1、第三节第三节 幂级数幂级数一、幂级数概念一、幂级数概念二、幂级数的运算与性质二、幂级数的运算与性质第三节第三节 幂级数幂级数问题导言 研究幂级数的意义 借助计算器、计算机我们可以很容易计算基本初等函数 ,的函数值.那么，这些函数值通过什么程式计算的呢？其答案就是幂级数.幂级数的应用不仅体现在函数值的计算，借助幂级数还可以解决积分、极限、微分方程的解等问题.幂级数是级数中最重要且应用最广泛的一种级数.本节主要介绍幂级数的概念、运算与性质.xsinxcosxe一、幂级数的概念 定义 设 是定义在区间I 内的函数则称和式为定义在 I 内的函数项级数.),2,1()(nxun)()()()(211xu
2、xuxuxunnn 对于I 内的每一个值 ,函数项级数都化为常数项级数,即.)()()()(0020101xuxuxuxunnn0 x 1.函数项级数级数的前n项和称为部分和).()()()(21xuxuxuxSnn在 的收敛域内有 .)()(limxSxSnn1)(nnxu称 S(x)为级数 的和函数.称)()()(xSxSxrnn1)(nnxu为 的余项.在收敛域内总有 0)(limxrnn1)(nnxu 定义 如果 收敛，则称x0为 的收敛点,级数 的收敛点的集合称为该级数的收敛域.如果 发散，则称x0为 的发散点.1)(nnxu1)(nnxu10)(nnxu10)(nnxu1)(nnx
3、u 例 求函数项级数 的收敛域与和函数.nxxxx321 解 对于给定的x，由等比级数知，当 时1xxxxxxn11132而当 时，级数 发散1xnxxxx321所以，幂级数的收敛域为 ，和函数为)1,1(xxS11)(称为关于 的幂级数.定义 形如nnnnnxaxaaxa2100(其中 都是常数)的函数项级数，称为x的幂级数.称 为幂级数的系数.一般地)(0 xx,10naaa,10naaannnnnxxaxxaxxaxxaaxxa)()()()()(030320201000 2.幂级数的概念级数 对于形如的幂级数 ，将 换成x则可将其变为形如 的幂级数 00)(nnnxxa00)(nnnx
4、xa0 xx0nnnxa 3.幂级数的收敛域问题：幂级数收敛点的分布情况如何？例 求幂级数 的收敛域.nnxn121 解 对于任意给定的x,考察正项级数 1212nnnnnxnxxxnnnxnxnnnn22211lim)1(lim由比值法知当 时,级数 发散；当 时,级数 收敛；当 时,收敛,所以收敛域为 1x12nnnx1x12nnnx1x12121nnnnnx 1,1此例说明幂级数的收敛域是以原点为中心的对称区间.(1)幂级数 在x=0处收敛.0nnnxa定理 (阿贝尔定理)设给定幂级数 则0nnnxa(2)若 在 处收敛，则对于一切适合 的x，幂级数 绝对收敛.)0(00 xxx|0 x
5、x 0nnnxa0nnnxa(3)若 在 处发散，则对于一切适合 的x，幂级数 发散.)0(00 xxx|0 xx 0nnnxa0nnnxa显然，幂级数 在x=0处收敛.即(1)成立.0nnnxa因此存在 使),2,1,0(|0nMxann 证明 (2)若级数 收敛,则 ,00nnnxa0M0lim0nnnxa.|00000nnnnnnnnnnxxMxxxaxxxaxa由于，|0 xx，10 xx从而几何级数 收敛.nnxxM00,|0收敛由比较判别法知nnnxa即 绝对收敛.0nnnxa(3)设 时，收敛,则依(2)的结论|0 xx 0nnnxa在x0处收敛，矛盾.0nnnxa 定理说明：如
6、果幂级数 在x0处收敛，则在区间 内绝对收敛；如果幂级数在 处发散，则在 之外的任何点 x 处必定发散.0nnnxa|)|,|(00 xx1x|)|,|(11xx 推论 如果幂级数 不是仅在x=0处收敛,也不是在整个数轴都收敛，则必存在正数 R，使得0nnnxa当|x|R时，级数 发散.0nnnxa当x=R时，可能收敛，也可能发散.0nnnxa 定义 通常称上述 R为幂级数 的收敛半径，称(R,R)为幂级数的收敛区间.0nnnxa 如果对于任意 x,幂级数 都收敛,则定义其收敛半径为 ，收敛区间为 .0nnnxaR),(如果幂级数 仅在 x=0 处收敛，则定义其收敛半径 R=0.0nnnxa
