1、合肥市合肥市2019届届高高三三调研性调研性检测数学试题检测数学试题(理科理科) (考试时间考试时间：120分钟分钟 满分满分：150分分) 第第卷卷 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一一、选择题选择题：本大题共本大题共12小题小题，每小题每小题5分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1已知集合 | 12Mxx ， |13Nxx，则MN （ ） A ( 1,3 B( 1,2 C1,2) D(2,3 1答案：C 解析：1,2)MN 2已知复数 1 2i 2i z (i为虚数单
2、位)，则z （ ） A1 5 B 3 5 C 4 5 D1 2答案：D 解析： 1 2i1 2i5 1 2i2i5 z 公式： 1 1 1212 22 , zz zzzz zz 3右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使 它看上去像一个风车， 代表中国人民热情好客.已知图中直角三角形两条直角边的长分别为2和3.若从右图内随机取一 点，则该点取自阴影区域的概率为（ ） A 2 3 B8 9 C12 13 D 24 25 3答案：C 解析：因为四个直角三角形全等，两条直角边的长分别为2和3， 所以斜边长为13，所以围成的大正方形的面积为1
3、3，而每个 直角三角形的面积为 1 2 33 2 ，所以阴影区域的面积为12， 所以从图中随机取一点，该点取自阴影区域的概率为12 13 4已知实数xy，满足条件 0 0 220 xy xy xy ，则2zxy的取值范围是（ ） A 2 6, 3 B 2 0, 3 C 6,) D0,) 4答案：A 解析：作可行域为如图所示的OAB，其中 2 2 , 3 3 A ， ( 2,2)B ，则 2 0,6 3 OAC zzz ， 所以2zxy的取值范围是 2 6 3 ， 5 已知直线:50l xy与圆 222 :(2)(1)(0)Cxyrr相交所得的弦长为2 2， 则圆C的半径r Ox y A B （
4、 ） A2 B2 C2 2 D4 5答案：B 解析：圆C的圆心为(2,1)，圆心到直线的距离 2 1 5 2 1 1 d ，又弦长为2 2，所以 22 22 2rd， 所以2r 6 执行右面的程序框图， 若输出的结果为15， 则判断框中的条件是 （ ） A4?i B5?i C6?i D7?i 6答案：C 解析：由程序框图可知，该程序框图的功能是计算 (1) 123 2 i i Si 的值，又15S ， 所以5i ，当16i 时退出循环，结合选项 可知，应填6?i 7已知tan3，则sincos 22 的值为（ ） A 3 10 B 3 10 C 3 5 D 3 5 7答案：B 解析： 222
5、cossintan3 sincoscossin 22cossin1tan10 8已知双曲线 22 22 :1 (00) xy Mab ab ，的焦距为4，两条渐近线的夹角为60，则双曲线M的标准方程 是（ ） A 2 2 1 3 x y B 2 2 1 3 x y或 2 2 1 3 y x C 22 1 124 xy D 22 1 124 xy 或 22 1 412 xy 8答案：B 解析：依题意， 22 4ab，因为两条渐近线的夹角为60，所以渐近线的倾斜角为30与150或60与120， 当倾斜角为30与150时，可知 3 3 b a ，所以3,1ab，双曲线方程为 2 2 1 3 x y；
6、 当倾斜角为60与120时，可知3 b a ，所以1,3ab，双曲线方程为 2 2 1 3 y x 9已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成， 则该几何体的表面积等于（ ） A488 B484 C648 D644 9答案：D 解析：由三视图可知，该几何体是由一个半球和一个直四棱柱的组合体， 根据图中数据可知，表面积为 22 1 4 4 224 2 442644 2 10若将函数 2 ( )cos(1cos )(1 cos )f xxxx图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函 数( )yg x的图象，则函数( )y
