1、NCS20190607 项目第一次模拟测试卷 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1设集合 2 2 |40, |log1Mx xNxx，则 RM N （ ） A B(0,2) C( 2,2) D 2,2) 1答案：B 解析： 2 2 |40 | 22, |log1 |02Mx xxxNxxxx R ， 所以(0,2)MN R 2已知复数 i () 2i R a za 的实部等于虚部，则a （ ） A 1 2 B 1 2 C1
2、 D1 2答案：C 解析： 2 i(i) i1i1 i 2i2i222 aaaa z 根据题意可得 1 22 a ，所以1a 3已知抛物线方程为 2 2xy ，则其准线方程为（ ） A1y B1y C 1 2 y D 1 2 y 3答案：C 解析：抛物线开口向下， 1 1, 22 p p ，所以其准线方程为 1 2 y 4已知 n a为等差数列，若 2343 21,27aaaa，则 5 a （ ） A1 B2 C3 D6 4答案：B 解析： 42 26,3aadd，所以 232 212(3) 1aaa ，解得 2 7a ， 所以 52 3792aad 5如图所示算法框图，当输入的x为 1 时，
3、输出的结果为（ ） A3 B4 C5 D6 5答案：C 解析：0,1ix 否1 12,2yi 是2x是2 243yi 是 4x是2 484yi 是8x是2 816y 是2 1632y 否输出5i ，结束 6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A12 3 B14 3 C16 3 D20 3 6答案：D 解析：该几何体是由一个三棱柱切去一个三棱锥得到，其体积 111 4 2 364 2 3324 34 320 3 232 V 72021 年广东新高考将实行 3+1+2 模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四 选二，共有 12 种选课模式今年高一的小明与小芳都
4、准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则 他们选课相同的概率为（ ） A 1 36 B 1 16 C 1 8 D 1 6 7答案：D 解析：所求概率 2 4 22 44 11 6 C P CC 8已知0, ,Rrx y， 222 1 2 y pxqxyr：“”, ：“” ，若p是q的必要不充分条件，则实 数r的取值范围是（ ） A 2 5 0, 5 B(0,1 C 2 5 , 5 D2,) 8答案：A 解析：如图，命题p所代表的集合为菱形ABCD及其内部，其中( 1,0),(0,2),(1,0),(0, 2)ABCD， 命题q所代表的集合为以O为圆心，r为半径的圆及其内部，因为p是q的必要
5、不充分条件，所以O在 菱形ABCD内部，因为点O到直线AB的距离为1 2 2 5 55 ，所以实数r的取值范围是 2 5 0, 5 x y OA B C D 9已知( )f x在R上连续可导，( )fx为其导函数，且( )(1)() xxxx f xeefxee ，则 (2)( 2)(0)(1)ffff（ ） A 22 44ee B 22 44ee C0 D 2 4e 9答案：C 解析：( )(1)()()(1(1)()(1)() xxxxxxxxxx fxeefeex eefeex fee ， 可知( )fx为奇函数，所以(2)( 2)0,(0)0,(2)( 2)(0)(1)0fffffff
6、 10已知平面向量, ,(2cos ,2sin),(cos,sin)a b ab ，若对任意的正实数，ab 的最小 值为3，则此时ab （ ） A1 B2 C2 D3 10答案：D 解析：设(2cos,2sin),(cos,sin)OAaOBb ，则点A在以O为圆心，半径为 2 的圆上， 点B在单位圆上，AOB，设(0)OCb ，则点C在射线OB上， 此时abOAOCCA ， 显然， 当ACOB时，CA 最小， 最小值为3， 可知 3 sin 2 AOB， 60AOB，此时,B C两点重合，3abOAOBBA B(C) O A 11 已知(3,0),( 3,0)AB，P为圆 22 1xy上的动
7、点，APPQ ， 过点P作与AP垂直的直线l 交 直线QB于点M，则M的横坐标范围是（ ） A1x B1x C2x D 2 2 x 11答案：A 解析：PM是线段AQ的垂直平分线，所以AMMQ， 所以22AMBMMQBMBQOP，或22BMAMBQOP， 所以点M在以,A B为焦点的双曲线上， 222 22,1,3,2aacbca， 所以双曲线方程为 2 2 1 2 y x ，所以1x M Q BA O P M Q BA O P 12 杨辉三角， 是二项式系数在三角形中的一种几何排列 在欧洲， 这个表叫做帕斯卡三角形， 帕斯卡 （1623 1662）是在 1654 年发现这一规律的我国南宋数学
