1、专题专题 2222 以特殊的平行四边形为背景的以特殊的平行四边形为背景的 证明与计算证明与计算 考点分析 【例【例 1】（2020 安徽初三） （已知：如图所示的一张矩形纸片安徽初三） （已知：如图所示的一张矩形纸片 ABCD（ADAB） ，将纸片折叠一次，使点） ，将纸片折叠一次，使点 A 与与 点点 C 重合，再展开，折痕重合，再展开，折痕 EF 交交 AD 边于点边于点 E，交，交 BC 边于点边于点 F，分别连结，分别连结 AF 和和 CE （1）求证：四边形）求证：四边形 AFCE 是菱形；是菱形； （2）若）若 AE=10cm， ABF 的面积为的面积为 24cm2，求，求 ABF
2、 的周长；的周长； （3）在线段）在线段 AC 上是否存在一点上是否存在一点 P，使得，使得 2AE2=AC AP？若存在，请说明点？若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存的位置，并予以证明；若不存 在，请说明理由在，请说明理由 【答案】【答案】(1)证明见解析； （2）24cm； （3）存在，过 E 作 EPAD 交 AC 于 P，则 P 就是所求的点，证明见解 析. 【解析】【解析】 解： （1）四边形 ABCD 是矩形， ADBC，EAO=FCO， 由折叠的性质可得：OA=OC，ACEF， 在 AOE 和 COF 中， EAOFCO OAOC AOECOF ， AOECOF（A
3、SA） ， AE=CF， 四边形 AFCE 是平行四边形， ACEF， 四边形 AFCE 是菱形； （2）四边形 AFCE 是菱形， AF=AE=10cm， 四边形 ABCD 是矩形， B=90， S ABF= 1 2 ABBF=24cm2， ABBF=48（cm2） ， AB2+BF2=（AB+BF ）2-2ABBF=（AB+BF）2-248=AF2=100（cm2） ， AB+BF=14（cm） ABF 的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm） （3）证明：过 E 作 EPAD 交 AC 于 P，则 P 就是所求的点 当顶点 A 与 C 重合时，折痕 EF 垂直平分 AC， O
4、A=OC，AOE=COF=90， 在平行四边形 ABCD 中，ADBC， EAO=FCO， AOECOF， OE=OF 四边形 AFCE 是菱形 AOE=90，又EAO=EAP， 由作法得AEP=90， AOEAEP， AEAO APAE ，则 AE2=AOAP， 四边形 AFCE 是菱形， AO 1 2 AC， AE2= 1 2 ACAP， 2AE2=ACAP 【点睛】 本题考查翻折变换（折叠问题） ；菱形的判定；矩形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握 相关性质定理，正确推理论证是解题关键 【例【例 2】（2019 江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，正方形江苏泰州中学附属初中
5、初三月考）如图，正方形 ABCD 的边长为的边长为 6，把一个含，把一个含 30的直角三的直角三 角形角形 BEF 放在正方形上，其中放在正方形上，其中FBE30，BEF90，BEBC，绕，绕 B 点转动点转动 FBE，在旋转过程中，在旋转过程中， （1）如图）如图 1，当，当 F 点落在边点落在边 AD 上时，求上时，求EDC 的度数；的度数； （2）如图）如图 2，设，设 EF 与边与边 AD 交于点交于点 M，FE 的延长线交的延长线交 DC 于于 G，当，当 AM2 时，求时，求 EG 的长；的长； （3）如图）如图 3，设，设 EF 与边与边 AD 交于点交于点 N，当，当 tanE
6、CD 1 3 时，求时，求 NED 的面积的面积 【答案】【答案】 （1）15； （2）3； （3） 18 5 【解析】【解析】 解： （1）如图 1 中，作 EHBC 于 H，EMCD 于 M则四边形 EMCH 是矩形 四边形 ABCD 是正方形， BABCCD，ABCBCD90， BCBE， ABBECD， 在 Rt BFA 和 Rt BFE 中， BFBF ABBE ， Rt BFARt BFE（HL） ， ABFEBF30， ABC90， EBC30， EHMC 1 2 BE 1 2 CD， DMCM， EMCD， EDEC， BCE 1 2 （18030）75， EDCECD15 （
