1、一、边际分析一、边际分析二、弹性分析二、弹性分析第六节第六节 导数与微分在经济学导数与微分在经济学上的简单应用上的简单应用第六节第六节 导数与微分在经济学导数与微分在经济学上的简单应用上的简单应用一、边际分析 定义 设函数 是一个经济函数，其导数 称为 的边际函数，称为 在点 的边际函数值.)(xfy)(xf)(xf)(0 xf)(xf0 x 的经济意义是：当 时，x 改变一个单位，y 改变 个单位.)(0 xf 0 xx)(0 xf 经济分析中，常用的边际函数有边际成本 、边际收益 、边际利润 等.)(qC)(qR)(qL 对于经济函数 ，设经济变量x 在点 有一个改变量 ，则经济变量y 在
2、有相应的改变量)(xfy 0 xx)()(00 xfxxfyxxfyxxf)()(00处可微，则函数在点若)(10 xfyx时，则当 这说明当x 在点 改变一个单位时，y 相应的近似改变 个单位，在经济应用中，常常略去“近似”二字，而直接说y 改变 个单位，这就是边际函数值的含义0 x)(0 xf)(0 xf 例 设某厂每月生产的产品固定成本为1000元，生产q个单位产品的可变成本为 元，如果每单位产品的销售为30元，求边际成本、边际收入及边际利润为零时的产量qq1001.02解 依题意，总成本函数为10001001.0)(2qqqC总收入函数为qpqqR30)(总利润函数为10001001.
3、030)()()(2qqqqCqRqL10002001.02qq边际成本为边际收益为边际利润为1002.0)(qqC30)(qR2002.0)(qqL1000,02002.0,0)(qqqL得令即每月产量为1000个单位时，边际利润为零这说明，当月产量为1000个单位时，再多生产一个单位产品不会增加利润.二、弹性分析 定义 设经济函数 在点 的某邻域内有定义，当经济变量x在点 有一个改变量 ，则变量y 有相应的改变量 且如果极限)(xfy 0 x0 xx)()(00 xfxxfy0)(00 xfy00000000)()()(limlimxxxfxfxxfxxyyxx存在，则称此极限值为函数 在
4、点 处的点弹性.)(xf0 x记为0 xxExEy而称比值)()()(/000000 xfxxxfxxfxxyy.)(00之间的弧微分与点在点为函数xxxxfy在任意点x 处的点弹性，记作ExEy若 在点x 处可导，则有)(xfy)()()()()(limlim0000 xfxfxxfxxxfxxfxxyyExEyxx如果函数 在区间内 可导，称),(ba)(xf)()(xfxfxExEy为区间 内的点弹性函数，简称为弹性函数),(ba 例 设经济函数 ，求其弹性函数和在点 的弹性.xexf2)(2x解 因为 ，所以弹性函数为xexf22)(xeexxfxfxExEyxx2)2()()(22于
5、是，在 点的弹性为2x42xExEy1.供给价格弹性 设 是市场对某一种商品的供给函数，其中p是商品价格，S是市场供给量，则称 )(pSS)(pSSpEpES为供给价格弹性.由于S 随p 的上升而增加，即 是单调增加函数，当 时，故 ，其实际意义是：当价格从p 上升1%时，市场供给量从 增加 个百分数.)(pSS 0p0S0EpES)(pSEpES 设 是市场对某一种商品的供给函数，其中p是商品价格，Q是市场供给量，则称 )(pQQ)(pQQpEpEQ为需求价格弹性.2.需求价格弹性 由于Q 随p 的上升而减少，即 是单调减少函数，当 时，故 ，其实际意义是：当价格p 上升1%时，市场需求量减少 个百分数，当价格p下降1%时,需求量增加 个百分数.)(pQQ 0p0Q0EpEQEpEQEpEQ 例 设某商品的市场需求函数为 （p单位为百元，Q单位为台），求（1）需求价格弹性函数（2）并说明其实际意义.315pQ9pEpEQEpEQ解（1）因为 ，所以 31)(pQpppppQQpEpEQ4531531)(25.04194599pEpEQ（2）所以，当价格p从9（百元/台）上涨时，该商品的需求量在 台的基础上下降0.25%12)9(Q
