1、量子力学量子力学信息工程学院信息工程学院 第一章第一章 量子力学产生的历史背景量子力学产生的历史背景第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程第三章第三章 一维定态问题一维定态问题第四章第四章 力学量与算符力学量与算符第五章第五章 态和力学量表象态和力学量表象第七章第七章 近似方法（微扰理论）近似方法（微扰理论）第六章第六章 三维定态问题三维定态问题第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程 1 波函数波函数 2 态叠加原理态叠加原理 3 薛定谔方程薛定谔方程 1 1 波函数波函数基本假定一基本假定一),(tr )(expEtrpiA描写自由粒子的描写自由粒子的平平 面面 波波
2、由于微观粒子运动时表现出波的性质，必须放弃牛顿力学中通过轨道由于微观粒子运动时表现出波的性质，必须放弃牛顿力学中通过轨道r(t)来描述粒子运动的方法，而采用类似电磁学中的波函数来描述粒子来描述粒子运动的方法，而采用类似电磁学中的波函数来描述粒子的运动规律。的运动规律。波与它描述的粒子间是什么关系呢？波与它描述的粒子间是什么关系呢？电子源电子源感感光光屏屏PPOQQO1.电子衍射实验电子衍射实验大量电子短时间观察大量电子短时间观察少量电子（粒子流强度弱）长时间观察少量电子（粒子流强度弱）长时间观察 实验相当于一个电子在许多次相同实验中实验相当于一个电子在许多次相同实验中的统计结果的统计结果 多个
3、电子在一次实验中的统计结果，很难多个电子在一次实验中的统计结果，很难确定单个电子某一次实验感光点的位置确定单个电子某一次实验感光点的位置结论：结论：电子的波动性并不是许多电子聚在一起才电子的波动性并不是许多电子聚在一起才有的现象，单个电子也具有波动性有的现象，单个电子也具有波动性2.2.波与粒子性的统一波与粒子性的统一在电子衍射实验中，照相底片上某点附近衍射花样的强度在电子衍射实验中，照相底片上某点附近衍射花样的强度 该点附近感光点的数目该点附近感光点的数目该点附近出现的电子数目该点附近出现的电子数目电子出现在该点附近的几率电子出现在该点附近的几率Born 1926年年 波函数的统计解释波函数
4、的统计解释经典粒子经典粒子 质量、电荷等质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性;确定的运动轨道，位置、速度、加速度；确定的运动轨道，位置、速度、加速度；经典波经典波 实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化;干涉、衍射现象干涉、衍射现象 用波函数描述粒子波，并非真正的波用波函数描述粒子波，并非真正的波,而是几率波。而是几率波。粒子的运动不具有经典波的振动形式，没有经典波的物理图粒子的运动不具有经典波的振动形式，没有经典波的物理图像，只用于确定粒子到达空间各处的概率。像，只用于确定粒子到达空间各处的概率。波与粒子性的统一波与粒子性的统一二、量子力学基本假定二、量
5、子力学基本假定1 1概率波概率波 微观粒子运动状态 t 时刻 处微粒出现的几率(r,t)r 2*(r,t)(r,t)(r,t)三、波函数的性质三、波函数的性质 几率和几率密度几率和几率密度 几率：几率：表示表示t t时刻粒子处于空间时刻粒子处于空间 处处 ，体积元内的几率体积元内的几率 几率密度：几率密度：t t时刻粒子在空间时刻粒子在空间 处单位体处单位体 积中出现的几率积中出现的几率 2(r,t)d r d 2(r,t)r (r,t)和和 C(r,t)（C 是常数）是常数）所描写状态的相对几率是相同的所描写状态的相对几率是相同的 在在 t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r1 和和
6、r2 处找到粒子的相处找到粒子的相对几率之比是：对几率之比是：221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 归一化条件归一化条件21(r,t)d 全空间找到粒子的几率为全空间找到粒子的几率为1，但注意由归一化条件不能完全确定波函数，但注意由归一化条件不能完全确定波函数 平方可积平方可积 波函数可以不满足归一化条件，但应满足平方可波函数可以不满足归一化条件，但应满足平方可积条件积条件 （A有限正实数）有限正实数）2(r,t)dA 211(r,t)dA 单值、有限、连续单值、有限、连续 单值，有限：给定时刻单值，有限：给定时刻t t，粒子在空间某点，粒子在空间某点出现的几率是唯一的，确
7、定的数出现的几率是唯一的，确定的数连续：粒子在空间几率分布不会发生突变连续：粒子在空间几率分布不会发生突变3.3.波函数的标准条件波函数的标准条件四、平面波函数的归一化四、平面波函数的归一化 )(expEtrpiAEtipEtrpiperAetr )(),(考虑一维积分考虑一维积分321)()()()(zpiypixpippprpipzyxzyxeAeAeAzyxAer dxtxtxxxpp),(),(*dxxxexxxxpptEEi)()(*dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxxxxxpp)()(*dxeAxppixx21 )(221xxppA )(xxpp 若取若取 A
8、A1 12 2 2 2 =1=1，则，则 A A1 1=2=2 -1/2-1/2,于是于是xpipxxex 21)()(),(),(22*22xxtppippppedxtxtxxxxx )(xxpp I Dirac 函数函数 定义：定义：0000)(xxxxxx)0(1)()(0000 dxxxdxxxxx)()()(00 xfdxxxxf 函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形式：积分形式：)(0021)(xxikedkxx 令令 k=pk=px x/,dk=dp,dk=dpx x/,则则xxxpidpexxx)(0021)(性质：性质：)()()()(000 x