7、2）如图 2 中，连接 BM、BG AM2， DMADAM4， 由（1）可知 BMABME， BGEBGC， AMEM2，EGCG， 设 EGCGx，则 DG6x 在 Rt DMG 中，MG2DG2+DM2， （2+x）2（6x）2+42， x3， EG3 （3）如图 3 中，连接 BN，延长 FE 交 CD 于 G，连接 BG ANNE，EGCG， BEBC， BG 垂直平分 CE， ECG+BCG90，GBC+ECB90， ECDGCB， tanGBCtanECD 1 3 ， CG BC 1 3 ， CG 1 3 BC2， CD6， DGCDCG4，设 ANENy，则 DN6y， 在 Rt
8、 DNG 中， （6y）2+42（2+y）2， 解得：y3， ANNE3，DN3，NG5， S NED 3 5 S DNG 3 5 1 2 3418 5 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中 考压轴题 考点集训 1 （ （2020 陕西初三期中）问题：如图陕西初三期中）问题：如图，在等边三角形 ，在等边三角形 ABC 内有一点内有一点 P，且，且 PA2，PB=6 3，PC1， 求求BPC 的度数和等边三角形的度数和等边三角形 ABC
9、 的边长的边长 李明同学的思路是：将李明同学的思路是：将 BPC 绕点绕点 B 逆时针旋转逆时针旋转 60，画出旋转后的图形，画出旋转后的图形(如图如图)，连接，连接 PP，可得，可得 PPB 是等边三角形， 而是等边三角形， 而 PPA 又是直角三角形又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证由勾股定理的逆定理可证)， 可得， 可得APB ， 所以， 所以BPC APB ，还可证得，还可证得 ABP 是直角三角形，进而求出等边三角形是直角三角形，进而求出等边三角形 ABC 的边长为的边长为 ，问，问 题得到解决题得到解决 （1）根据李明同学的思路填空：）根据李明同学的思路填空：APB ，BPCA
10、PB ，等边三角形，等边三角形 ABC 的的 边长为边长为 （2）探究并解决下列问题：如图）探究并解决下列问题：如图，在正方形，在正方形 ABCD 内有一点内有一点 P，且，且 PA5，PB 2， ，PC1.求求BPC 的度数和正方形的度数和正方形 ABCD 的边长的边长 【答案】【答案】 （1）APB150，BPCAPB150，等边三角形 ABC 的边长为 7； （2）BPC135，正 方形 ABCD 的边长为5. 【解析】【解析】 （1）等边 ABC， ABC=60， 将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 60得出 ABP， AP=CP=1，BP=BP= 3，PBC=PBA，APB=BPC，
11、PBC+ABP=ABC=60， ABP+ABP=ABC=60， BPP是等边三角形， PP= 3，BPP=60， AP=1，AP=2， AP2+PP2=AP2， APP=90， BPC=APB=90+60=150， 过点 B 作 BMAP，交 AP的延长线于点 M， MPB=30，BM= 3 2 ， 由勾股定理得：PM= 3 2 ， AM=1+ 3 2 = 5 2 ， 由勾股定理得：AB= 22 = 7AMBM， 故答案为：150， 7 （2）将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 90得到 AEB， 与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP= 2，BPC=AEB，ABE=PBC， EBP=E
12、BA+ABP=ABC=90， BEP= 1 2 （180-90）=45， 由勾股定理得：EP=2， AE=1，AP= 5，EP=2， AE2+PE2=AP2， AEP=90， BPC=AEB=90+45=135， 过点 B 作 BFAE，交 AE 的延长线于点 F； FEB=45， FE=BF=1， AF=2； 在 Rt ABF 中，由勾股定理，得 AB= 5； BPC=135，正方形边长为5 答：BPC 的度数是 135，正方形 ABCD 的边长是5 【点睛】 本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含 30 度角的 直角三 角形的性质，正方形的性质，旋转的