8、家杨辉在 1261 年所著的详解九章算法一书中出 现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为 1 的 项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列前 135 项的和为（ ） A 18 253 B 18 252 C 17 253 D 17 252 12答案：A 解析： 如图， 第n行的所有数字之和为 1 22 n ， 前n行共有 (1) 2 n n 个数字， 当16n 时， (1) 136 2 n n ， 所以此数列前 135 项的和为 231723171818 (22)(22)(22) 17(222 )32 172432 1
9、7253 2 33 464 510105 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13设函数 2 2 , (0) ( ) (3), (0) x xx f x f xx ，则(5)f的值为 13答案： 1 2 解析： 21 11 (5)(2)( 1)( 1)21 22 fff 14侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为 14答案： 3 3 解析：如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中， 三棱锥 1 AABD即为侧面为等腰直角三角形的正三棱锥， 连接 1 AC，交平面 1 ABD于点P，交平面 11 BCD于点Q，
10、 则 1 AC 平面 1 ABD，且,P Q为 1 AC的三等分点， A C B D B1 C1 D1 A1 P Q 3 3 AP ， 3 sin 3 AP ADP AD 15已知锐角A满足方程3cos8tan0AA，则cos2A 15答案： 7 9 解析：由3cos8tan0AA，可得 2 3cos8sin0AA，即 2 3sin8sin30AA， 2 3sin8sin30AA，(3sin1)(sin3)0AA，又因为A为锐角，所以 1 sin 3 A ， 则 2 7 cos212sin 9 AA 16定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径” 已知锐角三角形 的
11、三个顶点, ,A B C在半径为 1 的圆上，且 3 BAC ，分别以ABC各边为直径向外作三个半圆，这 三个半圆和ABC构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的最大值是 16答案： 3 3 2 解析：设角, ,A B C的对边为, ,a b c，平面区域D的“直径”为d，由正弦定理得22 sin a R A ， 2sin3aA，如图，设,E F为,AB AC的中点，直线EF与两个半圆分别交于,M N两点，则 1 () 2 dMNMEEFFNcab，在ABC中，由余弦定理得 22 2222222 3()() 2cos()3() 44 bcbc abcbcAbcbcbcbcbc ， 所以 22
12、()412bca，所以 3 3 2 3,3 3, 22 abc bcabcd ， 当且仅当bc时等号成立 N M E F O C B A N MEF O C B A 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分）函数( )2sin()0, 22 f xx 的部分图象如下图所示， (0, 3),(2,0)AC，并且/ABx轴 （1）求和的值； （2）求cosACB的值 17 【解析】 （）由已知3sin2)0(f， 又| 2 ，
13、所以 3 ，所以) 3 sin(2)( xxf 3 分 由(2)0f，即2sin(2)0 3 ，所以2 3 k ，kZ， 解得 26 k ，kZ，而0 2 ，所以 3 . 6 分 （）由（）知，) 33 sin(2)( xxf， 令( )3f x ， 得2 333 xk 或 2 2 333 xk ，Zk ， 所以6xk或61xk，由图可知， (1, 3)B. 8 分 所以)3, 1(),3, 2(CBCA，所以 7,2CACB ， 10 分 所以 55 7 cos 142 7 CA CB ACB CA CB . 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，四棱台 1111 ABCDABC
14、D中，底面ABCD是菱形， 1 CC 底面ABCD，且60BAD， 111 24,CDCCC DE是棱 1 BB的中点 （1）求证： 1 AABD； （2）求二面角 11 EACC的余弦值 A B C D D1 C1 A1 B1 E 18 【解析】 （）证明：因为 1 CC底面ABCD，所以BDCC 1 . 因为底面ABCD是菱形，所以ACBD . 又CCCAC 1 ，所以BD平面 1 ACC.3 分 又由四棱台 1111 DCBAABCD知， 11 ,CCAA四点共面. 所以 1 AABD . 5 分 （）如图，设AC交BD于点O，依题意，OCCA/ 11 且OCCA 11 ， 所以 11