9、xxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx 0 x0 x)(0 xx dxeppxpxpxppixxxxxx)(021)(，则则，作作代代换换：知识点回顾知识点回顾 抽样性质：抽样性质：三维情况：三维情况：EtipEtrpiperetr )(21),(2/3 drredtrtrpptEEipp)()(),(),(*)()()()()()(*ppppppppdrrzzyyxxpp 2/332121 AAAA)()(ppppetEEi 其中其中2/321)(rpiper 注意：注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示
10、平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。相同。2 2 态叠加原理态叠加原理一、态的叠加一、态的叠加 经典物理中经典物理中，干涉和衍射现象的本质归于波的叠加，表干涉和衍射现象的本质归于波的叠加，表示在空间传播的波可以由两种波叠加构成。示在空间传播的波可以由两种波叠加构成。量子力学中量子力学中，波函数是描述粒子的状态，叫状态波函数，波函数是描述粒子的状态，叫状态波函数，因此波的叠加又叫态的叠加，表示粒子的态可以由两种因此波的叠加又叫态的叠加，表示粒子的态可以由两种态的叠加构成，粒子可以同时处于两种不同的态上。态的叠加构成，粒子可以同时处
11、于两种不同的态上。P1 12 2S1S2电子源电子源感感光光屏屏一个电子有一个电子有 1 和和 2 两种可能的两种可能的状态，状态，是这两种状态的叠加。是这两种状态的叠加。2.2.表述：表述：1122ccC1,C2 为复常数，不全为零为复常数，不全为零空间找到电子的几率：空间找到电子的几率：2211221122112222112212121212cc(cc)(c*c*)cc(c*c*c c*)电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项 正是由于相干项的正是由于相干项的出现，才产生了衍出现，才产生了衍射花纹
12、。射花纹。3.3.11220cc若若电磁波：电磁波：表示来自窄缝表示来自窄缝S1和和S2的两个波由于振幅相等，相位相反相互的两个波由于振幅相等，相位相反相互 抵消，电磁波在该点消失。抵消，电磁波在该点消失。粒子波：粒子波：不表示来自不表示来自S1和和S2的两个电子相互抵消而消失，而是代表同的两个电子相互抵消而消失，而是代表同 一个电子分别通过一个电子分别通过S1和和S2两种可能的运动状态波函数叠加为两种可能的运动状态波函数叠加为 0，电子在该点出现的可能性消失。，电子在该点出现的可能性消失。动量空间波函数的表述动量空间波函数的表述二、动量空间与坐标空间的转化二、动量空间与坐标空间的转化i(p
13、rEt)p(r,t)Ae 按态的叠加原理按态的叠加原理33ip rpppp(r,t)C(p,t)(r)d p(r)AeC(p,t)(r)(r,t)d r(r)(r,t)dxdydz (r,t)C(p,t)与与一一对应一一对应(r,t)是以是以 为自变量的波函数，坐标空间的波函数，坐标表象波函数为自变量的波函数，坐标空间的波函数，坐标表象波函数r c(p,t)是以是以 为自变量的波函数，动量空间的波函数，动量表象波函数为自变量的波函数，动量空间的波函数，动量表象波函数p 相同状态相同状态2C(p,t)是粒子是粒子t时刻具有动量时刻具有动量P的概率密度的概率密度若若(r,t)(r,t)已归一化，则
14、已归一化，则 C(p,t)C(p,t)也是归一化的也是归一化的pdtpctpcpdtpc),(),(|),(|2 证证明明：pdrdrtrrdrtrpp)(),()(),(pdrrrdrdtrtrpp)()(),(),()(),(),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr函函数数的的目目的的。平平面面波波归归一一化化为为由由此此我我们们也也可可以以看看出出把把关关系系式式其其中中使使用用了了 )()()(rrpdrrpprdtrrtpcp),()(),(体体积积元元内内的的几几率率；点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在rdrtrdtrtrdW 2|),(|),(具具有有类类似似
15、的的物物理理含含义义与与),(),(trtrc 体体积积元元内内的的几几率率。点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在动动量量pdptpdtrctpdW 2|),(|),(例：例：在电子双窄缝衍射实验中，利用平面在电子双窄缝衍射实验中，利用平面波函数的叠加，计算电子到达屏上任一点波函数的叠加，计算电子到达屏上任一点B B的相对几率，从而导出电子波强度取极大的相对几率，从而导出电子波强度取极大值的条件：值的条件：d sinn 薛定谔方程薛定谔方程 微观粒子的基本方程，讨论粒子状微观粒子的基本方程，讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律态随时间变化所遵从的规律3 3 薛定谔方程薛定谔方程基本假定基本假
