1、三角形中重要线段交于一点证明三角形中重要线段交于一点证明 经过了学习，我们都知道三角形中的角平分线、中线、高线均交于经过了学习，我们都知道三角形中的角平分线、中线、高线均交于 一点。 这真的是偶然的现象吗？并不是这样的， 现在让我们来以一一一点。 这真的是偶然的现象吗？并不是这样的， 现在让我们来以一一 进行证明。进行证明。 首先我们介绍两个公式首先我们介绍两个公式 梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理 这个定理是用来证明三点共线的重要定理，与这次所要证明的并无关系。但作为这 次所要使用的塞瓦定理的孪生兄弟，也可谓重要至极。 塞瓦定理塞瓦定理 这个定理即是我们这次所需要的主角， 它能够证明三线共点或平行，
2、 而只有能满足上述关 系式，就能证明三线共点或平行 一、一、中线交于一点中线交于一点 课本上已经介绍过，三条中线交于一点，而这个交点叫做重心。课本上已经介绍过，三条中线交于一点，而这个交点叫做重心。 我们现在来证明一下重心的存在性。我们现在来证明一下重心的存在性。 法一：塞瓦定理法一：塞瓦定理 作作ABCABC 的中线的中线 AEAE、BFBF 交于点交于点 G G。连接。连接 AGAG 并延长交并延长交 BCBC 于点于点 E E。 AEAE、BFBF 是是ABCABC 的中线（已知）的中线（已知） AD=BD,AF=CF(AD=BD,AF=CF(三角形中线定义三角形中线定义) ) FA C
3、F EC BE DB AD *=1(=1(塞瓦定理塞瓦定理) ) EC BE =1=1（等量代换）（等量代换） 即即 BE=ECBE=EC AEAE 是是ABCABC 的中线（三角形的中线定义）的中线（三角形的中线定义） 法二：相似法二：相似 作作ABCABC 的中线的中线 CFCF、ADAD 分别交分别交 ABAB、CDCD 于于 F F、D D。CFCF、 ADAD 相交于相交于 G G。连接。连接 BGBG 并延长至并延长至 E E 交交 ACAC 于于 E E。过。过 G G 作作 BCBC 的平行线分别交的平行线分别交 ABAB、ACAC 于于 I,JI,J。过。过 G G 作作 A
4、BAB 的平行线分别交的平行线分别交 ACAC、BCBC 于于 K K、H H。连接。连接 IHIH。 IJIJBCBC（已作）（已作） AIJ=AIJ=ABC,ABC,AGI=AGI=ADBADB（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） 在在AIGAIG 和和ABDABD 中中 AIJ=AIJ=ABCABC AGI=AGI=ADBADB（已证）（已证） IAG=IAG=BADBAD（公共角）（公共角） AIGAIGABDABD AD AG BD IG （相似三角形性质）（相似三角形性质） 同理可得：同理可得： AD AG CD JG CD JG BD IG （等量代换）（等量代换
5、） ADAD 是是ABCABC 的中线（已知）的中线（已知） BD=CDBD=CD（中线定义）（中线定义） IG=JGIG=JG（等式性质）（等式性质） 同理可得同理可得:HG=KG:HG=KG 在在IGHIGH 和和JGKJGK 中中 IG=JGIG=JG（已证）（已证） IGH=IGH=JGKJGK（对顶角相等）（对顶角相等） HG=KGHG=KG（已证）（已证） IGHIGHJGKJGK（SAS)SAS) GIH=GIH=GJKGJK（全等三角形性质）（全等三角形性质） IHIHAC(AC(内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行) ) BLI=BLI=BEA,BEA,BIL=BIL
6、=BAEBAE（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） 在在BILBIL 和和BAEBAE 中中 BLI=BLI=BEABEA BIL=BIL=BAEBAE（已证）（已证） IBL=IBL=ABEABE（公共角）（公共角） BILBILBAEBAE BE BL AE IL ( (相似三角形性质相似三角形性质) ) 同理可得：同理可得： BE BL CE HL CE HL AE IL （等量代换）（等量代换） CE AE HL IL ( (分式性质分式性质) ) IGIGBHBH（已作）（已作） LIG=LIG=LHBLHB，IGL=IGL=HBLHBL（两直线平行，内错角相等）（两
7、直线平行，内错角相等） 在在ILGILG 和和HLBHLB 中中 LIG=LIG=LHBLHB（已证）（已证） IG=HBIG=HB（平行四边形对边相等）（平行四边形对边相等） IGL=IGL=HBLHBL（已证）（已证） ILGILGHLBHLB（ASAASA） IL=LHIL=LH（全等三角形性质）（全等三角形性质） AE=CEAE=CE（等量代换）（等量代换） BEBE 是是ABCABC 的中线（中线定义）的中线（中线定义） 三角形三条中线交于一点三角形三条中线交于一点 二、二、角平分线交于一点角平分线交于一点 课本上已经介绍过，三条角平分线交于一点，而这个交点叫做内课本上已经介绍过，三
