1、 专题专题 2323平行四边形的存在性平行四边形的存在性 破解策略破解策略 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知 识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高， 这类题，一般有两个类型： （1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题： 以A，B，C三点为顶点的平行四边形构造方法有： _x0001_ 作平行线：如图，连结AB，BC，AC，分别过点A，B，C作其对边的平行线， 三条直线的交点为D，E，F则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形 F E D C B A 倍长中线：如图，延长边AC，AB，BC上的中线，使延长部分与中线
2、相等，得点D， E，F，连结DE，EF，FD则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形 A B C D E F （2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题： 先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问 题，再构造平行四边形 解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需 要分类讨论 通常这类问题的解题策略有： （1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答 如图，若ABCD且ABCD，分别过点B，C作一组平行线BE，CF，分别过点A，D作一组平 行线AE，DF，则AEB DFC，从而得到线段间的
3、关系式解决问题 A B C D E F （2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验 如图已知平行四边形ABCD连结AC，BD交于点O设顶点坐标为A（xA，yA）B（xB，yB）， C（xC，yC），D（xD，yD） O D C B A _x0001_ 用平移的性质求未知点的坐标： , . BACDBCAD BACDBCAD xxxxxxxx yyyyyyyy 祆 - =-=-镲 镲 眄 镲- =-=- 镲铑 或 利用中点坐标公式求未知点的坐标： , 22 . 22 ACBD ACBD xxxx yyyy + + = + = 有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又
4、快又好 例题讲解 例例 1 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx 2mxn 经过点A（3，0），B（0， 3），P是直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M （1）分别求出直线AB和这条抛物线的表达式； （2）是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由 y x M O P B A 解：（1）将点A，B的坐标代入抛物线的表达式，得yx 22x3设直线 AB的表达式 为ykxb，将点A，B的坐标代入，得yx3 （2）存在 因为PMOB，所以当PMOB时，四边形即为平行四边形 根据题意设点P的坐标为（p
5、，p3），则点M的坐标为（p，p 22p3） 所以 2 (3)(23)3ppp-= 解得 321 2 p =，故满足条件的点P的横坐标为 321 2 p = 例例 2 边长为 2 的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，D是OA边的中点， 连结CD，点E在第一象限，且DEDC，DEDC，以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点 （1）求抛物线的表达式； （2）M为直线上一动点，N为抛物线上一动点，问：是否存在点M，N，使得以点M，N，D， E为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明 理由 E x y O A B C D 图1 G E x y O A
6、 B C D 解解 （1）如图 1，过点E作EGx轴于点G 易证ODCGED（AAS），所以 1 1 2 GEODOA= 所以点E的坐标为（3，1） 而直线AB为抛物线的对称轴，直线AB的表达式为x2， 所以可设抛物线的表达式为ya（x2） 2k， 将C，E两点的坐标代入表达式，得 42, 1, ak ak += += 解得 1 , 3 2 . 3 a k = = 所以抛物线的表达式为 2 2 1214 22 3333 yxxx （2）存在 由题意可设点M的坐标为（2，m），N的坐标为 2 14 ,2 33 nnn 以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形有以下可能： 当DE为平行四边形的
