1、参考书：量子力学概论量子力学概论 贾瑜 译本D.J.Griffith,Introduction to Introduction to Quantum MechanicsQuantum Mechanics,机械工业出版社 第第1 1章章 波函数波函数 1 1 SchrSchrdinger dinger 方程方程2 2 波函数的统计诠释波函数的统计诠释3 3 概率概率4 4 归一化归一化5 5 动量动量 6 6 不确定原理不确定原理1 Schr1 Schrdinger dinger 方程方程u 宏观物体，经典力学：宏观物体，经典力学：（1 1）求出任意时刻物体的位置求出任意时刻物体的位置 （2 2
2、）求出速度）求出速度 ，动量，动量 ，动能，动能 等等，等等，方法方法:牛顿方程牛顿方程 ,初始条件初始条件 ()x tdxvdtpmv212Tmv22(,)d xV x tmdtx(,)(,)V x tF x tx(0),(0)xvu 微观粒子微观粒子,量子力学量子力学:求出粒子的波函数求出粒子的波函数 方法方法:薛定谔方程薛定谔方程 初始条件初始条件 (,)x t222(,)(,)(,)2dix tV x tx ttm dx(,0)x普朗克普朗克(Planck)(Planck)常数常数 341.054572 10.2hJ s经典物理描述物体运动的范式和途径：2 2 波函数的统计诠释波函数的
3、统计诠释u 波函数的物理意义波函数的物理意义 波恩（波恩（BornBorn）的统计诠释）的统计诠释:=t =t时刻时刻,x,x点附近单位体积内发现这个粒子的概率点附近单位体积内发现这个粒子的概率.（机率密度）（机率密度）2),(tx2(,)bax tdxt t 时刻发现粒子在时刻发现粒子在 区间内的概率区间内的概率.axbu 微观粒子的不确定性微观粒子的不确定性 波函数给出的是粒子位置的波函数给出的是粒子位置的统计信息统计信息,不能预言某一时刻粒子在哪个位置不能预言某一时刻粒子在哪个位置.u 实验测量结果实验测量结果 进行一次测量进行一次测量,所得结果是粒子在某一确定位置所得结果是粒子在某一确
4、定位置,比如比如 c c 点点.紧接着第一次紧接着第一次测量进行第二次测量，发现粒子仍在测量进行第二次测量，发现粒子仍在 c c 点。点。另一个实验，对同样的体系、同样的状态进行同样的测量，所得结果可能另一个实验，对同样的体系、同样的状态进行同样的测量，所得结果可能不同，比如不同，比如 A A点。点。2(,)x tdxdxtxba2),(在在t t时刻发现粒子处于时刻发现粒子处于a a和和b b之间的概率之间的概率)这种不确定性是事物的本质，还是理论的缺陷？这种不确定性是事物的本质，还是理论的缺陷？问题：在测量之前的瞬间，粒子在哪里？问题：在测量之前的瞬间，粒子在哪里？三种学派：三种学派：1
5、1、现实主义学派：粒子还是在、现实主义学派：粒子还是在 c c点。以爱因斯坦（点。以爱因斯坦（EinsteinEinstein）为）为代表。代表。“粒子的位置从来就不是不可确定的，而仅是试验者不知道粒子的位置从来就不是不可确定的，而仅是试验者不知道而已。而已。”量子力学是一个不完备的理论。量子力学是一个不完备的理论。2 2、正统学派：粒子哪也不在。以波尔（、正统学派：粒子哪也不在。以波尔（BohrBohr）为代表。）为代表。“观测者不仅扰动了被观测量，强迫观测者不仅扰动了被观测量，强迫(粒子粒子)出现在特定的位置出现在特定的位置.”.”测量的作用将非常独特测量的作用将非常独特 对其争论了半个世
6、纪但少有进展。对其争论了半个世纪但少有进展。3 3、不可知论学派：拒绝回答。回答是否正确的唯一途径是进行一、不可知论学派：拒绝回答。回答是否正确的唯一途径是进行一个精确的测量，对测量前粒子的状态进行论断没有什么意义？个精确的测量，对测量前粒子的状态进行论断没有什么意义？现在定论：正统观点（实验证实）。一个粒子在测量前没有一个确现在定论：正统观点（实验证实）。一个粒子在测量前没有一个确定的位置，是测量的过程给出了一个具体数量。定的位置，是测量的过程给出了一个具体数量。波函数的坍塌波函数的坍塌:在测量发现粒子处于在测量发现粒子处于 C点后瞬时的点后瞬时的 图形图形2u 微观粒子的基本属性微观粒子的
7、基本属性 光波粒二象性光波粒二象性光光:1:1）是电磁波）是电磁波,具有干涉、衍射现象，波动光学。具有干涉、衍射现象，波动光学。2 2）是粒子，称为光子）是粒子，称为光子 (Einstein(Einstein 的光量子论，光电效应，的光量子论，光电效应，Compton Compton 散射实验散射实验 )。电子：电子：1 1）是粒子，有质量、电荷，有颗粒性。）是粒子，有质量、电荷，有颗粒性。2 2）是波）是波 (de Broglie(de Broglie 假设，假设，Davisson Davisson 和和 Germer Germer 电子衍射电子衍射实验实验 )。经典粒子概念：经典粒子概念：
