1、第第二二节节 函数的极限函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、单侧极限三、单侧极限四、函数极限的性质四、函数极限的性质在此 可理解为一、一、自变量趋于无穷大时函数的极限xx对比数列极限的定义，给出下面函数极限的定义.自变量趋于无穷大时的几种形式.轴轴正正半半轴轴趋趋于于正正无无穷穷大大沿沿着着表表示示xxxx.轴轴负负半半轴轴趋趋于于负负无无穷穷大大沿沿着着表表示示xx.轴轴任任意意方方向向趋趋于于无无穷穷大大沿沿着着表表示示xxx第二节 函数的极限 定义 设函数 f(x)在 上有定义,A为
2、一个常数.若当 无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数 f(x)当 以 A 为极限.记为0 ax|x).()()(limxAxfAxfx或|x)()()(lim )(,)(,0,0,)(xAxfAxfxxfAAxfXxXaxxfx或时的极限，记为在为则称成立恒有时使得当存在若对于任意给定的时有定义在设AxfXxXAxfx)(,0,0 )(lim时当定义 极限定义的几何意义：对任意给定的正数 ，在直线 的上、下方各作一直线 ，则存在 使得在区间 与 内函数的图形全部落在这两条直线 之间.Ay Ay0X),(X),(X AyX X )(xfyxyAO5例 证明 证明所以 对于任意给定 ，
3、由于 0011limxxxxxx11111011即 取 则当 有1x1XXx.011成立x011limxx类似的可以定义极限Axfx)(limAxfx)(lim )(limAxfx.)(lim)(limAxfxfxx定理设 f(x)在 内有定义,A为常数.若当x无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数 f(x)当 以 A 为极限.设 f(x)在 内有定义,A为常数.若当x无限减小时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数 f(x)当 以 A 为极限.),(ax),(ax由图形可知下列基本初等函数的极限.01limxx.01limxx.01limxx0limxxe2arctanlimxx2
4、arctanlimxx 定义 若当 （或 ）时，（C 为常数），即 ，则称曲线有水平渐近线.xxCy Cxfx)(lim 例由 知2arctanlimxx2arctanlimxx2y为曲线 的水平渐近线.xyarctan二、自变量趋向有限值时函数的极限 自变量趋于有限值时的几种形式00 xxxx趋于且表示0 xx0 xx0 xx 00 xxxx趋于且表示00 xxxx趋于且表示自变量趋向有限值分为以下几种形式 考察函数 当自变量 时的变化趋势.11)(2xxxf1x2.52.12.011.991.91.5f(x)1.51.11.010.990.90.5x函数变化数据表如下2)(xf从上述图表中
5、可以看出,当自变量 时,1x112xxyxx1 再考察函数当自变量 的变化趋势.仿上例可以得到下表.1)(xxg1xx0.5 0.9 0.991.01 1.11.5g(x)1.5 1.9 1.992.01 2.12.52)(xg从上述图表中可以看出,当自变量 时,1x 上述两例说明：处没有定义.处有定义.而当 时，都有相同的变化趋势.通常称当 存在极限值2.1)(0 xxf在10 xxg在在)(1x)()(xgxf与)()(,1xgxfx与时1 xyxx1 定义 对于函数 在 附近有定义(在 处可以有定义也可以无定义）若在 的过程中,对应的函数值 f(x)无限趋近于确定的数值 A,则称 A 是
6、函数 当 时的极限.记为0 xx)(xf)(xf0 xx 0 xx 0 xx Axfxx)(lim0 说明：由定义知极限 与函数在点 的状况（是否有定义;或有定义时,是否等于A）是无关的.)(0 xf0 xAxxx0)(xfy xy12函数极限定义的精确化AxfxxAxfxx)(,)(lim00时也即;)()(,0可以任意小的距离与时AxfAxfxx;)(,0正数可以小于任意给定小的时Axfxx;)(,00Axfxx时当对于任意给定的;)(,00Axfxx就有足够小只要对于任意给定的.)(,0,0,00成立有时当存在对于任意给定的AxfxxAxfxxAxfxx)(,0,0,0 )(lim00时