7、g x的单调递减区间为（ ） A() 2 Zkkk ， B () 2 Zkkk ， C 11 () 844 Zkkk ， D 11 () 484 Zkkk ， 10答案：A 解析：因为 2222 111 ( )cos(1 cos )(1 cos )cossinsin 2cos4 488 f xxxxxxxx， 所以 11 ( )cos2 88 g xx，所以当222,Zkxkk，即2, 2 Zkxkk 时， ( )g x单调递减，即( )g x的单调递减区间是() 2 Zkkk ， 11已知函数( )2cos xx f xeex ，其中e为自然对数的底数，则对任意aR，下列不等式一定成立的是
8、（ ） A 2 (1)(2 )f afa B 2 (1)(2 )f afa C 2 (1)(1)f af a D 2 (1)( )f af a 11答案：A 解析：( )f x是偶函数， ( )2sin xx fxeex ，且(0)0 f ，令( )( )h xfx，则 ( )2cos xx h xeex ，当0,)x时，( )2cos0 xx h xeex 恒成立， 所以( )2sin xx fxeex 在0,)上单调递增，所以( )0fx在0,)x上恒成立，所以( )f x在 0,)上单调递增，因为 2 12aa，所以 2 12fafa，又因为( )f x是偶函数， 所以 2 (1)(2
9、)f afa 12 在ABC中，90CAB，1AC ，3AB 将ABC绕BC旋转至另一位置P(点A转到点P)， 如图，D为BC的中点，E为PC的中点 若 3 2 AE ，则AB与平面ADE所成角的正弦值是（ ） A 3 8 B 3 6 C 3 4 D 3 3 12答案：B 解析：因为,D E分别是BC和PC的中点，所以/DEPB，又90CPBCAB ，所以DEPC， 又 13 1, 22 ACCEAE， 所以AEPC， 所以PC 平面ADE， 如图， 延长ED至F， 使得EFPB， 连接BF，则BF 平面AED，连接AF，则BAF为AB与平面ADE所成的角，所以 1 3 2 sin 63 BF
10、 BAF AB A B E C D F P 第第卷卷 二二、填空题填空题：本大题共本大题共4小题小题，每小题每小题5分分.把答案填在答题卡把答案填在答题卡上上相应相应的的位置位置. 13若a 与b 的夹角为135，1a ，2b ，则ab _. 13答案：1 解析： 22 2 2 2 232 12321 2 ababaa bb ，所以1ab 14已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ， 1 2()N nn SSn ，则 10 a . 14答案：256 解析：因为 11 1aS， 1 2()N nn SSn ，所以数列 n S 是公比为2的等比数列，所以 1 2n n S ， 所以 9
11、88 10109 222256aSS 15将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3 3方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不 同列，且不在3 3方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有_种. 15答案：24 解析：要想任意两颗棋子不在同一行、同一列，和同一条对角线上， 则三颗棋子必有一颗在正方形方格的顶点，另两颗在对角顶点的两侧，如图所示， 由于正方形有四个顶点，故有四个不同的相对位置，又三颗棋子颜色不同，故不同的 放法共有 3 3 424A （种） 16已知 2 4 ( ) 1 x xxa f x exa ， ， (其中0a ，e为自然对数的底数)，若( )( )g
12、xff x在R上有三个不同的 零点，则a的取值范围是_. 16答案：2,0) 解析：令( )tf x，所以( )( )g xf t，( )( )g xff x在R上要有三个不同的零点，则( )0f t 必有两解， 所以20a，所以( )f x的大致图象如图所示，又( )f x的零点为 12 0,2xx ，所以( )0f t 必有两个 零点，12t 和 2 0t ， 而xa时， 2 min ( )4f xa， 所以要使( )yf t的两个零点都存在， 则 2 42a ， 否则 1 2t 这个零点就不存在，故 2 2a，所以20a 三三、解答题解答题：解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程
