1、 专题专题 2626相似三角形的存在性相似三角形的存在性 破解策略破解策略 探究两个三角形相似时， 一般情况下首先寻找一组对应角相等， 然后根据对应边成比例 分两种情况列方程掌握一些相似的基本模型有助于快速解决问题， 相似三角形的基本模型有： 1“A”字形 已知：在ABC中点D在AB上，点E在AC上DEBC 结论：ABCADE D E C B A 2反“A”字形 （1）已知：在ABC中，点D在AB上，点E在AC上，AEDABC 结论：ABCAED A B C D E （2）已知：在ABC中，点D在AB上，ACDABC 结论：ABCA（：D A BC D 3“8”字形 已知：在ABC中，点D在C
2、A的延长线上，点E在BA的延长线上，DEBC 结论：ABCAED A BC DE 4反“8”字形 已知：在ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，ADEABC 结论：ABCADE A B C D E 5双垂直双垂直 已知：ABC中，BAC90，AD为斜边BC上的高 结论：ABCDBA，ABCDAC，ABDCAD D B C A 6一线三等角一线三等角 （1）已知 RtABC和 RtCED，B，C，E三点共线，90BEACD 结论：ABCCED D BE A C （2）已知ABC和CDE，B，C，E三点共线，90BEACD 结论：ABCCED D BE C A （3）已知ABC和C
3、ED，B，C，E三点共线，90BEACD 结论：ABCCED D BEC A 例题讲解例题讲解 例例 1 如图，已知A（1，0），B（4，0），C（2，6）三点，G是线段AC上的动点（不与点 A，C重合）若ABG与ABC相似，求点G的坐标 x y C BA O G 解解：设直线AC的表达式为ysxt， 把A，C两点坐标代入可得 0 62 st st ，解得 2 2 s t 所以直线AC的表达式为22yx 设点G的坐标为（k，2k2）， 因为点G与点C不重合， 所以ABG与ABC相似只有AGBABC一种情况 所以 AGAB ABAC 而AB5， 22 (2 1)( 6)3 5AC ， 22 (1
4、)( 22)51AGkkk ， 所以 51 5 53 5 k ， 即 5 1 3 k ， 解得 1 2 3 k ， 2 8 3 k （舍） 所以点G的坐标 210 ( ,) 33 例例 2 如图，抛物线 2 (2)(4) 8 yxx与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交 于点C，CDx轴交抛物线于点 D P是抛物线上一点，问：是否存在点P， 使以P，A，B 为顶点的三角形与ABD相似（PAB与ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不 存在，说明理由 x y D C BAO 解解：存在 因为点A（2，0），B（4，0），C（0，2），过点D（2，2）作DEAB于点E， 由勾股定理得3
5、 2,6ADBD 如图， 当 1 PABABD时， 1 PBAB ABBD ， 所以 1 6 6PB 过点 1 P作 11 PMAB于点 1 M， 所以 11 1 PMDE PBBD ， 解得 11 6 2PM 1 1 BMBE PBBD =， 1 12BM ，点 1 P的坐标为（8，6 2）， 因为此时点 1 P不在抛物线上，所以此种情况不存在 当 2 P ABBDA时， 2 P BAB ABAD =，所以 2 6 2P B =过点 2 P作 22 P MAB于点 2 M， 所以 22 2 PMDE P BAD =，解得 22 2 2PM =因为 2 2 BMAE P BAD =，所以 2
6、8BM ， 所以点 2 P的坐标为（4，2 2），将x4 代入抛物线的表达式得2 2y =， 所以点 2 P在抛物线上 由抛物线的对称性可知：点 2 P与点 3 P关于直线x1 对称， 所以 3 P的坐标为（6，2 2） 当点 4 P位于点C处时，两个三角形全等，所以点 4 P的坐标为（0，2-） 综上所得，点P的坐标为（4，2 2），（6，2 2）或（0，2-）时，以P，A，B为顶 点的三角形与ABD相似 x y M2 P2 M3 P3 P1 M1 D C(P4) BAO 例例 3 如图，已知直线3yx 与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线 2 yxbxc经 过A，B两点，点P在线段OA上
