1、一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分公式二、基本积分公式三、不定积分的性质三、不定积分的性质第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 问题导言：在运动学中,已知路程函数 ,则在时刻t 的瞬时速度 .此类问题称为微分学问题.与其相反,已知速度函数 ,则确定时刻t 的路程 ,也即已知一个函数的导数或微分，寻求原来函数.此类问题称为积分学问题.)(tss)(tvv)(tsv)(tss)(tss)(tvv 微分问题微分问题积分问题积分问题（导函数）（原函数）定义 设f(x)定义在区间I 内，如果对任意的 都
2、有 或 则称F(x)为 f(x)在该区间上的一个原函数.一、原函数与不定积分的概念Ix 因为 所以 ,都是 的原函数.233333)()2()1()(xCxxxx22x3x)()(xfxFxxfxFd)()(d 例 因为 ,所以 是 在 上的原函数.),(xxcos)(sinxcosxsin23xCx 313x1.原函数的概念 问题：一个函数的原函数有多少个？这些原函数之间有何关系？第一，若F(x)为 f(x)在该区间 I上的一个原函数.即对任意的 都有 .而所以F(x)+C为 f(x)在该区间上的一个原函数.)()(xfxFIx)()(xfCxF结论：一个函数的原函数如果存在则有无穷多个.第
3、二，设 ,是f(x)在区间 I 上的任意两个原函数.即)()()(xfxFxG)(xF)(xG即 G(x)=F(x)C0 (C0为某常数).所以有 G(x)F(x)=C0，于是0)()()()()()(xfxfxFxGxFxG 结论：若函数 f(x)在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数之间只差一个常数.定理 若函数 f(x)在区间 I 上存在原函数F(x)，则 为f(x)在区间 I 上的全部元原函数，其中C为任意常数。CxF)(由导数公式可得一些简单函数的原函数，见下表原函数函数原函数函数)1(xCx111xeCxexcosCxsinx2secCx tan211xCxarctanx1C
4、x ln)1,0(aaaxCaaxlnxsinCxcosx2cscCxcot211xCxarcsin 定义 设函数 f(x)在区间 I 有定义，F(x)为f(x)在区间 I上的一个原函数，则称f(x)原函数的一般表达式F(x)C(C为任意常数)为f(x)在区间 I 上的不定积分.记作2.不定积分的概念其中记号 称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x 称为积分变量，C为积分常数.CxFxxf)()d(不定积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系：xdd)1(xxfd)()(xfdxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF.)(,)(,)(
5、)(积分曲线积分曲线的一条称为系上的一条曲线的图形是平面直角坐标那么方程的一个原函数是设xfxFyxfxF.)(,)(,积分曲线族积分曲线族的称为一个曲线族它们构成多条积分曲线的无穷就可以得到轴方向任意平行移动将这条积分曲线沿着xfxfyOxyx 对于积分曲线族中的每一条积分曲线，在曲线上横坐标相同的点x处的切线斜率都等于f(x)。例 设曲线通过点（1,2），且在任一点(x,y)处的切线斜率为2x，求此曲线方程.解 设所求曲线方程为 .按题意在任一点（x,y)处的切线斜率为)(xyy xdxdy2Cxy2即2x 的原函数为 因为曲线过点（1，2），故代入上得1C于是所求曲线方程为 12 xyC
6、xxxcosd sin )6().(d )1(为常数kCkxxk二、基本积分公式.)1(1d )2(1Cxxx.|lnd )3(Cxxx.lnd )4(Caaxaxx.d )5(Cexexx.cot d csc)8(2Cxxx.sin d cos)7(Cxxx.tan d sec)9(2Cxxx.secd tan sec)10(Cxxxx.cscd cot csc)11(Cxxxx.arcsin d 11)12(2Cxxx.tanarcd 11)13(2Cxxx三、不定积分的性质 性质 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.即xxfkxxkf)d()d().0(k 性质 两个函数的和
7、(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即.)d()d()d()(xxgxxfxxgxf不定积分的上述性质也可以写成dxxgdxxfdxxgxf)()()()(),(为常数 利用此性质和不定积分基本公式，就可以直接求一些简单函数的不定积分.例 求xxexd)sin2(xxxxxeexxdsin2d d)sin2(解.cos2)cos(2CxeCxexx利用定积分性质与基本积分公式求积分例 求xxxd)2(sec2Cxxxxxxxxxln2tand2dsecd)2(sec22解 在求简单函数的积分时,通常要利用定积分性质将所求积分化成基本积分公式形式再求积分.这种方法称为直接积分法.练
8、习：求积分xxeexxd)1(例 求不定积分Cxexxxexxexxeexxxxx23d1d3d)1(d)3(解xexxd)2(31 对由分式或根式表示的幂形式被积函数，应先化简再积分.,1)1)(1(313233xxxxxxx解.23533235Cxxxxxxxxxd)(d)1)(1(31323例 求不定积分 d)1)(1(3xxxx练习：求积分 d)1(2xxx.arctanCxx例 求不定积分xxxd122xxxxxd)11(1 d1222解xxxd11d2例 求不定积分xxxxxd)1(122xxxxxxxxxxxxxd)111(d)1()1(d)1(122222解.arctanlnC
9、xx.dtan2xx.tan Cxx例 求不定积分xxxx)d1(secdtan 22解xxxddsec2.d2sin2xx例 求不定积分解Cxxxxxxxxxxx)sin(21dcosd21d)cos1(21d)cos1(21d2sin2.dsincoscos222xxxx例 求不定积分解Cxxxxxxxxxxxxxxtancotdcos1sin1dsincossincosdsincoscos222222222 求积分时通常要利用恒等式变形将被积函数化为积分表中的形式，然后求积分.练习：求积分.dsincos2cosxxxx 例 某化工厂生产某种产品，每日生产的产品的边际成本C的是日产量q的函数 ,已知固定成本为1000元,求总成本与日产量的函数关系21257)(qqC解 因为总成本是边际成本的原函数，所以有KqqdqqqC507257)(（K为任意实数）已知固定成本为1000元，即 ，因此代入上式有1000)0(C1000K所以 1000507)(qqqC