15、/CCOA，且 11 CCOA. 所以OA1底面ABCD. 以O为原点， 1 ,OA OB OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则 11 (2 3,0,0),(0,0,4),( 2 3,0,4),(0,2,0)AACB， 由 11 1 2 ABAB 得， 1( 3,1,4)B 因为E是棱 1 BB的中点，所以 3 3 ,2 22 E 8 分 所以 111 33 ,2 ,( 2 3,0,0) 22 EAAC . 设 1 ( , , )nx y z 为平面 11 EAC的法向量，则 111 11 2 30 33 20 22 nACx n EAxyz ， 取3z ，则 1 (0,
16、4,3)n . 又因为 2 (0,1,0)n 为平面 11 AC C的法向量， 所以 12 12 12 4 cos, 5 n n n n nn ， 又由图可知，二面角 11 EACC为锐二面角， 所以二面角 11 EACC的余弦值为 4 5 . 12 分 19 （本小题满分 12 分） 市面上有某品牌 A 型和 B 型两种节能灯，假定 A 型节能灯使用寿命都超过 5000 小时经销商对 B 型节能 灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图： 某商家因原店面重新装修， 需租赁一家新店面进行周转， 合约期一年 新店面需安装该品牌节能灯 5 支 （同 种型号）即可正常营业经了解，A 型 20
17、 瓦和 B 型 55 瓦两种节能灯照明效果相当，都适合安装已知 A 型和 B 型节能灯每支的价格分别为 120 元、25 元，当地商业电价为 0.75 元/千瓦时假定该店面正常营业 一年的照明时间为 3600 小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换 （用频率估计概率） （1）若该商家新店面全部安装了 B 型节能灯，求一年内恰好更换了 2 支灯的概率； （2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为商家应该选择哪种型号的节能灯，请说明理由 19 【解析】 （）由频率分布直方图可知，B型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为2 . 0， 用频率估计概率，得B型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为
18、 5 1 . 所以一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为 5 4 ，. 3 分 所以一年内 5 支恰好更换了 2 支灯的概率为 223 5 4132 ( )( ) 55625 C 5 分 （）共需要安装5支同种灯管， 若选择A型节能灯，一年共需花费 3 5 1203600 5 20 0.75 10870 元；7 分 若选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换灯的支数服从二项分布 4 (5, ) 5 B， 故一年需更换灯的支数的期望为 4 54 5 支， 9 分 故一年共需花费 3 4 (55) 253600 5 55 0.75 10967.5 5 元. 11 分 因为967.5870，
19、所以该商家应选择A型节能灯. 12 分 20 （本小题满分 12 分）如图，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 与圆 22 :1O xy相切，并且椭圆E上 动点与圆O上动点间距离的最大值为 26 2 （1）求椭圆E的方程； （2）过点(1,0)N作两条互相垂直的直线 12 ,l l， 1 l与E交于,A B两点， 2 l与圆O的另一交点为M，求 ABM面积的最大值，并求取得最大值时直线 1 l的方程 x M y A B O N 20 【解析】 （）椭圆E与圆O： 22 1xy相切，知 2 1b ； 2 分 又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为 26 2 ，即椭圆中心O到椭圆最
20、远距离为 6 2 ， 得椭圆长半轴长 6 2 a ，即 2 3 2 a ； 所以轨迹E的方程为 2 2 2 1 3 x y. 5 分 （）当 1 l与x轴重合时， 2 l与圆相切，不合题意. 当xl 1 轴时，)0 , 1(M，1: 1 xl， 3AB ，此时 12 32 3 2 233 ABM S .6 分 当 1 l的斜率存在且不为0时，设1: 1 myxl，0m，则1 1 : 2 y m xl， 设),(),( 2211 yxByxA，由 2 2 1, 2 1 3 xmy x y 得， 22 (23)410mymy ， 所以 1212 22 41 , 2323 m yyy y mm ，