13、性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是 解此题的关键 2 （ （2019 云南初三月考）如图，矩形云南初三月考）如图，矩形 ABCD 中， 中，AB4，AD3，E 是边是边 AB 上一点，将上一点，将 CBE 沿直线沿直线 CE 对对 折，得到折，得到 CFE，连接，连接 DF （1）当）当 D、E、F 三点共线时，证明：三点共线时，证明：DECD； （2）当）当 BE1 时，求时，求 CDF 的面积；的面积； （3）若射线）若射线 DF 交线段交线段 AB 于点于点 P，求，求 BP 的最大值的最大值 【答案】【答案】 （1）见解析； （2） 24 5 ； （3）47
14、【解析】【解析】 证明： （1）四边形 ABCD 是矩形 ABCD4，ADBC3，ABCD， DCECEB CBE 翻折得到 CFE FECCEB DCEFEC DECD （2）如图 1，延长 EF 交 CD 的延长线于点 G， 四边形 ABCD 是矩形 ABCD4，ADBC3，ABCD， DCECEB CBE 翻折得到 CFE FECCEB，CFBC3，EFBE1，CFE90 DCEFEC，CFG90 CGEG， GFGEEFCG1 在 Rt CGF 中，CG2CF2+GF2， CG29+（CG1）2， 解得：CG5 CDF 与 CGF 分别以 CD、CG 为底时，高相等 4 5 CDF C
15、GF SCD SCG S CDF 4 5 S CGF 41 3 4 52 24 5 （3）如图 2，过点 C 作 CHDP 于点 H，连接 CP， CDAB CDPAPD，且ACHD90 ADPHCD CDCH DPAD DH AP ， CHCF，CFBCAD3 CH3 当点 H 与点 F 重合时， CH 最大，DH 最小，AP 最小，BP 最大， 此时，在 ADP 与 HCD APDCDP ACHD90 ADCH ADPHCD（AAS） CDDP4，APDF AP 22 DPAD 7 BP 的最大值为 47 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、勾股定理及
16、相似三角形的判定与 性质 3 （ （2019 江苏初二期末）如图江苏初二期末）如图 1，正方形 ，正方形 ABCD 的边长为的边长为 4，对角线，对角线 AC、BD 交于点交于点 M （1）直接写出）直接写出 AM= ； （2）P 是射线是射线 AM 上的一点，上的一点，Q 是是 AP 的中点，设的中点，设 PQ=x AP= ，AQ= ； 以以 PQ 为为对角线作正方形，设所作正方形与对角线作正方形，设所作正方形与 ABD 公共部分的面积为 公共部分的面积为 S，用含，用含 x 的代数式表示的代数式表示 S，并写出，并写出 相应的相应的 x 的取值范围的取值范围(直接写出，不需要写过程直接写出
17、，不需要写过程) 【答案】【答案】 （1）2 2； （2）2x，x；S 2 2 2xx (0x2 2) 【解析】【解析】 解： （1）正方形 ABCD 的边长为 4， 对角线 AC 2 2AB42， 又AM 1 2 AC2 2 故答案为：2 2 （2）Q 是 AP 的中点，设 PQ=x， AP=2PQ=2x，AQ=x 故答案为：2x；x 如图： 以 PQ 为对角线作正方形， GQM=FQM=45 正方形 ABCD 对角线 AC、BD 交于点 M， FMQ=GMQ=90， FMQ 和 GMQ 均为等腰直角三角形， FM=QM=MG QM=AMAQ=2 2 x， S 1 2 FGQM 1 2 2
18、2 2 x x， S 2 2 2xx ， 依题意得： 0 2 20 x x ， 0x2 2， 综上所述：S 2 2 2xx (0x2 2)， 【点睛】 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂 直平分，并且每条对角线平分一组对角解答本题要充分利用等腰直角三角形性质解答 4 （ （2019 江苏初二期末） （江苏初二期末） （1）如图 ）如图 1，已知正方形，已知正方形 ABCD，点，点 M 和和 N 分别是边分别是边 BC，CD 上的点，且上的点，且 BM=CN， 连接连接 AM 和和 BN，交于点，交于点 P猜想猜想 AM 与与 BN 的位
19、置关系，并证明你的结论；的位置关系，并证明你的结论； （2）如图）如图 2，将图（，将图（1）中的）中的 APB 绕着点绕着点 B 逆时针旋转逆时针旋转 90，得到，得到 APB，延长，延长 AP交交 AP 于点于点 E，试判，试判 断四边形断四边形 BPEP的形状，并说明理的形状，并说明理由由 【答案】【答案】 （1）AMBN，证明见解析； （2）四边形 BPEP是正方形，理由见解析. 【解析】【解析】 （1）AMBN 证明：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC，ABM=BCN=90 BM=CN， ABMBCN BAM=CBN CBN+ABN=90， ABN+BAM=90， APB=90