7、当)()()(lim )(,)(,0,0,0)()(0000000 xxAxfAxfxxxfAAxfxxxxUxxfxx或记为时的极限，在为则称成立恒有时使得当存在若对于任意给定的可除外）内有定义的某邻域在设定义函数极限定义可以简述为14 极限定义的几何意义：对任意给定的正数 ，在直线 的上、下方各作一直线 ，则存在 使得在区间 与 内函数的图形全部落在这两条直线 之间.Ay Ay0),(00 xx),(00 xx AyA)(xfy xyA0 x)(xfy xy0 x0 xAA0 x0 x0 xAA15例 证明 证明所以 对于任意给定 ，当 时，为使 0即 取 则当 时，有21x210 x41
8、22lim21xxx1x124)1(241222xxxx成立 41222xx4122lim21xxx.)(lim0为常数cccxx由基本初等函数图像可知下列极限成立.lim00 xxxxnnxxxx00lim.coscoslim ;sinsinlim0000 xxxxxxxx00limxxxx)0(0 x00limxxxxee0arctanarctanlim0 xxxx0lnlnlim0 xxxx)0(0 x 在 的定义中,若只考虑 x 从 的某一侧(从小于 的一侧或从大于 的一侧)趋近于 时f(x)的变化趋势,则有左极限和右极限的概念.Axfxx)(lim00 x0 x0 x0 x类似可定义
9、左极限.)()(lim00AxfAxfxx或 定义 设函数 f(x)在 内有定义，A为常数.若当x 从 的右侧(大于 的一侧)趋近于 时,f(x)无限趋近常数A,则称f(x)在 处的右极限为A.记为),(0bx0 x.)()(lim00AxfAxfxx或0 x0 x0 x三、单侧极限左极限和右极限统称为单侧极限.根据 时函数 f(x)的极限定义、左极限和右极限的定义,可以得到下面的结论.0 xx 的充分必要条件是Axfxx)(lim0定理.)()(00Axfxfy=f(x)xOyy=f(x)xOyAA0 xx xx 0左极限右极限 对于分段函数在分段点处是否存在极限通常用此定理进行讨论.)(,
10、0.0 ,2,0 ,1)(的极限是否存在函数时试讨论当设xfxxxxxf函数f(x)在点x=0处的左、右极限都存,在但不相等.2)2(lim)(lim,000 xxfxxx有时当所以极限 不存在.)(lim 0 xfx例,11lim)(lim,000 xxxfx有时当解四、函数极限的性质 .,)(lim,)(lim00BABxfAxfxxxx则若定理(唯一性)2/)(,0,0,0 )(lim 1010AxfxxAxfxx时当，所以对因为证明2/)(,0,0 202Axfxx时当同理,min21取时，则当 00 xx2/2/)()()()(BxfAxfBxfxfABABA 的任意性可得所以，由
11、.|)(|,|0 ,00 )(lim 00MxfxxMAxfxx有时当及，则存在常数若定理(局部有界性)1)(,0,0,0 )(lim1,00AxfxxAxfxx时当，所以对因为取证明时，有则当 00 xxAAAxfAAxfxf1)()()(MxfAM)(1，则有记).0)(0)(,|0 ,),0(0)(lim 00 xfxfxxAAAxfxx有时当则存在正数或，且若定理（保号性）2)(,0,0,0 )(lim,2 00AAxfxxAxfAxx时当，所以对因为取证明022)(AAAAxf类似的可以证明 情形0A).()(,|0 ,)(lim)(lim 000 xgxfxxBABxgAxfxxxx有时当则存在正数，且，若定理（保序性）AxfxxAxfBAxx)(,0,0,0 )(lim,2 1010时当，所以对因为取证明Axfxx)(,0,0 202时当同理,min21取时，则当 00 xx2)(BAAxf2)(BAAxf2)(BABxg2)(BABxg)()(xgxf