13、或演算步骤证明过程或演算步骤 17(本小题满分本小题满分10分分) 已知等比数列 n a各项都是正数，其中 3234 aaaa，成等差数列， 5 32a . ()求数列 n a的通项公式； ()记数列 2 log n a的前n项和为 n S，求数列 1 n S 的前n项和 n T. (17)(本小题满分本小题满分10分分) ()设等比数列 n a的公比为q，由已知得 2334 5 2() 32 aaaa a ， ， ，即 23 111 4 1 2 32. a qa qa q a q ， 0 n a ，0q ，解得 1 2, 2. q a 2n n a . 5分 ()由已知得， 21222 (1
14、) logloglog 2 nn n n Saaa ， 1211 2 (1)1 n Sn nnn ， 1 n S 的前n项和 111112 21 22311 n n T nnn .10分 18(本小题满分本小题满分12分分) 已知：在ABC中，abc， ，分别是角ABC， ，所对的边长，0 cos()cos ab ACA . ()判断ABC的形状； ()若 6 C ，62c ，求ABC的面积 18解析：()00coscos cos()coscoscos abab aAbB ACABA ，sin2sin2AB. AB，是ABC的内角，AB，或 2 AB ， ABC为等腰三角形或直角三角形. 5分
15、 ()由()及 6 C 知，ABC为等腰三角形，ab. 根据余弦定理 222 2cosababCc，得 2 (23)84 3a， 解得 2 4a ，2a ， ABC的面积 111 sin2 21 222 SabC . 12分 19(本小题满分本小题满分12分分) 统计学中， 经常用环比、 同比来进行数据比较.环比是指本期统计数据与上期比较， 如2017年7月与2017年6月相比. 同比是指本期数据与历史同时期比较，如2017年7月与2016年7月相比. =100% 本期数上期数 环比增长率 上期数 ，=100% 本期数同期数 同比增长率 同期数 . 下表是某地区近17个月来的消费者信心指数的统
16、计数据： 序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 时间 2017年 1月 2017年 2月 2017年 3月 2017年 4月 2017年 5月 2017年 6月 2017年 7月 2017年 8月 消费者信 心指数y 107.2 108.6 108.4 109.2 112.6 111 113.4 112 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2017年 9月 2017年 10月 2017年 11月 2017年 12月 2018年 1月 2018年 2月 2018年 3月 2018年 4月 2018年 5月 113.3 114.6 114.7 118.6 123.9 121.3
17、122.6 122.3 124 ()()求该地区2018年5月消费者信心指数的同比增长率(百分比形式下保留整数)； ()除2017年1月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？ ()由以上数据可判断，序号x与该地区消费者信心指数y具有线性相关关系，写出y关于x的线性回归方程 ybxa( a b，保留2位小数)，并依此预测该地区2018年6月的消费者信心指数(结果保留1位小数，参考数据 与公式： 17 1 18068 ii i x y ， 17 2 1 1785 i i x ，9115xy， 1 22 1 n ii i n i i x ynx y b xnx ) 19解析：()
18、()该地区2018年5月份消费者信心指数的同比增长率为124 112.6 100%10% 112.6 ； ()由已知环比增长率为负数，即本期数上期数，从表中可以看出，2017年3月、2017年6月、2017年8月、 2018年2月、2018年4月共5个月的环比增长率为负数. 5分 ()由已知计算得： 17 1 17 22 1 1.16 ii i i i x ynx y b xn x ， 104.56aybx， 线性回归方程为1.16104.56yx. 当18x 时，125.4y ，即预测该地区2018年6月份消费者信心指数约为125.4. 12分 20(本小题满分本小题满分12分分) 如图，矩