7、定理 设 ,若0nnnxa,lim1nnnaa则时当0，时当R,0.0,R时当；1R证 对于给定的 x，为常数项级数.对于级数0nnnxa，|22100nnnnnxaxaxaaxa.|limlim111xxaaxaxannnnnnnn当 ,即 时，绝对收敛，1|x0nnnxa1|x当 ,即 时,发散，0nnnxa1|x1|x所以收敛半径1R由比值法知因当 ,对于任意的x值,总有 ,所以幂级数 在 内绝对收敛.00nnnxa),(10|x当 ,对于任意的 值,总有 ,所以幂级数 对任何 都发散.它只在x=0处收敛即收敛半径为R=0.0 x0nnnxa0 x|x说明：此定理说明若 收敛半径为R，则
8、当0nnnxa|x|R时，发散，0nnnxa但当 时，可能收敛，也可能发散.Rx0nnnxa例 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.1!nnxn解 由于,!)!1(limlim1nnaannnn可知收敛半径R=0，所给级数仅在x=0处收敛.例 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.0!nnnx解 由于 ,0limlim!1)!1(11nnnnnnaa可知收敛半径 ，收敛区间为 .R),(例 求幂级数 的收敛半径与收敛域.1nnnx解 因为1limlim1111nnnnnnaa所以收敛半径 ，11R收敛区间为(1,1).11)1(nnn当x=1时,级数为交错级数 收敛.当x=1时，原级数为调和级数 发散.
9、11nn故原幂级数的收敛域为1,1).例 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.1)1(1nnxn解 设y=x1，则原级数化为 .11nnyn,11limlim1nnaannnn可知收敛半径 ，收敛区间为 ,11y1R即1x11，也即收敛区间为 0 x2.因为当 时，发散.因此,收敛半径为R=收敛区间为 .例 求级数 的收敛区间.36242333231xxxnnnnnnnnxnxnuu2)1(211313)1(1limlim,31)1(3lim22xnnxn当 时,级数绝对收敛，3 1312xx即，3|x3)3,3(解 因级数中只含x的偶次幂,不能用前述定理.应采取比值法且 在区间(R,R)内收敛.
10、若 与 的收敛区间分别为 与 ,和函数分别为S(x)与 ，则有下列性质.0nnnxa0nnnxb),(11RR),(22RR)(xT (1)两幂级数 与 可以逐项相加，即 0nnnxa0nnnxb000)()()(nnnnnnnnnnxbaxbxaxTxS0)(nnnnxba.,min21RRR二、幂级数的运算与性质1.幂级数的加法与乘法运算，其中)(0jkjkikkkkbacxc(2)幂级数 与 可按下述规则相乘,即 nnnnnnnnnnxbababaxbababaxbababaxbxaxTxS)()()()()(0110202112001100000.,RRx0nnnxa0nnnxb (1
11、)幂级数 的和函数 S(x)为其收敛区间内的连续函数.0nnnxa),(RR2.幂级数的分析性质 (2)若 的收敛半径为R，则其和函数S(x)在其收敛区间(R,R)内可导,且有逐项求导公式：0nnnxa，1100)()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS (3)若 的收敛半径为R,则其和函数S(x)在其收敛区间(R,R)内可积,且有逐项积分公式：0nnnxa,1ddd)(0100000 nnnnxnnxnnnxxnaxxaxxaxxS例 求 的收敛区间与和函数.432432xxxx解 所给级数的系数 ，nann1)1(1,11lim1)1(11)1(limlim1nnnnaannnnnnn因
12、而收敛半径 ，收敛区间为(1,1).11R，432)(432xxxxxS则,111 432)(32432xxxxxxxxxS两边积分得)1,1(x，xxxxxSSxS0011d)()0()(设其中S(0)=0，所以),1ln()(xxS即.11 ),1ln(432432xxxxxx例 求 的收敛区间与和函数.324321xxx解 所给级数 的系数0nnnxa),1()1(nann,1)1()1()2()1(limlim11nnaannnnnn因此收敛半径 ，收敛区间为(1,1).11R令所给级数在收敛区间(1,1)内的和函数为S(x)，324321)(xxxxS)1,1(x,1432xxxxxx故,)1(11d)()(20 xxxxxSxSx即.11 ,)1(14321232xxxxxxxxxxxxS0320d)4321()(因
