1、第四节第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程解的结构一、二阶常系数线性微分方程解的结构二、二阶常系数齐次线性微分方程解法二、二阶常系数齐次线性微分方程解法三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为为常数）qpxfyqypy,(,)(它所对应的齐次方程为0 yqypy二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构 定理 设 是方程 的一个特解，是相应的齐次方程的通解，则 为非齐次方程的通解.)(*xy)()(2211xyCxyCY)(xfyqypy *yYy 三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解
2、法其中 是常数 为m次多项式)(xfyqypy 设二阶常系数线性非齐次方程)(e)(xPxfmx1.若)(xPm，mmmmmaxaxaxaxP1110)(即微分方程为)(exPqypyymx 考虑到方程右端为指数函数与多项式积的形式，不妨设其特解为 e)(*xxQy 对 求导数 得*yyy*，xxxQxQye)(e)(*.e)(e)(2e)(2*xxxxQxQxQy ),(e*xPqypyyyyymx代入，将整理，得 ,e)(e)(e)()(e)()(2)(2xmxxxxPxqQxQxQpxQxQxQ，得约去0ex)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 的特解讨论)(exPqyp
3、yymx 方程(1)若 不是特征方程的根，即 .0 2qp由 式可知 应为m 次多项式，可设方程特解为)(xQxmxxQxQye)(e)(*.)1(110个待定系数是，这里 mbbbbmm，其中mmmmmbxbxbxbxQ 1110)(确定待定系数 得多项式 相应可得方程的特解 .mbbb,10，)(xQmxmxQye)(*(2)设 是特征方程的单根，则02 p 0 2 qp且由 式可知 应为m+1次多项式,设方程特解为)(xQxmxxxQxQye)(e)(*(3)设 是特征方程的重根，则02 p 0 2 qp且由 式可知 应为m+2次多项式,设方程特解为)(xQxmxxxQxQye)(e)(
4、*待定系数 的确定：mmbbbb，110 方法2：将 代入 式，比较等式两端多项式同次幂的系数,得到含有未知系数 的(m+1)个方程，解方程组确定未知系数.)()(xQxQm mbbb,10，方法1：将 代入 式，比较等式两端多项式同次幂的系数,得到含有未知系数 的(m+1)个方程，解方程组确定未知系数.mbbb,10，yyy*,，的特解概括)(exPqypyymx 方程)(e xPqypyymx 对于微分方程，xmkxQxye)(*方程的特解可设为.)1(,)(1210122110个待定系数是其中，mbbbbbbxbxbxbxbxQmmmmmmmm(2)当 是单特征根时，取 k=1(3)当
5、是重特征根时，取k=2.(1)当 不是特征根时，取 k=0k 的取法：例 求方程.e)2(322的一个特解xxyyy032 yyy对应齐次方程为解，其中这里2,2)(,)2()(12 xxPexxfx.1,3 ,032 212 rrrr解得特征方程为0,2 k因此取不是特征方程的根因为xbxby210*e)(设特解为.e)(4e421020*xxbxbby ,e)(2e 21020*xxbxbby 求导得，得代入所给方程，约去，将2)32(3 ,e1002*xbbxbyyyx，解得98 ,31 10 bb 23213,100，得同次幂的系数比较两端bbbx.e9831 2*xxy 所以，特解为
6、.e212的通解求微分方程xyyy例0122 rr的特征方程为对应的齐次方程02yyy解121 rr故得对应齐次方程的通解为解得.e)(21xxCCY.1,21)(,e)(e21)(00 xPxPxfxx则而因 是特征方程的重根,取 k=2.1.e2*xbxy 设特解为将 代入 式，即2)(bxxQ)()()()()2()(02xPxQqpxQpxQ 得，即41 212 bb.e41 2*xxy 故求得一个特解为.e41e)(*221xxxxCCyYy为因此，所给方程的通解.1)0(,0)0(32 2的特解满足初值条件：求微分方程 yyxyy例.0,32)(32)(222xxPxxf，则解(1