20、 AMBN （2）四边形 BPEP是正方形. APB 是 APB 绕着点 B 逆时针旋转 90所得， BP= BP,PBP=90. 又由（1）结论可知APB=APB=90， BPE=90. 所以四边形 BPEP是矩形. 又因为 BP= BP,所以四边形 BPEP是正方形. 【点睛】 此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知正方形的性质与判定. 5（2020 山东初三期末） 如图， 正方形山东初三期末） 如图， 正方形 ABCD 的边 的边 CD 在正方形在正方形 ECGF 的边的边 CE 上， 连接上， 连接 DG， 过点， 过点 A 作作 AHDG， 交交 BG 于点于点 H
21、连接连接 HF，AF，其中，其中 AF 交交 EC 于点于点 M （1）求证：）求证： AHF 为等腰直角三角形为等腰直角三角形 （2）若）若 AB3，EC5，求求 EM 的长的长 【答案】【答案】 （1）见解析； （2）EM 5 4 【解析】【解析】 证明： （1）四边形 ABCD，四边形 ECGF 都是正方形 DABC，ADCD，FGCG，BCGF90 ADBC，AHDG， 四边形 AHGD 是平行四边形 AHDG，ADHGCD， CDHG，ECGCGF90，FGCG， DCGHGF（SAS） ， DGHF，HFGHGD AHHF， HGD+DGF90， HFG+DGF90 DGHF，且
22、AHDG， AHHF，且 AHHF AHF 为等腰直角三角形 （2）AB3，EC5， ADCD3，DE2，EF5 ADEF， 5 3 EMEF DMAD ，且 DE2 EM 5 4 【点睛】 本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等 知识点，综合性较强难度大灵活运用这些知识进行推理是本题的关键 6 （ （2020 深圳市龙岗深圳市龙岗区石芽岭学校初三月考）如图，将一张矩形纸片区石芽岭学校初三月考）如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿直线 沿直线 MN 折叠，使点折叠，使点 C 落在落在 点点 A 处，点处，点 D 落在点落在点 E 处，直线处，
23、直线 MN 交交 BC 于点于点 M，交，交 AD 于点于点 N （1）求证：）求证：CM=CN； （2）若）若 CMN 的面积与的面积与 CDN 的面积比为的面积比为 3：1，求，求的值的值 【答案】【答案】(1)证明见解析;(2)2 3 【解析】【解析】 解： （1）证明：由折叠的性质可得：ANM=CNM， 四边形 ABCD 是矩形，ADBCANM=CMN CMN=CNMCM=CN （2）过点 N 作 NHBC 于点 H，则四边形 NHCD 是矩形 HC=DN，NH=DC CMN 的面积与 CDN 的面积比为 3：1， 1 2 3 1 2 CMN CDN MC NH SMC SND DN
24、NH MC=3ND=3HCMH=2HC 设 DN=x，则 HC=x，MH=2x，CM=3x=CN 在 Rt CDN 中， 22 2 2DCCNDNx ， HN=2 2x 在 Rt MNH 中， 22 2 3MNMHHNx ， 2 3 2 3 MNx DFx 7 （ （2020 河南初三）如下图河南初三）如下图 1，将三角板放在正方形 ，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点上，使三角板的直角顶点E与正方形与正方形ABCD的的 顶点顶点A重合，三角板的一边交重合，三角板的一边交CD于点于点F另一边交另一边交CB的的延长线于点延长线于点G （1）观察猜想：线段）观察猜想：线段EF与线段与
25、线段EG的数量关系是的数量关系是 ； （2）探究证明：如图）探究证明：如图 2，移动三角板，使顶点，移动三角板，使顶点E始终在正方形始终在正方形ABCD的对角线的对角线AC上，其他条件不变， （上，其他条件不变， （1） 中的结论是否仍然成立？若成立，请给中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由：予证明：若不成立请说明理由： （3）拓展延伸：如图）拓展延伸：如图 3，将（，将（2）中的）中的“正方形正方形ABCD”改为改为“矩形矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点，且使三角板的一边经过点B， 其他条件不变，若其他条件不变，若ABa=、BCb，求，求 EF EG 的值的值