7、，从点O出发，向点A以 1 个单位/秒的速度匀速运动；同 时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设 运动时间为t秒设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q， M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似?若存在，请求出t的值；若不存在， 请说明理由 x y Q M B A O P 解解： 3yx 与x轴交于点A，与y轴交于点B， A点坐标为（3，0），B点坐标 为（0，3）， 将A（3，0），B（0，3）代入 2 yxbxc， 得 930 3 bc c ，解得 2 3 b c ， 所以抛物线的解析式为 22 23(1)
8、4yxxx 点M的坐标为（1，4）， 22 112MB 所以 222 BMABAM， 90MBA 如图， 设运动时间为t秒， 则OPt， (3) 2BQt 当BOPQBM时， MBBQ OPOB ， 即 2(3) 2 3 t t ，整理得： 2 330tt， 而 2 34 1 30 ，所以此种情况不存在； 当BOPMBQ时， MBBQ OBOP ， 即 2(3) 2 3 t t ，解得 9 4 t 所以当 9 4 t 时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似 x y Q M B A O P 进阶训练进阶训练 1如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 3 4 yxbxc
9、 的图象交x轴于4,0A， 1,0B 两点，交y轴于点 C （1）求抛物线的表达式和对称轴； （2）若P是线段OA上的一点（不与点O，A重合），Q是AC上一点，且PQPA，在x轴上 是否存在点D，使得ACD与APQ相似？如果存在，请求出点D的坐标；如不存在，请说 明理由 x y B A C O Q P 解：（1）抛物线的表达式为 2 39 3 44 yxx ，对称轴为 3 2 x （2）存在点D的坐标为4,0， 7 ,0 8 提示（2）由题意知APQ为等腰三角形，如果ACD与APQ相似，那么ACD也是等腰 三角形 如图 1，当AD为底边时，D，A关于y轴对称，此时点D的坐标为4,0； 如图 2
10、当AC为底边时， 5 8 DA AC ，所以 5 8 DA ，此时点D的坐标为 7 ,0 8 x y 图1 OD C A x y 图2 O C DA 2如图，设抛物线 2 2yaxbx与x轴交于不同的点1,0A ，,0B m，与y轴交于点 C，已知ACB90 （1）求m的值和抛物线的表达式； （2）已知点1,Dn在抛物线上，过点A的直线1yx交抛物线与另一点E若点P在x 轴上，是否存在这样的点P，使得以点P，B，D为顶点的三角形与AEB相似？ x y E A C B O D 解：2（1）4m ，抛物线的表达式为 2 13 2 22 yxx； （2）存在点P的坐标为 13 ,0 7 或 22 ,
11、0 5 【提示】 （1）由已知条件可得OA1，OC2，易证AOCCOB，从而mOB4，再将A， B两点的坐标代入表达式即可求得 （2） 易求得点1, 3D，6,7E，分别过点D，E作x轴的垂线，垂足分别为H，G易证 EAGDBH 所以PBD和AEB相似存在两种情况：如图 1，当ABEBPD时，有 ABBP AEBD ， 得点P的坐标为 13 ,0 7 如图 2，当ABEBDP时，有 ABBD AEBP ，得点P的坐标为 22 ,0 5 x y 图1 E A C B O D H G P x y 图2 E A C B O D P 3如图，抛物线 2 23yxx与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于 点C，直线l经过A，C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧部分上运动，直线m经过B，Q两 点，与y轴交于点N，与直线l交于点G问：是否存在直线m，使得直线l，m与x轴围成 的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似（不包括全等）？若存在，求出直线m的表 达式，若不存在，请说明理由 x y m l G B N C A O Q 解存在，直线m的表达式为 1 1 3 yx 【提示】根据AGBGNCGCN所以当AGBNGC时，只能AGBCGB90， 所以AOCNOB，所以直线m的表达式为 1 1 3 yx
