCA ， DADC，设=AD a，则DCADa， 2 2 PDa， 22 2 2 ADa CP aa c 如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上
30、时，同法可证：=DA DC，设=AD a，则CDADa， 2 2 PDa ， 2 2 PCaa， 22 2 2 ADa PC aa 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判 定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题， 学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 10 （ （2019 山东初三期中）如图山东初三期中）如图 1，在四边形 ，在四边形 ABCD 中，点中，点 E、F 分别是分别是 AB、CD 的中点，过点的中点，过点 E 作作 AB 的垂的垂 线，过点线，过点 F 作作
31、CD 的垂线，两垂线交于点的垂线，两垂线交于点 G，连接，连接 AG、BG、CG、DG，且，且AGDBGC （1）求证：）求证：ADBC； （2）求证：）求证： AGDEGF； （3）如图）如图 2，若，若 AD、BC 所在直线互相垂直，求所在直线互相垂直，求 AD EF 的值的值 【答案】【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）2. AD EF 【解析】【解析】 （1）GE 是 AB 的垂直平分线，GA=GB同理 GD=GC 在 AGD 和 BGC 中，GA=GB，AGD=BGC，GD=GC， AGDBGCAD=BC （2）AGD=BGC， AGB=DGC 在 AGB 和 DGC 中
32、， GAGB GDGC ，AGB=DGC， AGBDGC GAEG GDFG ，又AGE=DGF，AGD=EGF，AGDEGF （3）如图，延长 AD 交 GB 于点 M，交 BC 的延长线于点 H，则 AHBH 由 AGDBGC，知GAD=GBC， 在 GAM 和 HBM 中，GAD=GBC，GMA=HMB AGB=AHB=90， AGE= 1 2 AGB=45， 2. GA GE 又 AGDEGF， 2. ADAG EFEG 11 （ （2019 温江中学实验学校初三期中）如图温江中学实验学校初三期中）如图， ， ABC 与与 CDE 是等腰直角三角形，直角边是等腰直角三角形，直角边 AC
33、、CD 在同在同 一条直线上，点一条直线上，点 M、N 分别是斜边分别是斜边 AB、DE 的中点，点的中点，点 P 为为 AD 的中点，连接的中点，连接 AE、BD （1）猜想）猜想 PM 与与 PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论；的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图）现将图中的中的 CDE 绕着点绕着点 C 顺时针旋转顺时针旋转 （090） ，得到图） ，得到图，AE 与与 MP、BD 分别交于点分别交于点 G、 H请判断（请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）若图）若图中
34、的等腰直角三角形变成直角三角形，使中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC=kAC，CD=kCE，如图，如图，写出，写出 PM 与与 PN 的数量的数量 关系，并加以证明关系，并加以证明 【答案】【答案】 （1）PM=PN，PMPN，理由见解析； （2）理由见解析； （3）PM=kPN；理由见解析 【解析】【解析】 （1）PM=PN，PMPN，理由如下： ACB 和 ECD 是等腰直角三角形， AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90 在 ACE 和 BCD 中 ACBC ACBECD90 CECD ， ACEBCD（SAS） ， AE=BD，EAC=CBD， 点 M、N 分别是斜边 A
35、B、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点， PM=BD，PN=AE， PM=PM， NPD=EAC，MPN=BDC，EAC+BDC=90， MPA+NPC=90， MPN=90， 即 PMPN； （2）ACB 和 ECD 是等腰直角三角形， AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90 ACB+BCE=ECD+BCE ACE=BCD ACEBCD AE=BD，CAE=CBD 又AOC=BOE，CAE=CBD， BHO=ACO=90 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点， PM=BD，PMBD； PN=AE，PNAE PM=PN MGE+BHA=180 MGE=90 MPN=90
