1、第七节第七节 函数的连续性函数的连续性一、连续与间断的直观描述一、连续与间断的直观描述二、函数连续与间断概念二、函数连续与间断概念三、连续函数的运算三、连续函数的运算四、闭区间上连续函数性质四、闭区间上连续函数性质问题导言 连续与间断第四节第四节 函数的连续性函数的连续性 自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等都是随时间连续地变化的.这种现象在反映在函数关系上就是函数的连续性.连续性描述了自然界的渐变现象.除了渐变现象，自然界还存在突变现象，突变现象则反映的是函数的间断特征.连续与间断问题举例 在此，从函数连续与间断的矛盾关系出发，展开对函数连续与间断特征的研究.放射性元素
2、铀的衰变的数学模型tMtMe)(0tMtMe)(00M火箭飞行中的质量变化函数图形)(tmm 一、连续与间断举例与描述连续与间断点特征分析)(xfy 0 x)(xfy 0 x)(xfy 0 x间断点特征)()(lim)3(00 xfxfxx)(lim)(lim00 xfxfxxxx)()(lim00 xfxfxx)(xfy 0 x )(0处无定义在xxxf连续点特征 )()1(0处有定义在xxxf)(lim)(lim)2(00 xfxfxxxx 定义 设函数y=f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋向于零时，相应的函数增量 也趋于零，即 则称函数y=f(x)在点x0处连续
3、.，0lim0yx)()(00 xfxxfy0 xxx若的某邻域内有定义在点设函数,)(0 xxfy 定义)()(lim00 xfxfxx .)(,)(00的连续点为并称处连续在点则称函数xfxxxf1.连续函数的概念二、连续与间断概念:)(0三个条件点连续应同时满足下列在xxf;)()1(0处有定义在点xxf).()(lim(3)00 xfxfxx;)(lim)2(0存在极限xfxx函数连续性的判别函数f(x)在点 x0 处连续的几何意义是：f(x)的图形在点(x0,f(x0)处是联结在一起的，没有断隙.函数f(x)在区间 I 上连续，其图形是一条连接不断的曲线.)(xfy 0 x函数的单侧
4、连续),()(lim00 xfxfxx若则称函数 f(x)在点x0左连续.),()(lim00 xfxfxx若则称函数 f(x)在点x0右连续.定理 函数 f(x)在点x0处连续的充分必要条件是 f(x)在点 x0 处既左连续又右连续.即 函数的单侧连续主要用于分段函数分断点及区间端点处函数连续特征的讨论.)()(lim00 xfxfxx).()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx若函数 f(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续,则称函数 f(x)在开区间(a,b)内连续,且称它是开区间(a,b)上的连续函数.若函数 f(x)在(a,b)内连续,并且在左端点 a 处右连续，右端点
5、b处左连续，则称函数 f(x)在闭区间 a,b上连续.且称它是闭区间a,b上的连续函数.区间上的连续函数结论 基本初等函数在其定义域内为连续函数.0)(处左连续在 xxf.0)(处右连续在 xxf),0(0sinlim)(lim00fxxfxx又 .00 ,sin,0 ,)(点的连续性在考察函数xxxxxxf例),0(0lim)(lim00fxxfxx解因此 f(x)在x=0 点连续.例 设函数 ，问当a为何值时，在 处连续？00)(xxaxexfx)(xf0 x解 函数在 处有定义，且 0 xaf)0(axaxfxx)(lim)(lim00,1lim)(lim00 xxxexf因为要使 在
6、处连续，应满足)(xf0 x).0()(lim)(lim00fxfxfxx即当 时，在 处连续.)(xf0 x1a2、函数的间断点.)()(000称为函数的间断点处间断，点在点处不连续，则称在点如果函数xxxfxxf定义;)(lim,)(2)00不存在但处有定义在点xfxxfxx;)()1(0处无定义在点xxf:)(0况处间断，有下列三种情在点函数xxf.)()(lim )(lim,)(3)0000 xfxfxfxxfxxxx存在，但是且处有定义在点但是极限 不存在，所以x=0是函数 f(x)的间断点.xx1sinlim0有定义，在函数0 0 ,0,0 ,1sin)(xxxxxf例 例 函数
7、在 x=1 处无定义，因此 x=1是该函数的间断点.122xxxy间断点分类震荡间断无穷间断第二类间断点跳跃间断可去间断第一类间断点存在但为间断点)(lim 00 xfxxxx)(lim)(lim00 xfxfxxxx或.)(,)(lim00无定义但存在xfxfxx)(lim)(lim00 xfxfxxxx)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx或.)(lim)(lim00震荡型不存在或xfxfxxxx少有一个不存在至但为间断点 )(lim 00 xfxxxx各类间断点图形特征震荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点)(xfy 0 x)(xfy 0 x)(xfy 0 xxy1sin