26、【答案】【答案】 （1）EFEG； （2）成立，证明过程见解析； （3） EFb EGa . 【解析】【解析】 （1）EFEG，理由如下： 由直角三角板和正方形的性质得 90 EDEB DEBCBEDGEF 90 90 FEDBEFGEBBEF DEBG FEDGEB 在FED和GEB中， 90 FEDGEB EDEB DEBG ()FEDGEB ASA EFEG； （2）成立，证明如下： 如图，过点E分别作,EHBC EICD，垂足分别为,H I，则四边形EHCI是矩形 90HEI 90 ,90FEIHEFGEHHEF FEIGEH 由正方形对角线的性质得，AC为BCD的角平分线 则EIEH
27、 在FEI和GEH中， 90 FEIGEH EIEH FIEGHE ()FEIGEH ASA EFEG； （3）如图，过点E分别作,EMBC ENCD，垂足分别为,M N 同（2）可知，FENGEM 由长方形性质得：90 ,90 ,DENCABCEMCADBCb /,/EN AD EM AB ,CENCADCEMCAB , ENCE EMCE ADCAABCA ENEM ADAB ，即 ENADb EMABa 在FEN和GEM中， 90 FENGEM FNEGME FENGEM EFENb EGEMa . 【点睛】 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判
28、定定理与性质， 较难的是题（3） ，通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键. 8 （ （2020 江苏初二期中）如图，长方形纸片江苏初二期中）如图，长方形纸片 ABCD 中， 中，AB8，将纸片折叠，使顶点，将纸片折叠，使顶点 B 落在边落在边 AD 上的上的 E 点点 处，折痕的一端处，折痕的一端 G 点在边点在边 BC 上上 （1）如图）如图 1，当折痕的另一端，当折痕的另一端 F 在在 AB 边上且边上且 AE4 时，求时，求 AF 的长；的长； （2）如图）如图 2，当折痕的另一端，当折痕的另一端 F 在在 AD 边上且边上且 BG10 时，时， 求证：求证： EFG 是等腰三角形
29、；是等腰三角形；求求 AF 的长；的长； （3）如图）如图 3，当折痕的另一端，当折痕的另一端 F 在在 AD 边上，边上，B 点的对应点点的对应点 E 到到 AD 的距离是的距离是 4，且，且 BG5 时，求时，求 AF 的长的长 【答案】【答案】 （1）AF3； （2）见解析；AF6； （3）AF1 【解析】【解析】 （1）解：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处， BFEF， AB8， EF8AF， 在 Rt AEF 中，AE2+AF2EF2， 即 42+AF2（8AF）2， 解得 AF3； （2）证明：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处， BGFEGF， 长方
30、形纸片 ABCD 的边 ADBC， BGFEFG， EGFEFG， EFEG， EFG 是等腰三角形； 解：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处， EGBG10，HEAB8，FHAF， EFEG10， 在 Rt EFH 中，FH 2222 108EFHE 6， AFFH6； （3）解：如图 3，设 EH 与 AD 相交于点 K，过点 E 作 MNCD 分别交 AD、BC 于 M、N， E 到 AD 的距离为 4， EM4，EN844， 在 Rt ENG 中，EG=BG=5， GN 2222 54EGEN 3， GEN+KEM180GEH1809090， GEN+NGE1809090
31、， KEMNGE， 又ENGKME90， GENEKM， EKKMEM EGENGN ， 即 4 543 EKKM ， 解得 EK 20 3 ，KM16 3 ， KHEHEK8 20 3 4 3 ， FKHEKM，HEMK90， FKHEKM， FHKH EMKM ， 即 4 3 16 4 3 FH ， 解得 FH1， AFFH1 【点睛】 此题考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质定理，每个小问的问题都是求 AF 的长度，故解 题中注意思路和方法的总结， （3）中的解题思路与（2）相类似，求出 FH 问题得解，故将问题转化是解题 的一种特别重要的思路. 9 （ （2019 河南初三
