1、2019 届河南省开封市高三 10 月定位考试 数学（理科）试题 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的。 1已知集合 0,1,2,11MNx x ，则（ ） AMN BNM CMNM DMNM 1答案：C 解析：由11x ，得02x，即0,2N ，又0,1,2M ，所以MNM 2若 12i 12i z ，则z （ ） A 3 5 B1 C 7 5 D5
2、2答案：B 解析：公式： 1 1 1212 22 , zz zzzz zz ，所以 12i12i5 1 12i12i5 z 3若命题:,ln0RPxxx ，则p为（ ） A 000 ,ln0Rxxx B 000 ,ln0Rxxx C,ln0Rxxx D,ln0Rxxx 3答案：A 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以 000 :,ln0pxxxR，故选 A 4等比数列 n a的前n项和为 n S，若 23 0aS，则公比q （ ） A1 B1 C2 D2 4答案：A 解析：因为 23 0aS，所以 2 111 20aa qa q，因为 1 0a ，所以 2 120qq，解得1q 5某商场经
3、营的某种包装的大米质量（单位：kg）服从正态分布 2 (10,)N，根据检测结果可知 (9.910.1)0.96P，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有 1000 名 职工，则分发到的大米质量在9.9以下的职工数大约为（ ） A10 B20 C30 D40 5答案：B 解析： 由已知得 1(9.910.1)10.96 (9.9)0.02 22 P P ， 所以分发到的大米质量在9.9以 下的职工数大约为10000.0220 6 执行如右图所示的程序框图， 若输出的结果为 3， 则输入的x为 （ ） A1 B0 C1或 1 D1或 0 6答案：D 解析：由 2 0 43 x
4、 x ，得1x ；由 0 323 x x ，得0x 故选 D 7已知, x y满足约束条件 40 2 20 xy x xy ，则3zxy的最小值为（ ） A0 B2 C6 D8 7答案：B 解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线30xy，平移该直线，当直线经过 点B时目标函数z取得最小值由 2 20 x xy ，得 2 0 x y ，即(2,0)B，所以 min 23 02z ， 故选 B 8某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ） A 1 3 B 1 2 C 2 3 D1 8答案：C 解析：由三视图知，该几何体是一个三棱锥，其高为 1，底面是一个等腰直角三角形，
5、所以该几何体的 体积 112 221 323 V ，故选 C 9已知为圆周率，e为自然对数的底数，则（ ） A3 ee B 22 33 ee C 3 loglogee D 3 log3logee 9答案：D 解析：对于选项 A，函数 e yx在(0,)上单调递增，所以3 ee ，故选项 A 错误； 对于选项 B， 22 33 ee ，两边同时除以3，可得 33 3e e ，由函数 3e yx 在(0,)上单调递 减可得选项 B 错误； 对于选项 C，由 3 loglogee ，可得 11 lnln3 ，所以lnln3，而函数lnyx在(0,)上单调 递增，故选项 C 错误； 对于选项 D， 3
6、 3 log3logln3ln33ee ，故选项 D 正确 10已知空间四边形ABCD， 2 ,2 3,6 3 BACABACBDCD ，且平面ABC 平面 BCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为（ ） A60 B36 C24 D12 10答案：A 解析：如图，取BC的中点E，连接,AE DE AD，由 2 ,2 3 3 BACABAC ，可得6BC ， 又6BDCD，所以BCD是等边三角形延长AE到H，使EHAE，则点H是ABC外接 圆的圆心， 过点H作平面ABC的垂线 1 l， 设G为正三角形BCD的中心， 过点G作平面BCD的垂线 2 l， 设 12 llO，则点O即为三棱锥DA
7、BC外接球的球心，3 3,3,3DECEOH， 2 3HAAC，所以 222 3 1215OAOHHA，设外接球半径为R，则 2 15R ，所以外接 球的表面积 2 460SR A B C D O G E H 11将函数 22 sincosyxx的图象向左平移(0)m m 个单位以后得到的图象与函数 sin cos(0)ykxxk的图象关于,0 3 对称，则km的最小正值是（ ） A2 4 B 3 2 4 C 5 2 12 D 7 2 12 11答案：D 解析：将函数 22 sincoscos2yxxx 的图象向左平移m个单位长度后对应图象的函数解析式为 cos2()cos(22 ) (0)y