16、定2 21935年薛定谔猫(1887-1961）,奥地利物理学家奥地利物理学家实验内容 量子纠缠态量子纠缠态 量子通信、量子计算机量子通信、量子计算机引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒子的粒子的状态状态 r r 和和 p p 。因为初条件知道的是坐标及其对时。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1 1）经典情况
17、）经典情况0000,ttdtrdmprtt 时时刻刻，已已知知初初态态是是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子满满足足的的方方程程是是牛牛顿顿（2 2）量子情况量子情况3 3第三方面，方程第三方面，方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p p,E E等，否则方程只等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。1 1因为，因为，t=tt=t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是(r,t(r,t0 0)且只知道且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方这样一个初条件，所以，描写粒子状态
18、的波函数所满足的方程程只能含只能含对时间对时间 的一阶导数的一阶导数。2 2另一方面，另一方面，要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1 1(r,t)(r,t)和和2 2(r,t)(r,t)是方程的解，那末。是方程的解，那末。(r,t)=C(r,t)=C1 11 1(r,t)+C(r,t)+C2 22 2(r,t)(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含中只能包含,对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的一次对坐标各阶导数的一次项项，不能含它们的平方或开方项。，不能含它们的平方或开方项
19、。一、自由粒子模型一、自由粒子模型势势能能为为0，221122pEmvmi(Etp r)(r,t)Ae （1 1）微分：）微分：i(Etp r)iiAe()EEt Eiitt iEt （2 2）对坐标微商：）对坐标微商：xyzxyzxyzii(p xp yp z Et)(p xp yp z Et)xxp rp xp yp zipipAeAexx xxipxipx xipx （3 3）两个算符：）两个算符：i:t E能量算符能量算符i:x xP动量算符动量算符i:z zPi:y yPxxyyzzPP eP ePe（4 4）对坐标二次微商：）对坐标二次微商：，2222)(xxEtzpypxpipx
20、piAexxzyx 22222222zypzpy同同理理有有 12222222222zyxpppzyx22222222P()xyz 2222222xyz 定定义义：222 pp p 22221Eitppi()pp 222222pp 22PE 222 E iEt 222it 满足上述构造方程满足上述构造方程的三个条件的三个条件该方程称为该方程称为 Schrodinger Schrodinger 方程，也常称为波动方程。方程，也常称为波动方程。量量。算算符符，亦亦常常称称为为是是体体系系的的式式中中HamiltonHamiltonHtrHtrrVtrti),(),()(2),(22 若粒子处于势场
21、若粒子处于势场 V(r)V(r)中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为：HrVpE )(22 )(22rVpE 将其作用于波函数得：将其作用于波函数得：做（做（1 1）式的算符替换得：）式的算符替换得：二、束缚粒子（在势场二、束缚粒子（在势场V(r)中运动的粒子）中运动的粒子）设体系由设体系由 N N 个粒子组成，个粒子组成，l质量分别为质量分别为 i i(i=1,2,.,N)(i=1,2,.,N)l体系波函数记为体系波函数记为 (r(r1 1,r,r2 2,.,r,.,rN N;t);t)l第第i i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 U Ui i(r(ri i)l粒子间的相互
22、作用粒子间的相互作用 V(rV(r1 1,r,r2 2,.,r,.,rN N)则多粒子体系的则多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程可表示为：方程可表示为：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 三、多粒子体系的三、多粒子体系的Schrodinger Schrodinger 方程方程2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（一）定域几率守恒（一）定域几率守恒 （二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质（一）（一）定域几率守恒定域几率守恒考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产
23、生和考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即它的几率总和应不随时间改变，即2|),(|),(),(),(trtrtrtr 0),(dtrdtd在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在变化。粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围单位体积内粒子出现的点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是