7、)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.，其根为特征方程为1,0 0 212 rrrr.e 21xCCY 故齐次方程通解为(2)再求所给方程的一个特解y*.，取是特征方程的一个单根10k，xbxbxbbxbxbxyx2213002120e)(*设所求特解为，即，代入所给方程，得把32)2()26(3 32)23()26(*,*,22110202212010 xbbxbbxbxbxbxbbxbyyy.26*23*102120bxbybxbxby，得的同次幂项的系数比较上式两端 .3202623 ,21100bbbbbx，故得所给方程的特解为xxxy23232*，解得1232 210bbb.232e
8、*2321xxxCCyYyx （3）确定满足初始条件的特解.求导，得将上面的通解对x为因此得所给方程的通解.142e 22 xxCyx.22 21 CC，即得.232e22 23xxxyx于是得所求特解为.2232e2 23xxxyx或得分别代入通解及上式，把1)0(,0)0(yy ，110221CCC，若)sincos(e)(.2xBxAxfx .,0,不同时为零是实常数，且其中BABA 二阶常系数线性非齐次微分方程为)sincos(xBxAeqypyyx ，)sincos(*xbxaexyxk 此时方程的特解形式其中a，b为待定系数，k 的取法如下：(1)当 不是特征根时，取 k=0i(2
9、)当 是单特征根时，取 k=1k=i xBxAxfsincos)(若二阶常系数线性非齐次微分方程为 sincosxBxAqypyy .,0,不同时为零是实常数，且其中BABA，)sincos(*xbxaxyk 此时方程的特解形式其中a，b为待定系数，k 的取法如下：(1)当 不是特征根时，取 k=0i(2)当 是单特征根时，取 k=1k=i 特殊地，若sin)(cos)(e)(xxPxxPxfmix .0,)(),(为常数是多项式，其中 xPxPmi方程为sin)(cos)(*xxRxxQexynnxk 此时方程的特解形式其中 为待定多项式.(1)当 不是特征根时，取 k=0i(2)当 是单特
10、征根时，取 k=1k=i，sin)(cos)(exxPxxPqyypymix ),min(),(),(mlnxRxQnn 一般地，.cos23的一个特解求微分方程xyyy例，在所给方程中，1,0,1 BA解 方程的特征方程为所给方程所对应的齐次023 2 rr.1,2 21 rr其根为.0ii k不是特征方程的根，取因为为待定系数其中设原方程的一个特解为baxbxay,sincos*.sincos*cossin*xbxayxbxay ，代入所给方程，得把xxbaxbayyycossin)3(cos)3(*,*,，0313 baba系数，得比较上式两端同类项的.103,101 ba解得.sin1
11、03cos101*xxy原方程的一个特解为.sin2的一个特解求微分方程xyyy 例0122 rr的特征方程为对应的齐次方程02yyy解121 rr解得.0ii k不是特征方程的根，取因为为待定系数其中设原方程的一个特解为baxbxay,sincos*，xbxaycossin*2，xbxaysincos*2.sincos2sin2 *,*,222xxbxayyy 代入方程中，得把.0,21 ba解得,02,12ba系数，得比较上式两端同类项的，特解为于是，求得方程的一个xycos21*2.2sin42cos24的通解求微分方程xxyy例.2,0,4,2 BA在所给方程中，解(1)先求所给方程对
12、应的齐次方程的通解Y.，特征方程为04 2r，其根为i 2 2,1 r.2sin2cos 21xCxCY 故得齐次方程通解(2)再求所给方程的一个特解y*.，是特征方程的根，取因1i 2i k 设原方程的特解为.,)2sin2cos(*为待定系数，其中baxbxaxy ，)2cos22sin2()2sin2cos(*xbxaxxbxay .2sin)44(2cos)44()2sin42cos4()2cos22sin2(2*xbxaxaxbxbxaxxbxay有代入所给方程，得把yyy*,*,.211 2444 baba，解得，.2sin42cos22sin42cos4xxxaxb 系数，得比较上式两端同类项的.2sin212cos2sin2cos *21xxxxCxCyYy于是所给方程的通解为，解为故得所给方程的一个特xxxy2sin212cos*.sine212的一个特解求微分方程xyyyx例 e212 xyyy 解xyyysin2 由前例可知方程方程的特解为的特解为.e41*21xxy，xycos21*2.*21解就是所给方程的一个特所以yyy .cos21e41*221xxyyyx 特解为因此，所给方程的一个