8、xmxmm ，再将其图象关于,0 3 对称，得 24 cos 22cos22 33 yxmxm ，依题意可得 4 cos22sin cossin2cos2 3222 kk xmkxxxx ，所以1,2 2 k k， 且 4 22, 32 mkk Z，所以 5 , 12 mkk Z，又因为0m ，所以m的最小值为 7 12 ， 故km的最小值为 7 2 12 ，故选 D 12已知函数 2 44 ( )ln,4,) x f xkxk kx ，曲线( )yf x上总存在两点 1122 ( ,),(,)M x yN xy，使曲线( )yf x在,M N两点处的切线互相平行，则 12 xx的取值范围为
9、（ ） A 8 , 5 B 16 , 5 C 8 , 5 D 16 , 5 12答案：B 解析： 2 4 4 ( )1 (0,4) k k fxxk xx ，由题意知， 1212 ( )() ( ,0fxfxx x且 12) xx，即 22 1122 44 44 11 kk kk xxxx ，化简得 1212 4 4()xxkx x k ，而 2 12 12 2 xx x x ，所以 2 12 12 4 4() 2 xx xxk k ，即 12 16 4 xx k k 对4,)k恒成立，令 4 ( )g kk k ，则 22 4(2)(2) ( )10 kk g k kk 在4,)k恒成立，
10、故( )g k在4,)恒成立， 故( )g k在4,) 单调递增，所以( )(4)5g kg，所以 1616 4 5 k k ，所以 12 16 5 xx， 故 12 xx的取值范围为 16 , 5 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分，第第（13）题题第第（21）题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须做答每个试题考生都必须做答， 第第（22）题题第第（23）题为选考题题为选考题，考生根据要求做答考生根据要求做答。 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。 13已知向量(2, 6),(3,)abm ，且ab ，则a
11、b _ 13答案：5 2 解析：,660aba bm ，即1m ，所以(5, 5)ab ，所以5 2ab 14若 2 sincos 4 ，则sin2的值为_ 14答案： 7 8 解析： 2 sincos 4 ，两边同时平方，得 1 1sin2 8 ，所以 7 sin2 8 15从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生 物竞赛，乙只能参加数学竞赛，则不同的参赛方案种数为_ 15答案：36 解析：分三种情形讨论：甲、乙都选，不同的参赛方案有 13 23 12C A （种） ；选乙不选甲，不同的参 赛方案有 3 3 6A （种） ；选甲不选乙，不同的参赛方
12、案有 13 33 18C A （种） 所以满足条件的不同的蚕 参赛方案种数为1261836 16我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原 理） ：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积意 思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面 积恒等，那么这两个几何体的体积相等已知焦点在 x 轴上 的双曲线 C 的离心率5e ，焦点到其渐近线的距离为 2直 线0y 与2y 在第一象限内与双曲线 C 及其渐近线围成如 图所示的图形OABN，则它绕 y 轴旋转一圈所得几何体的体 积为_ 16答案：2 解析：设双曲线C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，由
13、题意可得 222 5 2 c a b abc ，解得 1 2 5 a b c ，故双 曲线C的方程为 2 2 1 4 y x ，过一、三象限的渐近线方程为2yx如图所示，设直线 0 yy与双曲 线C及其渐近线的交点为 00 ,BN，则 2 00 0000 (0,),1, 24 yy DyNyBy ， 所以 2 00 00 ,1 24 yy DNDB， 则 22 00 DBDN， 根据祖暅原理可得旋转一周所得几何 体的体积为2 三三、解答题解答题：共共 70 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 设等差数列 n a的前
14、n项和为 n S，且 454 16aaS （）求数列 n a的通项公式； （）设数列 1 1 n nn b aa ，求 n b的前n项和 n T 17解析： （1）设等差数列 n a的公差为d，则 451 41 2716 4616 aaad Sad ，解得 1 1 2 a d ， 21 n an5 分 （2）由（1）得， 1 11111 (21)(21)2 2121 n nn b aannnn ，8 分 11111111 11 2335212122121 n n T nnnn 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，PAD 为正三角形