32、期中）正方形河南初三期中）正方形 ABCD 与正方形 与正方形 DEFG 按如图按如图 1 放置，点放置，点 A，D，G 在同一在同一条直线上，点条直线上，点 E 在在 CD 边上，边上，AD3，DE 2，连接 ，连接 AE，CG （1）线段）线段 AE 与与 CC 的关系为的关系为_； （2）将正方形）将正方形 DEFG 绕点绕点 D 顺时针旋转一个锐角后，如图顺时针旋转一个锐角后，如图 2，请问（，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理）中的结论是否仍然成立？请说明理 由由 （3）在正方形）在正方形 DEFG 绕点绕点 D 顺时针旋转一周的过程中，当顺时针旋转一周的过程中，当AEC90时
33、，请直接写出时，请直接写出 AE 的长的长 【答案】【答案】 （1）AECG，AECG； （2）仍然成立；理由见解析； （3）AE 的长为 2 2+1 或 221 【解析】【解析】 （1）线段 AE 与 CG 的关系为：AECG，AECG， 理由如下： 如图 1，延长 AE 交 CG 于点 H， 四边形 ABCD 和四边形 DGFE 是正方形， ADCD，EDGD，ADECDG90， ADECDG（SAS） ， AECG，EADGCD， EAD+AED90，AEDCEH， GCD+CEH90， CHE90，即 AECG， 故答案为：AECG，AECG； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图 2
34、，设 AE 与 CG 交于点 H， 四边形 ABCD 和四边形 DGFE 是正方形， ADCD，EDGD，ADCEDG90， ADC+CDEEDG+CDE， 即ADECDG， ADECDG（SAS） ， AECG，EADGCD， EAD+APD90，APDCPH， GCD+CPH90， CHP90，即 AECG， AECG，AECG， 中的结论仍然成立； （3）如图 31，当点 E 旋转到线段 CG 上时，过点 D 作 DMAE 于点 M， AEC90，DEG45， AED45， Rt DME 是等腰直角三角形， MEMD 2 2 DE1， 在 Rt AMD 中，ME1，AD3， AM 22
35、ADMD 22 31 2 2， AEAM+ME2 2+1； 如图 32，当点 E 旋转到线段 CG 的延长线上时，过点 D 作 DNCE 于点 N， 则END90， DEN45， EDN45， Rt DNE 是等腰直角三角形， NEND 2 2 DE1， 在 Rt CND 中，ND1，CD3， CN 22 CDND 22 31 2 2， CENE+CN2 2+1， AC 2AD32， 在 Rt AEC 中， AE 22 ACCE 22 (3 2)(2 21) 2 21， 综上所述，AE 的长为 2 2+1 或 221 【点睛】 本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质，正方形的性质，旋转的性质
36、以及勾股定理，解题关键是在第（3） 问中能够根据题意分情况讨论并画出图形，才能保证解答的完整性 10 （ （2019 云南初三）如图，在矩形云南初三）如图，在矩形 ABCD 中， 中，E 是是 AB 边的中点，沿边的中点，沿 EC 对折矩形对折矩形 ABCD，使，使 B 点落在点点落在点 P 处，折痕为处，折痕为 EC，连结，连结 AP 并延长并延长 AP 交交 CD 于于 F 点，点， （1）求证：）求证： CBECPE； （2）求证：四边形）求证：四边形 AECF 为平行四边形；为平行四边形； （3）若矩形）若矩形 ABCD 的边的边 AB6，BC4，求，求 CPF 的面积的面积 【答案】
37、【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3） 42 25 【解析】【解析】 （1）解：由折叠可知，EPEB，CPCB， ECEC， ECPECB（SSS） （2）证明：由折叠得到 BEPE，ECPB， E 为 AB 的中点， AEEBPE， APBP， AFEC， AEFC， 四边形 AECF 为平行四边形； （3）过 P 作 PMDC，交 DC 于点 M， 在 Rt EBC 中，EB3，BC4， 根据勾股定理得： 2222 345ECEBBC 11 22 EBC SEB BQEC BQ， 3 412 55 EB BC BQ EC ， 由折叠得：BP2BQ 24 5 ， 在 Rt ABP