7、边时， （i）如图 2，若DEMN，MDNE， 由平移的性质可得 2 2 13 14 02 1 33 n mnn 解得 1. 4. m n 此时点M的坐标为（2，1），N的坐标为（4，2） （ii）如图 3，若DEMN，MEND 由平移的性质可得 2 123. 14 201. 33 n nnm 解得 3. 0. m n 此时点M的坐标为（2，3），N的坐标为（0，2） 当DE为平行四边形的对角线时，如图 4 由平行四边形对角线互相平分性质可得 2 1 32. 14 0 12. 33 n mnn 解得 1 . 3 2. m n 此时点M的坐标为 1 2, 3 ，N的坐标为 2 2,. 3 例 3
8、 如图，抛物线 2 yxbxc的顶点为D（1，4），与y轴交于点C（0， 3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） （1）求抛物线的表达式； （2）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，C，E，F为顶点的四 边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由 解 （1）将点C，D的坐标代入抛物线的表达式，得 2 23.yxx （2）存在 令 2 12 230,1,3.xxxx 解得 所以点A的坐标为（3，0），B的坐标为（1，0） 由点F在抛物线上可设点F的坐标为 2 ,23m mm 方法一：如图 1、图 2，当AC为平行四边形的边是， 图 1
9、 图 2 过点F作FP垂直于抛物线的对称轴，垂足为P 易证PEFOCA 所以PFAO3， 从而点F的坐标为（2，5）或（4，5） 如图 3，当AC为平行四边形的对角线时， 过点F作FPy轴于点P令抛物线的对称轴交x轴于点Q， 易证PCFQEA 所以PFAQ2，从而点F的坐标为（2，3），此时点F与点C纵坐标相同，所以 点E在x轴上 y x O PF E D C BA y x O P F E D C BA 图 3 方法二：如图 3，当AC，EF为平行四边形的对角线时， 可得 2 30 2303 E E xm ymm ， 又因为点E在抛物线的对称轴上， 所以m2， 则点F的坐标为（2，3） 如图
10、1，当AE，CF为平行四边形的对角线时， 可得 2 3 25 E E xm ymm + ， 又因为点E在抛物线的对称轴上， 所以m4， 则点F的坐标为（2，3） 如图 2，当AF，CE为平行四边形的对角线时， 可得 2 3 2 E E xm ymm ， 又因为点E在抛物线的对称轴上，所以m2 则点F的坐标为（2，5） 综上可得，满足平行四边形的点F的坐标为（2，3）（4，5）（2，5） 进阶训练进阶训练 1如图，四边形ABCD是直角梯形，AD/BC，B90，AD24cm，BC28cm，点P从点 A出发，沿AD以 1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，沿CB以 3cm/s的速度向 点B
11、运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动问：从运动开始，经过多 长时间，四边形PQCD成为平行四边形？ P C A B D Q 2如图，抛物线yax bxc 过A（3，0），B（1，0），C（0，3） 三点，抛物 线的顶点位P （1）求抛物线的表达式； y x O PF E D C B A （2） 直线y2x3 上是否存在点M， 使得以A，P，C，M为顶点的四边形是平行四边形？ 若 存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 x y P O C BA 3如图，在矩形OABC中，OA5，AB4，点D为边AB上一点，将BCD沿直线CD折叠， 使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC
12、，OA所在的直线为x轴y轴建立平面直角坐 标系若点N在过ODC三点的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，问是否存在这样的 点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在请求出M点坐标; 若不存在，请说明理由 答案：存在满足条件的点M，其坐标为（2，16），（6，16）或（2， 3 16 ） 提示：易证DAEEOC，从而点D的坐标为)5- , 2 3 - (，得到过点O，D，C的抛物线的 解析式为 xxy 3 16 3 4 2+ = 再分类讨论，由对角线互相平分，中点横纵坐标相等列出方程， 从而找到符合条件的点M（参考例 3 的方法二） 4如图，抛物线与x轴交于点A（5，0），
13、B（3，0），与y轴交于点C（0，5）有一 宽度为 1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线 于点P，Q交直线AC于点M，N在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边 形是平行四边形时，求点M的坐标 答案：点M的坐标为（2，3），)63 ,62- ()6-3 ,6-2- (+或 提示由点A，B，C的坐标可得抛物线的表达式为 5 3 2 - 3 1 - 2 +=xxy ，直线AC的表达式为 yx5， 设点M的坐标为 （t，t5） ， 则点N（t1，t4） ，P（t， ) 3 16 3 1 - , 1-(),5 3 2 - 3 1 - 22 +ttQtt 在矩形平移的过程中，以P，Q，N，M为顶点的平行四边形有两种情况：当P，Q在直线 AC同侧时，有yPyMyQyN，得到点M的坐标为（2，3）;当P，Q在直线AC异侧时， 有yPyMyNyQ得到点M的坐标为（26，36）或（26，36）