15、，且 E 为 AD 的中点，BE平 面 PAD （）求证：平面 PBC平面 PEB； （）求平面 PEB 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值 A B C D E P 18解析： （1）BE 平面,PADAD 平面,PADADBE， PAD为正三角形，E为AD的中点，ADPE，2 分 又,PEBEEAD平面PEB四边形ABCD为菱形， /,ADBCBC平面PEB，4 分 又BC 平面PBC，平面 PBC平面 PEB5 分 （2）由题意与（1）可得直线,AEBEPE两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系Exyz设菱形 ABCD的边长为 2，则1,3AEEDPEEB，可得( 2, 3,0),( 1
16、,0,0),(0,0, 3)CDP， ( 1, 3,0),(1,0, 3)DCDP 7 分 设平面PDC的法向量为( , , )nx y z ，则 30 30 n DCxy n DPxz ，取1y ，得( 3,1, 1)n 又平面PEB的一个法向量为(1,0,0)m ， 15 cos, 5 m n m n mn ， 所以平面 PEB 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值为 15 5 12 分 AB C D E P x y z 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，上顶点为 12 ,MMFF为等腰直角三角 形，且
17、其面积为 1 （）求椭圆C的方程； （）过点M分别作直线,MA MB交曲线C于,A B两点，设这两条直线的斜率分别为 12 ,kk，且 12 2kk，证明：直线AB过定点 19解析： （1）由题意得 2 1 1,2 2 aa，又 222 ,1bc abcb ， 椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y4 分 （2）由（1）得(0,1)M当直线AB的斜率不存在时，设 00 (,)A xy，则 00 (,)B xy，由 12 2kk， 得 00 00 11 2 yy xx ，得 0 1x 6 分 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(1)ykxmm，将其代入 2 2 1 2 x y，可得 22
18、2 (12)4220kxkmxm， 则 2 22 1212 22 422 8(21)0, 1212 kmm kmxxx x kk 8 分 由 12 2kk，得 12 12 11 2 yy xx ，即 2112 12 (1)(1) 2 kxmxkxmx x x ， 1212 (22 )(1)()k x xmxx， 2 (22 )(22)(1)( 4)kmmkm， 由1m ，得(1)(1),1k mkmmk ，10 分 即1(1) 1ykxmkxkk x ，故直线AB过定点( 1, 1) ， 经检验，当0k 或2k 时，直线AB与椭圆C有两个交点，满足题意 综上所述，直线AB过定点( 1, 1)
19、12 分 20 （本小题满分 12 分） 甲、乙两家外卖公司，其“骑手”的日工资方案如下：甲公司规定底薪 70 元，每单抽成 1 元；乙公司规定 底薪 100 元，每日前 45 单无抽成，超出 45 单的部分每单抽成 6 元 假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“骑手”并记录其 100 天的送餐 单数，得到如下条形图： （）求乙公司的“骑手”一日工资 y（单位：元）与送餐单数 n（n N）的函数关系； （）若将频率视为概率，回答以下问题： （i）记乙公司的“骑手”日工资为 X（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望； （）小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的
20、工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的 统计学知识为他做出选择，并说明理由 20解析： （1）乙公司每天的底薪为 100 元，前 45 单无提成，超出 45 单部分每单抽成 6 元，故日工资 100,45, 6170,45, nn y nnn N N 4 分 （2）根据题意及条形图得，乙公司“骑手”的日送餐单数为 42，44 时，100X ，频率为 20 0.2 100 ， 日送餐单数为 46 时，106X ，频率为 30 0.3 100 ， 日送餐单数为 48 时，118X ，频率为 40 0.4 100 ， 日送餐单数为 50 时，130X ，频率为 10 0.1 100 ， 故乙