38、中，AB6，BP 24 5 ， 根据勾股定理得： 2 222 2418 6 55 APABBP , 四边形 AECF 为平行四边形， AFEC5，FCAE3， PF5 18 5 7 5 ， PMAD， FPMFAD PFPM AFAD ，即 7 5 54 PM 解得：PM 28 25 ， 则 S PFC 1 2 FCPM 1 2 3 28 25 42 25 【点睛】 本题考查的是利用折叠性质来证明三角形全等和平行四边形四边形，还考查了利用勾股定理、面积公式来 求三角形的边长，利用相似三角形的性质对应边成比例来求出三角形的高，进而求出三角形的面积本题 第（3）中求也可利用 APBEBC，对应边成
39、比例 APBA BEEC ,求 AP，这样比较简便 11 （ （2019 江西初三期中）在正方形江西初三期中）在正方形 ABCD 中，点 中，点 P 是是 CD 上一动点，连结上一动点，连结 PA，分别过点，分别过点 B、 D 作作 BEPA、 DFPA，垂足为，垂足为 E、F，如图，如图 （1）请探索）请探索 BE、DF、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点 P 在在 DC 的延长线上（如图的延长线上（如图） ，那么） ，那么 这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点 P 在在 CD 的延长线上呢（
40、如图的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结）？请分别直接写出结 论论 （2）请在（）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明）中的三个结论中选择一个加以证明 【答案】【答案】 （1）图中，BE=DF+EF；图中，BE=DF-EF；图中，BE=EF-DF； （2）见解析 【解析】【解析】 解： （1）在正方形 ABCD 中,AB=AD,BAD=90， BAE+DAF=90， BEPA，DFPA， AEB=DFA=90， ABE+BAE=90， ABE=DAF， 在 ABE 和 DAF 中， 90 ABEDAF AEBDFA ABAD ABEDAF(AAS)， AE=DF，AF=BE， 如图，AF
41、=AE+EF， BE=DF+EF， 如图，AE=AF+EF， BE = DF -EF， 如图，EF=AE+AF， BE = EF -DF （2）证明：如图题， ABCD 是正方形， AB=AD， BEPA，DFPA， AEB=AFD=90，ABE+BAE=90 DAF+BAE=90， ABE=DAF， Rt ABERt DAF， BE=AF，AE=DF， 而 AF=AE+EF， BE=DF+EF； 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质 是解题的关键 12 （ （2020 河北初三期末）如图，在正方形河北初三期末）如图，在正方形A
42、BCD中，点 中，点M是边是边BC上的一点（不与上的一点（不与B、C重合） ，点重合） ，点N 在在CD的延长线上，且满足的延长线上，且满足90MAN，连接，连接MN、AC，MN与边与边AD交于点交于点E （1）求证：求证：AMAN； （2）如果）如果2CADNAD ，求证：，求证： 2 ANAE AC 【答案】【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】【解析】 解：证明（1）四边形 ABCD 是正方形， ABAD，CADACB45，BADCDAB90， BAMMAD90，ADN90 MAN90， MADDAN90， BAMDAN， 且 ADAB，ABCADN90 ABMADN（ASA） AMAN， （2）AMAN，MAN90， MNA45， CAD2NAD45， NAD22.5 CAMMANCADNAD22.5 CAMNAD，ACBMNA45， AMCAEN AN AC AE AM ，且 ANAM， AN2AEAC 【点睛】 本题主要考查正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，全等三角形和 相似三角形的判定及性质是解题的关键