36、PMPN （3）PM=kPN ACB 和 ECD 是直角三角形， ACB=ECD=90 ACB+BCE=ECD+BCE ACE=BCD BC=kAC，CD=kCE， =k BCDACE BD=kAE 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点， PM=BD，PN=AE PM=kPN 考点：相似形综合题 12 （ （2019 山东初三期中） （提出问题）山东初三期中） （提出问题） （1）如图）如图 1，在等边，在等边 ABC 中，点中，点 M 是是 BC 上的任意一点（不含端点上的任意一点（不含端点 B、C） ，连结） ，连结 AM，以，以 AM 为边作等边为边作等边 AMN，连结，连结
37、 CN求证：求证：ABC=ACN （类比探究）（类比探究） （2）如图）如图 2，在等边，在等边 ABC 中，点中，点 M 是是 BC 延长线上的任意一点（不含端点延长线上的任意一点（不含端点 C） ，其它条件不变， （） ，其它条件不变， （1）中结）中结 论论ABC=ACN 还成立吗？请说明理由还成立吗？请说明理由 （拓展延伸）（拓展延伸） （3）如图）如图 3，在等腰，在等腰 ABC 中，中，BA=BC，点，点 M 是是 BC 上的任意一点（不含上的任意一点（不含端点端点 B、C） ，连结） ，连结 AM，以，以 AM 为为 边作等腰边作等腰 AMN，使顶角，使顶角AMN=ABC连结连结
38、 CN试探究试探究ABC 与与ACN 的数量关系，并说明理由的数量关系，并说明理由 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 解： （1）证明：ABC、 AMN 是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60 BAM=CAN 在 BAM 和 CAN 中， ABAC BAMCAN? AMAN ， BAMCAN（SAS） ABC=ACN （2）结论ABC=ACN 仍成立理由如下： ABC、 AMN 是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60 BAM=CAN 在 BAM 和 CAN 中， ABAC BAMCAN? AMAN ， BAMCAN（SAS） ABC=ACN （3
39、）ABC=ACN理由如下： BA=BC，MA=MN，顶角ABC=AMN，底角BAC=MAN ABCAMN ABAC AMAN 又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN. BAMCANABC=ACN 13 （ （2019 福建省莆田擢英中学初三月考）如图，在福建省莆田擢英中学初三月考）如图，在 Rt ABC 中， 中，C=90，点，点 P 为为 AC 边上的一点，将线边上的一点，将线 段段 AP 绕点绕点 A 顺时针方向旋转（点顺时针方向旋转（点 P 对应点对应点 P） ，当） ，当 AP 旋转至旋转至 APAB 时，点时，点 B、P、P恰好在同一直线上，恰好在同一直线上，
40、此时作此时作 PEAC 于点于点 E （1）求证：）求证：CBP=ABP； （2）求证：）求证：AE=CP； （3）当）当 3 2 CP PE ，BP=5 5时，求线段时，求线段 AB 的长的长 【解析】【解析】 （1）证明：AP是 AP 旋转得到， AP=AP， APP=APP， C=90，APAB， CBP+BPC=90，ABP+APP=90， 又BPC=APP， CBP=ABP； （2）证明：如图，过点 P 作 PDAB 于 D， CBP=ABP，C=90， CP=DP， PEAC， EAP+APE=90， 又PAD+EAP=90， PAD=APE， 在 APD 和 PAE 中， 90
41、PADAP E ADPP EA APAP ， APDPAE（AAS） ， AE=DP， AE=CP； （3）解： 3 2 CP PE ， 设 CP=3k，PE=2k， 则 AE=CP=3k，AP=AP=3k+2k=5k， 在 Rt AEP中，PE= 22 (5 )(3 )kk =4k， C=90，PEAC， CBP+BPC=90，EPP+EPP=90， BPC=EPP， CBP=EPP， 又CBP=ABP，ABP=EPP， 又BAP=PEP=90， ABPEPP， ABP A P EPE ， 即 42 ABP A kk ， 解得 PA= 1 2 AB， 在 Rt ABP中，AB2+PA2=BP
42、2， 即 AB2+ 1 4 AB2=（5 5） 2， 解得 AB=10 考点：1.全等三角形的判定与性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.相似三角形的判定与性质 14 （ （2019 辽宁中考真题）如图辽宁中考真题）如图 1，在 ，在RtABC中，中，90ACB ，30B ?，点，点 M 是是 AB 的中点，连接的中点，连接 MC，点，点 P 是线段是线段 BC 延长线上一点，且延长线上一点，且PCBC ，连接，连接 MP 交交 AC 于点于点 H将射线将射线 MP 绕点绕点 M 逆时针旋转逆时针旋转 60交线段交线段 CA 的延长线于点的延长线于点 D （1）找出与）找出与AMP相等的角，并说明理由相等的角，并说明理由 （2）如图）如图 2， 1 2 CPBC，求，求 AD BC 的值的值 （3）在（）在（2）的条件下，若）的条件下，若 13 3 MD