8、条角平分线交于一点，而这个交点叫做内 心，它是三角形内切圆的圆心。我们现在来证明一下内心的存在性。心，它是三角形内切圆的圆心。我们现在来证明一下内心的存在性。 法一法一: :如果要运用塞瓦定理，那么我们先补充一个公式如果要运用塞瓦定理，那么我们先补充一个公式 如果如果 ADAD 是是ABCABC 的角平分线，则的角平分线，则 AC AB CD BD 现在开始证明：现在开始证明： 作作ABCABC 的角平分线的角平分线 CECE、BFBF 交于点交于点 I I，连接，连接 AIAI 并并 延长交延长交 BCBC 于于 D D。 BFBF、CECE 是是ABCABC 的角平分线（已知）的角平分线（
9、已知） FC AF BC BA , , BE AE CB CA ( (角平分线定理角平分线定理) ) 1* FA CF DC BD EB AE ( (塞瓦定理塞瓦定理) ) DC BD BA BC CB CA *=1(=1(等量代换等量代换) ) 即即 BD DC BA CA ADAD 是是ABCABC 的角平分线。 （角平分线逆定理）的角平分线。 （角平分线逆定理） 法二：法二： 作作ABCABC 的角平分线的角平分线 CECE、BFBF 交于点交于点 I I，连接，连接 AIAI 并并 延长交延长交 BCBC 于于 D D。过。过 I I 作作 ABAB、BCBC、ACAC 的垂线的垂线
10、分别交分别交 ABAB、BCBC、ACAC 于于 H H、K K、J J。 BFBF 是是ABCABC 的角平分线（已知）的角平分线（已知） ABF=ABF=CBFCBF（角平分线定义）（角平分线定义） IKIKBCBC，IHIHABAB（已作）（已作） IKB=IKB=IHB(IHB(垂直定义及等量代换垂直定义及等量代换) ) 在在IKBIKB 和和IEBIEB 中中 HBI=HBI=DBI(DBI(已证已证) ) BI=BIBI=BI（公共边）（公共边） IKB=IKB=IHB(IHB(已证已证) ) IKBIKBIEBIEB（ASAASA） 同理可得：同理可得：IKCIKCIJCIJC
11、IK=HI,IK=IJIK=HI,IK=IJ（全等三角形性质）（全等三角形性质） HI=IJHI=IJ（等量代换）（等量代换） 在在HIAHIA 和和JIAJIA 中中 HI=JI(HI=JI(已证已证) ) AI=AIAI=AI（公共边）（公共边） HIAHIAJIAJIA（HLHL） HAI=HAI=JAIJAI（全等三角形性质）（全等三角形性质） ADAD 是是ABCABC 的角平分线（角平分线定义）的角平分线（角平分线定义） 三、三、高线交于一点高线交于一点 课本上已经介绍过，三条高线交于一点，而这个交点叫做垂心。课本上已经介绍过，三条高线交于一点，而这个交点叫做垂心。 我们现在来证明
12、一下垂心的存在性。我们现在来证明一下垂心的存在性。 作作ABCABC 的三条高的三条高 AEAE、BFBF、CDCD 交交 BCBC、ACAC、ABAB 于于 E E、 F F、D D。 AEAE、CDCD 是是ABCABC 的高（已知）的高（已知） AEB=AEB=BDC(BDC(三角形高线定义及等量代换三角形高线定义及等量代换) ) DCB=90DCB=90- -ABCABC，BAE=90BAE=90- -ABC(RTABC(RT两锐角互余两锐角互余) ) DCB=DCB=BAEBAE（等量代换）（等量代换） 在在ABEABE 和和CBDCBD 中中 AEB=AEB=CDB(CDB(已证已
13、证) ) BAE=BAE=BCD(BCD(公共边公共边) ) ABE=ABE=CBD(CBD(已证已证) ) ABEABECBDCBD 同理可得：同理可得：ACEACEBCFBCF，AFBAFBADCADC CB AB BD BE , , CB CA CF CE , , AC AB AD AF ( (相似三角形性质相似三角形性质) ) FA CF EC BE DB AD *= = AC BC BC AB AB AC *=1(=1(等式性质等式性质) ) AEAE、BFBF、CDCD 交于一点（塞瓦逆定理）交于一点（塞瓦逆定理） 四、四、中垂线交于一点中垂线交于一点 课本还没有介绍过， 三条中垂
14、线交于一点， 而这个交点叫做外心，课本还没有介绍过， 三条中垂线交于一点， 而这个交点叫做外心， 是三角形外切圆的圆心。我们现在来证明一下外心的存在性。是三角形外切圆的圆心。我们现在来证明一下外心的存在性。 作作ABC 的中垂线的中垂线 EO、FO 交于交于 O，连接，连接 OA、OB、OC，过，过 O 作作 ODBC 交交 BC 于于 D。 OE、OF 是是ABC 的中垂线的中垂线(已知已知) AE=EB,AE=EB,AEO=AEO=BEO=90BEO=90（三角形中垂线定义）（三角形中垂线定义） 在在AOEAOE 和和BOEBOE 中中 AE=BEAE=BE AEO=AEO=BEOBEO（已证）（已证） OE=OEOE=OE（公共边）（公共边） AOEAOEBOEBOE（SASSAS） AO=BOAO=BO（全等三角形性质）（全等三角形性质） 同理可得：同理可得：AO=COAO=CO BO=COBO=CO（等量代换）（等量代换） PNPNBCBC（垂直定义）（垂直定义） ODOD 是是BOCBOC 的高线（三角形高线定义）的高线（三角形高线定义） ODOD 是是BOCBOC 的中线（等腰三角形三线合一）的中线（等腰三角形三线合一） ODOD 是是ABCABC 的中垂线（三角形中垂线定义）的中垂线（三角形中垂线定义）
