1、 专题专题 1717一线三等角模型一线三等角模型 破解策略破解策略 在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的1，2，3 相等，1，2 的一条边在直 线AB上，另一条边在AB同侧，3 两边所在的直线分别交1，2 非公共边所在的直线于 点C，D 1当点当点P在线段在线段AB上，且上，且3 两边在两边在AB同侧时同侧时 （1）如图，若1 为直角，则有ACPBPD 3 2 1 D B P A C （2）如图，若1 为锐角，则有ACPBPD 3 C D BPA 证明：DPB1803CPA，C1801CPA，而13 CDPB， 12，ACPBPD （3）如图，若1 为钝角，则有ACPBPD 2 3 1
2、D BPA C 2当点当点P在在AB或或BA的延长线上，且的延长线上，且3 两边在两边在AB同侧时同侧时 如图，则有ACPBPD 3 21 C P D B A 证明：DPB1803CPA，C1801CPA，而13 CDPB， 12PBD，ACPBPD 3当点当点P在在AB或或BA的延长线上，且的延长线上，且3 两边在两边在AB异侧时异侧时 如图，则有ACPBPD 3 21 C D B A P 证明：C1CPB，BPD3CPB，而13 CBPD 12，PACDBPACPBPD 例题讲解例题讲解 例例 1：已知：EDF的顶点D在ABC的边AB所在直线上（不与点A，B重合）DE交AC 所在直线于点M
3、，DF交BC所在直线于点N记ADM的面积为S1，BND的面积为S2 （1）如图 1，当ABC是等边三角形，EDFA时，若AB6，AD4，求S1S2的值； （2）当ABC是等腰三角形时，设BAEDF 如图 2，当点D在线段AB上运动时，设ADa，BDb，求S1S2的表达式（结果用a，b 和a的三角函数表示） 如图 3，当点D在BA的延长线上运动时，设ADa，BDb，直接写出S1S2的表达式 N FC M E B D A F N M E B D A C FN D A B EM C 图 1 图 2 图 3 解解：（1）如图 4，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H HG A D B EM C
4、 F N 则S1S2 1 2 MGAD 1 2 NHBD 1 4 ADAMABDBN 由题意可知AB60，所以 sinAsinB 3 2 由“一线三等角模型”可知AMDBDN AMAD BDBN ，从而AMBNADBD8，S1S212 （2）如图 5，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H HG C A D B E M N F 则S1S2 1 2 MGAD 1 2 NHBD 1 4 ADAMABDBN 由“一线三等角模型”可得AMDBDN， 所以 AMAD BDBN ，从而AMBNADBDab， 所以S1S2 1 4 absina； 如图 6，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H
5、 H G C M E B A D NF 则S1S2 1 2 MGAD 1 2 NHBD 1 4 ADAMABDBN 由“一线三等角模型”可得AMDBDN， 所以 AMAD BDBN ，从而AMBNADBDab， 所以S1S2 1 4 absina； 例例 2：如图，在等腰三角形ABC中，BAC120，ABAC2，点D是BC边上的一个动 点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE30 （1）设BDx，AEy，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）当ADE是等腰三角形时，求AE的长 E CDB A 解（1）ABC是等腰三角形，且BAC120， ABDACB30， ABDAD
6、E30， ADCADEEDCABDDAB， EDCDAB， ABDDCE； ABAC2，BAC120， 过A作AFBC于F， AFB90， AB2，ABF30， AF 1 2 AB1， BF3， BC2BF2 3， 则DC2 3x，EC2y ABDDCE， ABDC BDCE ， 22 3 2 x xy ， 化简得： 2 1 32 2 yxx 02 3x E C D B A （2）当ADDE时，如图 2， ABDDCE， 则ABCD，即 22 3x， x2 32，代入 2 1 32 2 yxx 解得：y42 3，即AE42 3， 当AEED时，如图， EADEDA30，AED120， 所以DE
7、C60，EDC 90 则ED 1 2 EC，即y 1 2 （2y） 解得y 2 3 ，即AE 2 3 ； 当ADAE时，有AEDEDA30，EAD120 此时点D和点B重合，与题目不符，此情况不存在 所以当是ADE等腰三角形时，AE42 3或AE 2 3 A A B BC C D D E E 进阶训练进阶训练 1如图，在ABC中，ABAC，点E在BC边上移动（不与点B，C重台）满足 DEFB，且点D，F分别在边AB，AC上当点E移动到BC的中点时，求证：FE平 分DFC D F EC B A 1略 【提示】由题意可得BDEFC由“一线三等 角模型”可得BDECEF，可得 BE CF DE EF
8、 而BECE 所以 CE CF DE EF ，从而DEFECF所以DEFEFC，即FE平分DFC 2 如图，在等边ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，AD2BE6将DE绕点 E顺时针旋转 60，得到EF取EF的中点G，连结AG延长CF交AG于点H若 2AH 5HG，求BD的长 G H F E D C B A 2BD9 【提示】 如图， 过点F作FIAC 交BC于点I 则FIEACBABC 易证DBEE IF， 则IF BE ，IEBD，所以BCBEAD，即ICBEIF，则ACH BCH30延长CH变AB于点J，则CJAB，A BJ 分别过点G，E作AB的垂线段，垂足为K，L，则KLKJ AJ JK AH HG 5 2 ，所以AJ： JK：KL：BL5：2：2：l因为BE3，LEB 30，所以BL15AB15所以BD 9 L K J I A B C D E F H G