8、解,0lim)(lim200 xxfxx,1)0(f)0()(lim0fxfx即x=0是函数 f(x)的可去间断点.)(xfy 0 ,1,0 ,)(2xxxxf考察函数函数 f(x)的间断点.例在x=0是否为,1)1(lim)(lim00 xxfxx故 x=0 是函数 f(x)的跳跃间断点.0 ,1,0 ,0,0,1)(xxxxxxf考察函数在x=0处的连续性.例,1)1(lim)(lim00 xxfxx解)(lim)(lim00 xfxfxx.)(lim0不存在xfx,0lim)(lim200 xxfxx故 x=0 是函数 f(x)的无穷间断点.001)(22xxxxxf考察函数在x=0处的
9、连续性.例,1lim)(lim200 xxfxx解)(lim0 xfx三、连续函数运算与初等函数的连续性定理（连续函数的四则运算）.)0)()(/)(),()(),()()()(00在点处都连续处连续，则函数中点上有定义，且二者在在同一区间与设函数xgxgxfxgxfxgxfxIIxgxf 定理（复合函数连续性）设函数y=f(u)在点u0处连续,函数 在 x0 处连续,且 ,则复合函数 在点 x=x0处连续.且)(xu00)(ux)(xfy)(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx1.连续函数的运算).()(lim00ufxfxx 此定理表明：在求复合函数 的极限时，函数符号与极限符
10、号可以交换顺序.)(xf 定理 设函数y=f(u)在点u0处连续，函数 当 时极限存在，且 则复合函数 当 时的极限也存在，且0 xx)(xu0 xx,)(lim00uxxx)(xfy).(lim)(lim00 xfxfxxxx或对于复合函数的极限有下述定理),(lim)(lim00ufxfuuxx它表明在定理的条件下，如果作变量代换 则求极限 就变成求极限 这就为变量代换求极限方法提供了理论依据.),(xu)(lim0 xfxx)(lim0ufuu 定理中把极限过程 换成极限过程 仍然成立.0 xxx定理的结论还可以换成.1cos2的连续性讨论函数xy例,1cos1cos 22复合而成及函数
11、可以看成是由函数xuuyxy解.1,11,),(cos2上连续在上连续在xuuy且其值域包含在 的定义域之中，uycos所以，函数 在-1，1上连续.21cosxy.)1sin(lim10 xxx求极限例e)1(lim10 xxx而 y=sin u 在 u=e 处连续，解 因为.e sin)1(limsin)1sin(lim1010 xxxxxx所以例)1sin(lim0 xxx求极限xxxxxx11sinlim)1sin(lim00解1sin11limsin0 xxxttxxtx20tan22)1(lim)cot1(lim.)cot1(limtan22xxx求极限例因此时，则当令 02cot
12、txxt解.e)1(lim2210ttt 一般地，若 ，则幂指函数 的极限存在，且0)(lim AxfBxg)(lim)()(xgxf)0)(xfBxgxgAxfxf)(lim)()(lim)(lim2.基本初等函数的连续性 由基本初等函数图像可知：结论：基本初等函数在其定义域内连续例 证明：正弦函数 在 内连续.xysin),(证对于任意的 和增量 ，有),(xx2cos2sin2sin)sin(xxxxxxy22sinxx由于12cosxx又故)0(02sinxx利用无穷小的性质，有 0lim0yx结论可由连续函数的定义与运算法则进行证明 由基本初等函数的连续性及连续函数的四则运算、复合运
13、算可得初等函数的连续性 定理一切初等函数在其有定义的区间内都是连续的 由此结论可以方便的讨论初等函数的连续性和确定初等函数的极限.（1）求初等函数的连续区间就是求函数的定义区间（2）若 为初等函数定义区间内的点，则初等函数在点 的极限就等于该点的函数值.（为定义区间内点）0 x0 x)()(lim00 xfxfxx 3.初等函数的连续性解 由于被求极限的函数是初等函数，x=1是其定义区间内的一点，所以.1elncoslim221xxxxxx求例21222111e1ln1cos11elncoslimxxxxxx.2e1cos四、闭区间上连续函数的性质 定义 设函数 f(x)在区间 I 上有定义,
14、如果 存在，使得对于任意的 ，都有则称 是函数f(x)在区间I上的最大值(或最小值),称 为函数 f(x)的最大值点(或最小值点)最大值与最小值统称为最值.Ix 0Ix),()()()(00 xfxfxfxf或0 x)(0 xf)(xfy 最值定理 若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,则 f(x)在a,b上必取得最大值和最小值.介值定理 如果函数 f(x)在闭区间 a,b 连续 且常数 介于f(a)与f(b)之间，则存在 使得),()(bfaf),(ba)(f成立.)(xfy)(af)(bfabx)(xfy abx介值定理的几何解释介值定理的几何解释xyay=f(x)bof(a)f(b)定理
15、定理 如果函数如果函数 f(x)在闭区间在闭区间 a,b 连续连续 且常数且常数 介介于于f(a)与与f(b)之间之间,则存则存在在 使得等式使得等式 成立成立.),()(bfaf),(ba)(f123 推论 闭区间上的连续函数，必能取得它的最大值与最小值之间的一切值.推论 (零点定理)若 f(x)在闭区间a,b 上连续,且 f(a)与 f(b)异号,则存在 ,使得,ba.0)(f)(xfy abx)(xfy abx.014,0)(23的一个根即是方程所以xxxf.)1,0(014 23少有一个根内至在区间证明方程 xx证 因为函数 是初等函数，014)(23xxxf例,0)(f由零点定理知，至少存在一点 使),1,0(所以，在闭区间0,1 上连续.且 f(0)=10，f(1)=2 0,