21、公司的“骑手”日工资 X 的分布列如下： X 100 106 118 130 P 0.2 0.3 0.4 0.1 数学期望()100 0.2106 0.3 118 0.4130 0.1 112E X （元）8 分 根据条形图得，甲公司“骑手”的日平均送餐单数为 2040201010 424446485045 100100100100100 ， 所以甲公司“骑手”的日平均工资为7045 1 115 （元） 由可知，乙公司“骑手”的日平均工资为 112 元，故推荐小明去甲公司应聘12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )ln(1)f xxaxx （）讨论( )f x在0,)上的
22、单调性； （）若函数( )( )g xf xx有两个极值点 12 ,x x，且 12 xx，求证: 2 1 ()ln2 2 g x 21解析： （1） (221) ( ),0,) 1 xaxa fxx x ，设( )221,0,)h xaxax， 当0a时，( )0,( )h xf x在0,)上单调递减； 当 1 2 a时，210,( )0,( )ah xf x在0,)上单调递增； 当 1 0 2 a时， 12 210,0, 2 a ax a 时，( )0,( )h xf x单调递减； 12 , 2 a x a 时， ( )0,( )h xf x单调递增 综上所述，当0a时，( )f x在0,
23、)上单调递减； 当 1 2 a时，( )f x在0,)上单调递增； 当 1 0 2 a时，( )f x在 12 0, 2 a a 上单调递减，在 12 , 2 a a 上单调递增4 分 （2） 2 2 221 ( )ln(1),( 1,),( ) 1 axax g xxaxxg x x ，设 2 ( )221xaxax， 若0a ，则( )10,( )0,( )xg xg x 在( 1,) 单调递增，不合题意 若0a ，( 1)(0)1,( )0x在( 1,) 上只有一个根，不合题意 若0a ，要使 2 ( )221xaxax在( 1,) 上有两个不同的实根 12 ,x x且 12 xx，需0
24、 ，即 2a 12 111 ( 1)(0)1,10,1,0 2222 a xx 易知( )g x在 1 ( 1,)x上单调递增，在 12 ( ,)x x上单调递减，在 2 (,)x 上单调递增， ( )g x在 1 xx处取得极大值，在 2 xx处取得极小值 2 222 2 22 1 ()2210, 22 xaxaxa xx ， 22 2 222222 2 222 1 ()ln(1)ln(1)ln(1) 2222 x g xxaxxxx xxx ， 10 分 设 1 ( )ln(1),0 222 t m ttt t ，则 2 21 ( )0,( ) 2(1) t m tm t t 在 1 ,0
25、 2 是增函数， 2 11111 ( )lnln2,()ln2 22222 m tmg x 12 分 22 （本小题满分 10 分）选修 44：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 44cos : 4sin x C y （为参数） ，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 4 cos30，直线l的极坐标方程为() 3 R （）求曲线 1 C的极坐标方程与直线l的直角坐标方程； （）若直线l与曲线 12 ,CC在第一象限分别交于,A B两点，P为曲线 1 C上的动点，求PAB面积的 最大值 22解析： （1）依题意，曲线 1 C的普通方程为 22
26、 (4)16xy，即 22 8xyx， 将 222, cosxyx代入得曲线 1 C的极坐标方程为8cos 直线l的直角坐标方程为3yx5 分 （2）由题意可设 12 , 33 AB ，则 2 122 4,230，解得 2 3或 2 1 （舍去） ， 所以 21 1AB，圆心 1(4,0) C到直线l的距离为4sin2 3 3 d ，则点P到直线AB的距离 的最大值为42 3，所以PAB的面积的最大值为 1 1 (42 3)23 2 10 分 4 3 2 1 1 2 3 4 2468 P B A C2C1 O 23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数( )1(1)f xx
27、xmm，若( )4f x 的解集是 |04x xx或 （）求m的值； （）若正实数, ,a b c满足 111 233 m abc ，求证：239abc 23解析： （1）1m ， 21,1 ( )1,1 21,1 xmx f xmxm xmx ，作出函数( )f x的图象如图所示， 由( )4f x 的解集及函数( )f x的图象得 2 014 2414 m m ，得3m 5 分 （2）由（1）知3m ，从而 111 1 23abc ， 所以 2 111111 23(23 )239 2323 abcabcabc abcabc ， 当且仅当 3 3,1 2 abc等号成立10 分 Ox y m1
