1、一、微分概念的提出一、微分概念的提出二、微分的概念二、微分的概念三、微分的几何意义三、微分的几何意义四、微分公式与运算法则四、微分公式与运算法则五、用微分作近似计算五、用微分作近似计算第五节第五节 微微 分分第五节 微 分问题导言 研究函数改变量的意义 函数改变量对于研究函数的局部特征,函数在此点周围的性态具有重要意义.微积分的许多重要概念都与其密切相关.连续概念导数概念xyxfx0lim)(0lim0yx 对于函数改变量的研究,不仅要考虑其极限特征,还要考虑其结构特征.微分概念就是由此提出的.解 设此薄板的边长为x,面积为 ,则边长由 变到 面积改变量 为0 xxx0S2xS 一、微分概念的
2、提出 例 正方形的金属薄板受热后边长由 变到 试确定其面积改变量.0 xxx020020)(2)(xxxxxxS其结构特征分析：20)(2xxxS 的线性主部的线性主部x高阶无穷小高阶无穷小)(xoxxS02当 很小时可由线性主部代替改变量x0 xx 0 xx 20 xS xx 0 xx 02)(x 例 自由落体运动 .求当时间由 变到 时路程的改变量.221gts)()(2121)(21202020tottgtgtgtttgs的线性部分tgts0tt00t 解 当时间由 变到 时,路程改变量 为s0ttt0当 很小时可由线性部分代替改变量t（以匀速代替变速）)(0tts)(0tsss问 题函
3、数改变量主要部分具体实例面积问题落体运动概括函 数20)(21tgtgtstgts0221gts 2xS 20)(2xxxSxxS02)(xfy)(xoxAyxAy将上述讨论概括如下：由此引出微分概念.二、微分的概念 定义 设y=f(x)在点 的某邻域内有定义，属于该邻域.若 0 xxx0),()()(00 xoxAxfxxfy其中A与 无关，而 是关于 的高阶无穷小，则称y=f(x)在 可微，而 称为y=f(x)在点 处的微分，记为x)(xo x0 xxA 0 x.|d0 xAyxx 问题:函数改变量在什么条件下可以表达成)(xoxAy且当 很小时 设 在 处可导,则有)(xfy 0 x)(
4、lim00 xfxyx)(0 xfxy)0,0(x)(xoxAxxxfy)(0 xxxfy)(0由极限性质，得即反之,若)(xoxAyxxoAxy)(则Axyxfx00lim)(所以 定理 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导,且有 .xxfdy)(由于 ，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比，因此导数也称微商.(1)若 则xxf)(xxxxxf d)(d即xdx规定dxx 则微分可以表达为dxxfdy)(dxdyxf)(微分概念说明：(2)函数的微分与导数是等价的.(3)当 很小时可以用微分dy 作为函数改变量的近似代替量.dxxfdyy)(x三、微分的几何意义微分代表曲线
5、y=f(x)在点 处的切线的纵坐标的增量.0M 设函数 的图形是一条曲线，是曲线上点 处的切线，设 的倾角为 ，切线的斜率为 .当自变量x有改变量 时，得到曲线上另一点，)(xfy MP),(00yxMMP)(tan0 xf x),(00yyxxNyQNxMQ,dyxxfMQQP)(tan0 x0 0 x0 0+xyOxL xdyy=f(x)MNQP).(0d为常数cc.)(dd1为常数axaxxaa.dedexxx.d1lndxxx.dsincosdxxx.d ln dxaaaxxxaxxadln11logd.dcossindxxx.dcsccotd2xxx.dsec tan d2xxx.d
6、cotcsc csc dxxxx.dtansec sec dxxxx.d11arccot d2xxx.d11 arccos d2xxx.d11arsin d2xxx.d11arctan d2xxx四、微分的基本公式五、微分的运算法则 定理 设u=u(x)，v=v(x)可微，则有)()()()(xdvxduxvxud).()()()()()(xdvxuxduxvxvxud)()()()()()()(2xvxdvxuxduxvxvxud0)(xv)()()(12xvxdvxvd).()(xcduxcuddwdvduwvud复合函数微分运算法则.d)(d)()(dduufxxgufxyyx 若y=f
7、(u)可微，不论u 是自变量还是中间变量，总有 ，这就是微分形式的不变性.利用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.uufyd)(dxxgxgfxgxgfxgfd)()()(d)()(d 设y=f(u),u=g(x)都可微，则复合函数y=f(g(x)也可微，此时有求函数 y=f(x)微分的基本方法：1.利用导数求微分求导数写微分.d)()(dxxfxf)(xf.利用微分基本公式与微分运算法则求微分.dln2yxxy，求例 设解xxxxxyd)ln()ln(dd22.d)ln2(d)1ln2(2xxxxxxxxx例 设y=x tan xsin x，求dy.解)sind()tan(d )sin
8、tan(ddxxxxxxyxxxxxxdcos)tand(d tanxxxxxxxd cosd secd tan2.d)cossec(tan2xxxxx也可以直接用公式 求微分.xyyddxxxxxxxd)sintan()sintan(d.d)cossec(tan2xxxxx.d,)1(43yxy求例 设uuyd4d3解，则令1,34xuuy如果不引入中间变量u，则可)1(d)1(4d333xxy.d)1(12d3433223xxxxxuxxxd3)1(4233.d)1(12332xxx.desinyyxx，求例 设解)sin(dedsinxxyxx.d)cos(sinesinxxxxxx例
9、设,sin,cos33taytax.ddxy求.tan)sin(cos3cossin322tdtttatdttadxdy解例 设y=y(x)由 确定求 .xyyx2edy解 方程两边求微分，得xdyydxydydxx2e解得.2edxyxydyx 解 面积增量与微分分别为六、微分在近似计算中的应用(1)计算函数改变量的近似值 由微分概念可得当 很小时，函数改变量的近似计算公式dxxfdyy)(x 例 半径为r 的金属圆片加热后,半径增长了r 试写出其面积的改变量与微分.，222)(2)(rrrrrrSrrS 2d 设y=f(x)在 可导，当自变量从 变到 x，即取得 增量 ，则有0 x0 x0
10、 xxx).()()()()(0000 xxoxxxfxfxfy当x很接近 时，即 很小时，有近似公式0 x|0 xxx，xxxfxfxf)()()()(000即.)()()()(000 xxxfxfxf 当 容易计算时，就可以用上述的近似公式来计算 附近点的函数值.)(),(00 xfxf0 x(2)计算函数值的近似值特别地，在公式可以证明下述公式.)()()()(000 xxxfxfxf取 得公式00 xxffxf)0()0()()|(|很小时xxxxtgxxxxxxex1)1)(5()4(sin)3()1ln()2(1)1(很小时，当|x例.0360cos的近似值计算解,cos)(xxf设)(,sin)(为弧度xxxf,360,30 xx.23)3(,21)3(ff)3603cos(0360cos3603sin3cos3602321.4924.0例.计算近似值解.)2(;5.998)1(03.03e335.110005.998)1(3)10005.11(100030015.0110)0015.0311(10.995.903.01)2(03.0e.97.0练习：求函数值的近似值05.1)3(;1sin)2(;)1(01.0arctge
