1、一、和差积商的求导法则一、和差积商的求导法则二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、求导公式四、求导公式第二节第二节 求导法则求导法则（C为常数，）一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 设函数 u=u(x),v=v(x)可导,则u(x),v(x)的和、差、积、商也可导,且有).()()()(xvxuxvxu（1）).()()()()()(xvxuxvxuxvxu（2）.)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv（3）第二节第二节 求导法则求导法则（C为常数）)()(xcuxcu特别地)()()(2xvxvcxvc0
2、)(xv特别地证 设变量x取得增量 ,相应函数u,v 有增量，)()(xuxxuux（1）)()()()()(xvxuxxvxxuvuvu)()()()(xvxxvxuxxu),()(xvxxvv因此xvuxvuvuxx00lim)(lim)(.vu xvxuxx00limlim)()()()()(xvxuxxvxxuuvvuvvuu)()(,vuvuvuxvuvuvuxuvuvxx00lim)(lim)(.limlimlimlim0000uvvuvxuxvuvxuxxxx（2）所以)()()()(xvxuxxvxxuvu,)(vvvvuvuvuvvuu（3）vvuvux0lim)(lim0v
3、vvxvuvux)(lim0vvvxvuvxux.2vuvvu所以.,5sinln6cosyxxxy求设例解xxxxxxy)sin(cos)sin(cos)(22).cossin()sin(cos22xxxxxx.)sin(cos2yxxxy，求设例解）（）（）（5sinln6cosxxxyxxxxx6sin2cos例 证明.tansec)(secsec)(tan2xxxxx和.seccos122xxxxxxx2cos)sin(sincoscosxxxxx2cos)(cos1cos)1()cos1()(sec.tanseccos)sin(2xxxxxxxxxxxx2cos)(cossincos
4、)(sin)cossin()(tan解同理.cotcsc)(cscxxx,csc)(cot2xx.)sin(,)2(sin,)(cos22xxxx计算xxxxxxx)(coscoscos)(cos )cos(cos)(cos2解)sin(coscossinxxxx,2sincossin2xxxxx)cos1(21)2(sin2,sin21)(cos)1(21xx2cossinxxxx例2)sin(sin)()sin(xxxxxxx二、反函数的求导法则 定理 设函数 在某区间内严格单调、可导，且 ，则其反函数y=f(x)在相应区间内也严格单调且可导，且有)(yx0)(y.)(1)(yxf 证 因
5、为 严格单调连续,其反函数也严格单调连续.xyxfx0lim)()(yx,0,0yx时故当0,0yx时且yxx1lim0.)(1lim10yyxy所以 解 因 内严格单调可导，所以)(1)(arcsinyx.11sin1122xyycos1例 求函数 导数 xyarcsin)2,2(sin在yxxx)arcsin2()(arccos.112x同样可得.11)(arccos2xx或有同样也可得.11)cotarc(2xx 解 因 在内 严格单调可导，所以)2,2(.11tan1122xyy2sec1例 求函数 导数 xyarctanyxtanx)(arctan例 求函数 导数.)1,0(aaay
6、x 解 aaayyaxaxlnln)(log1)(三、复合函数的求导法则 定理 设u=g(x)在x可导,y=f(u)在相应点u=g(x)可导则复合函数y=f(g(x)在x可导，且有).()(ddddddxgufxuuyxy).()()(ddddddddxhvgufxvvuuyxy 推论 若y=f(u),u=g(v),v=h(x),则只要满足相应的条件,复合函数y=f(g(h(x)就可导,且有复合函数的求导法则一般称为链式法则.证 由 得到)(lim0ufuyu0lim0u其中.)(uauufy即当 时，由u=g(x)可导知u=g(x)连续，0 xxuuufxyxyxx)(limlimdd00)
7、.()(limlimlim)(000 xgufxuaxuufxxx此时必有 或者 .因而总有 .0u0u0lim0 x)(ufuy所以注：在此仅给出 时的证明.0u例 求函数 的导数.2sin xy（1）写出中间变量对复合函数求导法则的运用,分三个过程来掌握.则令,sin 2xuuy2cos22cosxxxudxdududydxdy（2）在过程中体现中间变量dxdududydxdy22cos2)(cosxxxu（3）将中间变量记在心里一步完成求导dxdududydxdy2cos2xx解，则，xuuysin3xu cos32.cossin32xxdxdududydxdy例 求函数 ，的导数.xy
8、3sinxycoslndxdududydxdy)sin(1xu.tan)sin(cos1xxx令，则，xuuycoslnxy3sin令xycosln解（1）写出中间变量例 证明1)(xx证xexyln1ln11ln)(xxxxexeyxu令xulnuey 例 求函数 ；的导数 .解.21sece2tanxxxxytane)12(sin3xyxy)12(sin3xxx)12()12cos()12(sin322)12cos()12(sin32xx.)12cos()12(sin62xxxx)12(sin()12(sin32)(sece)(tane2tantanxxxyxx（2）在过程中体现中间变量解
9、xxy)tan(ln()sec1(tan12xxx.tansec12xxxxxxx)tan(tan1例 求函数 的导数 .)tanln(xxy例 求函数 的导数 .xxysin22解xxyxxxx)sin(2ln2)2(2sinsin22)(sinsin)(2ln222sin2xxxxxx)cossin2(2ln22sin2xxxxxx例 求导数解（3）将中间变量记在心里一步完成求导).1ln(2xxy)12121(1122xxxxy.11)11(11222xxxxx.sinsinnxxyn例 求导数nnxxnxxxnynncossinsincossin1解)cossinsin(cossin1
10、nxxnxxxnn.)1sin(sin1xnxnn基本初等函数求导公式).(0为常数cc.11)(arcsin2xx.11)(arctan2xx.tansec)(secxxx.sec)(tan2xx.cos)(sinxx).1,0(ln11)(logaaaxxa).1,0(ln)(aaaaaxx.)()(1为实数aaxxaa.e)e(xx.1)(lnxx.csc)(cot2xx.sin)(cosxx.cotcsc)(cscxxx.11)(arccos2xx.11)cotarc(2xx初等函数的求导举例例 求下列函数的导数)1ln()1(2xxyxxy1sin)cos()2(22解2221111
11、11)1(xxxxxy222211cos1sin2)cos(1sin2)sin()2(xxxxxxxyxxxxxx2sin)cos(11sin)sin(22222例 求下列函数的导数)0()1(sinxxyxxxyarctan2)1()2(解 （1）因为 由复合函数求导法则xxxexylnsinsinxxxxxxxxxeeyxxxxxsinlncossinlncos)(sinlnsinlnsin222)1ln(arctan)1ln(arctan1arctan21)1ln()()2(22xxxxxeeyxxxxarctan2)1ln(1)1(22arctan2xxxxxx例 若 可导，求下列函数
12、的导数)(uf)(sin )1(2xfy)(sin )2(2)(sin2xxfefey解xxfxfxfy2)()(cos)(sin)1(222)(cos)(222xfxf x )(sin)2(2)(sin2xxfefeyxxxxxfeefefefxxfxfe)()(cos)(sin2cos)(sin)(sin2)(sin2)()(2sin)(sin)(sincos2)(sin2xxxxfefefexfexfx例 设 存在，求 的导数)(xf|)(|lnxfy)0)(xf解时，当0)(xf)()()()(1)(ln),(lnxfxfxfxfxfyxfy时，当0)(xf)()()()(1),(ln(xfxfxfxfyxfy)()(|)(|lnxfxfxf所以