24、：几率即几率密度是：考虑考虑 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：)5(222 Vti)6(222 Vti 式式得得：将将)6()5(2222 titi22 ）（ti取共轭取共轭 dddtdi22 ）（在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有：闭区域闭区域上找到粒上找到粒子的总几子的总几率在单位率在单位时间内的时间内的增量增量J J是几率流密是几率流密度，是一矢度，是一矢量。量。所以所以(7)(7)式是几率（粒子数）式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。守恒的积分表示式。令令 Eq.Eq.（7 7）趋于趋于 ，即让积分对全空间进行
25、，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 Eq.Eq.（7 7）变为：）变为：0),(dtrdtd0 Jt 其微分形式与其微分形式与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同 diddtd2 ）（dJdtrdtd ),(的的表表面面。是是体体积积）（StrSdJdtrdtdS ),(7),(使用使用 Gauss Gauss 定理定理单位时间内通过单位时间内通过的封闭表面的封闭表面 S S 流入（面积分前面的负号）流入（面积
26、分前面的负号）内内的几率的几率2 iJSdS 0),(dtrdtd讨论：表明，波函数归一化不随表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。粒子既未产生也未消灭。（1 1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。不变，并伴随着某种流来实现这种变化。（2 2）以以乘连续性方乘连续性方程等号两边，得到：程等号两边，得到：0 Jt量子力学的质量量子力学的质量守恒定律守恒定律同理可得量子力学同理可得
27、量子力学的电荷守恒定律：的电荷守恒定律：0 eeJt 表明电荷总量表明电荷总量不随时间改变不随时间改变 )(2|),(|2iJJtr 质量密度质量密度 和和 质量流密度矢量质量流密度矢量 )(2|),(|2 ieJeJtreeee电荷密度电荷密度 和和 电流密度矢量电流密度矢量 定态方程的引入定态方程的引入 求解定态问题的步骤求解定态问题的步骤 关于定态的几点说明关于定态的几点说明2.5 2.5 定态定态Schrodinger方程方程一、定态薛定谔方程的引入一、定态薛定谔方程的引入U(r,t)U(r),()(2),(22trrVtrti 令：令：)()(),(tfrtr )(2)()()(22
28、rVtftfdtdri E )()(2)()(22rErVtEftfdtdi /)(iEtetf Etiertr )(),()(2)(1)()(122rVrtfdtdtfi )()(tfr 两两边边同同除除等式两边是相互等式两边是相互无关的物理量，无关的物理量，故故应等于与应等于与 t,t,r r 无关的常数无关的常数E E 就是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描写的状态时的能量所描写的状态时的能量。也就是说，此时。也就是说，此时体系能量有确定的值体系能量有确定的值，所以这种状所以这种状态称为定态，波函数态称为定态，波函数(r,t)(r,t)称为定态波函数。称为定态波函数
29、。Etiertr )(),()()(222rErV 222iEtVH 是相当的。这是相当的。这两个算符都称两个算符都称为为能量算符能量算符HE 二、求解定态问题的步骤二、求解定态问题的步骤)()(222rErV ,2121nnEEE ，本本征征函函数数本本征征值值：/exp)(),(tiErtrnnn 1|)(|2 drCnn（1 1）列出定态列出定态 SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根据波函数三个）根据波函数三个标准条件求解能标准条件求解能量量 E E 的本征值问的本征值问题，得：题，得：（3 3）写出定态波函数）写出定态波函数即得到对应第即得到对应第 n n
30、个个本征值本征值 E En n 的定态的定态波函数波函数（4 4）通过归一化确定归一化系）通过归一化确定归一化系数数 C Cn n三、关于定态的几点说明三、关于定态的几点说明 定态波函数并不与时间无关定态波函数并不与时间无关 定态哪些量与时间无关定态哪些量与时间无关 势函数势函数 粒子在空间分布的几率密度粒子在空间分布的几率密度 定态波函数并不与时间无关定态波函数并不与时间无关 定态哪些量与时间无关定态哪些量与时间无关 势函数势函数 粒子在空间分布的几率密度粒子在空间分布的几率密度Etiertr )(),(U(r)nnntr ),()/exp()/exp(tiEtiEnnnn )/exp()/exp(tiEtiEnnnn )()(rrnn 几率密度与时间无关几率密度与时间无关)/exp()/exp()/exp()/exp(2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn )()()()(2rrrrinnnn )(rJn 2),(nnnnnitrJ