19、形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，60ABE，G为BE中点. ()求证：平面ACG 平面BCE； ()若3ABBC，求二面角BCAG的余弦值. 20解析：()证明：平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB， CB 平面ABEF，CBAG. 在菱形ABEF中，60ABE，可知ABE为等边三角形，G为BE中点，AGBE. BECBB，AG 平面BCE. AG 平面ACG，平面ACG 平面BCE.5分 ()由()知，AD 平面ABEF，AGBE，AGAFAD，两两垂直，以A为原点，如图建立空间直角 坐标系. 设2AB ，则 2 3 3 BC ， 2 3 (0,0,0
20、),( 3,0,0),31,( 3, 1,0) 3 AGCB ， ，. 设( , , )mx y z 为平面ABC的法向量，由 0 0 m AB m AC 得 30 2 3 30 3 xy xyz ， 取(1, 3,0)m ，同理可求平面ACG的法向量(0,2, 3)n ， 2 321 cos 727 m n m n m n ，即二面角BCAG的余弦值等于 21 7 .12分 21(本小题满分本小题满分12分分) 已知椭圆 22 22 :1 (0) xy Cab ab 经过点(2,1)M，且离心率 3 2 e . ()求椭圆C的方程； ()设AB、分别是椭圆C的上顶点与右顶点， 点P是椭圆C在
21、第三象限内的一点， 直线AP、 BP分别交x轴、y轴 于点M、N，求四边形AMNB的面积. 21解析()由椭圆的离心率为 3 2 得， 3 2 c a ，2ab. 又椭圆C经过点(2,1)， 22 41 1 4bb ，解得 2 2b ， 椭圆C的方程为 22 1 82 xy . 5分 ()由()可知，(0,2)A，(2 2,0)B.设 00 (,)P xy，则 直线 0 0 2 :2 y AP yx x ，从而 0 0 2 0 2 x M y ，； 直线 0 0 :(2 2) 2 2 y BP yx x ，从而 0 0 2 2 0 2 2 y N x ，. 四边形AMNB的面积 00 00 2
22、 2211 22 2 222 22 yx SANBM xy 222 00000000 000000 (22 2)444 28 28 (2 2)(2)22 24 xyxyx yxy xyx yxy . 22 00 1 82 xy ， 0000 0000 844 28 28 4 22 24 x yxy S x yxy . 12分 22(本小题满分本小题满分12分分) 已知 2 (1) ( ) ax x f x e (其中Ra，e为自然对数的底数). ()求( )f x的单调区间； ()若 12 xx，分别是( )f x的极大值点和极小值点，且 12 xx，求证： 1212 ()()f xf xxx
23、. 22解析：() 当0a 时， 2 ( )(1)f xx，( )f x的单调增区间是( 1,)，单调减区间是(, 1) ； 当0a 时， 2 (1)1 ( ) ax a xx a fx e . 当0a 时，由( )0fx解得1x 或 2 1x a ；由( )0fx解得 2 11x a ， ( )f x的单调增区间是 2 ,1 a 和( 1,) ，单调减区间是 2 1,1 a ； 当0a 时，由( )0fx解得 2 11x a ；由( )0fx解得 2 1x a 或1x ， ( )f x的单调增区间是 2 1 1 a ，单调减区间是(1) ，和 2 1 a ，.5分 ()由已知和()得，当0a
24、 时满足题意，此时 1 2 1x a ， 2 1x . 1212 ()()f xf xxx 2 2 42 2 a e aa 22 422 a eaa 22 20 a eaa . 令 22 ( )2(0) a g aeaaa ，则 2 ( )221 a g aea . 令 2 ( )221 (0) a h aeaa ，则 2 ( )220 a h ae 恒成立， 2 ( )221(0) a h aeaa 在(0,)上单调递增. 22 1322 8 23212111 (0)1020 8442 2 hh eee e ， 0 3 0, 8 a ，使 0 ()0h a，即 0 2 0 21 2 a ea . 从而，当 0 (0,)aa时，( )0g a；当 0 (,)aa时，( )0g a， ( )g a在 0 (0,)a上单调递减，在 0 (,)a 上单调递增， 0 22 000 ( )()2 a g ag aeaa ，将 (*)式代入得 2 000 ( )()31g ag aaa. 2 00 31yaa在 3 0, 8 上单调递减， 2 2 00 331 31310 8864 aa ， 0 ( )()0g ag a ，即 22 20 a eaa ， 1212 ()()f xf xxx. 12分