21、8 分 所以 22 2 21 2 2 31 21 1 23 mm ABmyy m . 由 1 , 1 1 22 yx y m x 得，0 2 ) 1 1 ( 2 2 y m y m ，解得 1 2 2 m m yM， 9 分 所以 2 2 12 1 1 M MNy m m ， 所以 22 2 2 11 2 31 212 2223 1 ABM mm SABMN m m 2 2 2 2 2 3 212 3 2 23 21 21 m m m m ， 10 分 因为 2 211m ， 所以 2 2 2 212 2 21 m m ， 当且仅当 2 2 m 时取等号. 所以 6 2 ABM S（ 2 36
22、 32 ） 综上，ABM面积的最大值为 6 2 ，此时直线 1 l的方程为 2 1 2 xy . 12 分 21 （本小题满分 12 分）已知函数( )(ln) x f xexxa （e为自然对数的底数，a为常数，且1a） （1）判断函数( )f x在区间(1, ) e内是否存在极值点，并说明理由； （2）若当ln2a 时，( )()f xk kZ恒成立，求整数k的最小值 21 【解析】 （）) 1 1 (lne)(a x xxxf x ， 2 分 令) e, 1 (, 1 1 ln)(xa x xxxg，则)(e)(xgxf x ， 0 1 )( 2 2 x xx xg恒成立，所以)(xg在
23、) e, 1 (上单调递减， 4 分 所以( )(1)10g xga ，所以( )0fx在) e, 1 (内无解. 所以函数)(xf在区间) e, 1 (内无极值点. 5 分 （）当2lna时，)2lnln(e)(xxxf x ，定义域为), 0( ， ) 12ln 1 (lne)( x xxxf x ，令12ln 1 ln)( x xxxh， 6 分 由（）知，)(xh在), 0( 上单调递减，又0 2 1 ) 2 1 (h，012ln) 1 (h， 所以存在) 1 , 2 1 ( 1 x，使得0)( 1 xh，且当), 0( 1 xx时，0)(xh，即0)( x f， 当),( 1 xx时
24、，0)(xh，即0)( x f. 8 分 所以)(xf在), 0( 1 x上单调递增，在),( 1 x上单调递减， 所以)2lnln(e)()( 111max 1 xxxfxf x . 9 分 由0)( 1 xh得012ln 1 ln 1 11 x xx，即 1 11 1 12lnln x xx， 所以) 1 1 (e)( 1 1 1 x xf x ，) 1 , 2 1 ( 1 x 10 分 令) 1 , 2 1 (), 1 1 (e)(x x xr x ，则0) 1 11 (e)( 2 xx xr x 恒成立，所以)(xr在) 1 , 2 1 (上 单调递增，所以 1 e( )( )(1)0
25、 2 rr xr，所以0)( max xf，11 分 又因为1 2 e )2ln2ln 2 1 (e) 2 1 ( 2 1 f， 所以0)(1 max xf， 所以若)()(Zkkxf恒成立，则k的最小值为0. 12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 13 xt yt （t为参数） ，曲线C的参数方程为 42cos 32sin x y （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求C的极
26、坐标方程； （2）设点(2,1)M，直线l与曲线C相交于点,A B，求MA MB的值 22 【解析】 （）由参数方程 sin23 cos24 y x ，得普通方程 22 (4)(3)4xy， 所以极坐标方程 2 8 cos6 sin210. 5 分 （）设点,A B对应的参数分别为 1 t、 2 t，将 ty tx 31 ,2 代入 22 (4)(3)4xy得 01) 13( 2 tt， 所以1 21 t t， 8 分 直线 ty tx l 31 ,2 :（t为参数）可化为 )2( 2 3 1 ),2( 2 1 2 ty tx ， 所以 121 2 2244MA MBttt t . 10 分
27、23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数 2 ( )23f xxmxm （1）求证：( )2f x； （2）若不等式(2)16f恒成立，求实数m的取值范围 23 【解析】 （）因为 22 ( )23()(23)f xxmxmxmxm， 所以 22 ( )23(1)22f xmmm . 5 分 （）由已知，| 12|2)2( 2 mmf， 当 1 2 m时，(2)16f等价于 2 2316mm ，即 2 (1)14m， 解得141141m，所以 1 141 2 m； 7 分 当 2 1 m时，(2)16f等价于 2 2116mm ， 解得35m ，所以 1 3 2 m . 9 分 综上，实数m的取值范围是 114, 3. 10 分