8、1 1）有一定质量、电荷等，和）有一定质量、电荷等，和“颗粒性颗粒性”的属性的属性;2 2）有确定的运动轨道，每一时刻有确定的位置和速度。）有确定的运动轨道，每一时刻有确定的位置和速度。经典波概念：经典波概念：1 1）实在的物理量的空间分布作周期性的变化）实在的物理量的空间分布作周期性的变化;2 2）干涉、衍射现象，即相干叠加性。）干涉、衍射现象，即相干叠加性。1 1、电子衍射实验、电子衍射实验 1.1.入射电子流强度小，电子一个一个发射，开始显示电子的微粒性入射电子流强度小，电子一个一个发射，开始显示电子的微粒性,长时长时间亦显示衍射图样间亦显示衍射图样;2.2.入射电子流强度大，很快显示衍
9、射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样电子源电子源接接收收屏屏OPPQQO微观粒子究竟是粒子还是波呢？微观粒子究竟是粒子还是波呢？粒电子既有子性又有波动性粒电子既有子性又有波动性2 2、电子双缝干涉实验、电子双缝干涉实验PS1S2电子源电子源感感光光屏屏实验结果表明：实验结果表明：1 1）在计数器上接收的电子是一个一个的，电子枪发出一个电子，）在计数器上接收的电子是一个一个的，电子枪发出一个电子，接收器上从来没有在两个以上地方同时接收到电子的一部分。电子表现接收器上从来没有在两个以上地方同时接收到电子的一部分。电子表现出出“粒子性粒子性”。2 2）电子表现出的干涉是自己与自己的干涉，不是不同
10、电子之间的）电子表现出的干涉是自己与自己的干涉，不是不同电子之间的干涉，干涉，“波动性波动性”是单个电子的行为。是单个电子的行为。问题：一个电子怎样通过双缝产生干涉现象呢？问题：一个电子怎样通过双缝产生干涉现象呢？结论：微观粒子与物质相互作用时，表现粒子性；运动过程中体现波动性。结论：微观粒子与物质相互作用时，表现粒子性；运动过程中体现波动性。3 3 概率概率假设一个屋子中有假设一个屋子中有1414个人，他们的年龄分布为：个人，他们的年龄分布为：1414岁岁 1 1人，人，1515岁岁 1 1人，人，1616岁岁 3 3人，人，2222岁岁 2 2人，人，2424岁岁 2 2人，人，2525岁
11、岁 5 5人人.5)25(,2)24(,2)22(,3)16(,1)15(,1)14(NNNNNN)(jN 表示年龄为表示年龄为j j的人数，则的人数，则 0().jNN j屋子中的总人数为屋子中的总人数为 如果如果P(j)P(j)是选出年龄为是选出年龄为j j的的概率概率,则则,14/1)14(P,14/3)16(P()().N jP jN如果不限定选出人的年龄如果不限定选出人的年龄,所有概率之和为所有概率之和为1 10()1.jP j最可几（或最概然）年龄是那个年龄最可几（或最概然）年龄是那个年龄?中值年龄是多大中值年龄是多大?平均年龄是多大平均年龄是多大?在量子力学中平均值又被称为期待值
12、。在量子力学中平均值又被称为期待值。0()().jjN jjjP jN年龄平方的平均是多少？年龄平方的平均是多少？220().jj P j注意：注意：一般情况下平方的平均是不等于平均的平方的。一般情况下平方的平均是不等于平均的平方的。普遍地普遍地,可以给出可以给出j的函数的函数的平均值的平均值0()()().fjfj P j 显然，两个图具有同样的中值、平均值、最可几值和显然，两个图具有同样的中值、平均值、最可几值和同等数目的元素，如何表示出分布对平均值同等数目的元素，如何表示出分布对平均值“弥散弥散”程度程度的不同？的不同？,jjj 22().j分布方差分布方差称为称为标准差标准差。它是对平
13、均值偏差平方的平。它是对平均值偏差平方的平均的平方根，简称方均根。均的平方根，简称方均根。仅对没有弥散的分布仅对没有弥散的分布0222222222222()()()()()(2)()()2()()2.jj P jjjP jjj jjP jj P jjjP jjP jjjjjjj22.jj以上结果属于分立变量的情况，可以非常简单地以上结果属于分立变量的情况，可以非常简单地推广到连续的分布：推广到连续的分布：(),babaPx dx1(),x dx(),xxx dx()()(),f xf xx dx2222().xxx4 4 归一化归一化1),(2dxtx概率解释的要求概率解释的要求:在任一时刻在
14、任一时刻,粒子一定在空间某处。和量子力学本身粒子一定在空间某处。和量子力学本身无关；无关；波函数归一化波函数归一化如何与薛定谔方程协调如何与薛定谔方程协调?波函数是由薛定谔方程所决定波函数是由薛定谔方程所决定,而波函数归一化是概率解释强加的而波函数归一化是概率解释强加的,二者是否协调二者是否协调.如果如果 是薛定谔方程的解是薛定谔方程的解,那么那么 也是薛定谔方程的解也是薛定谔方程的解,这里这里 是一个任意的是一个任意的(复复)常数。所以通过选择这个乘子使薛定谔方程的常数。所以通过选择这个乘子使薛定谔方程的解满足归一化条件。解满足归一化条件。),(tx),(txAA222(,)(,)(,)2d
15、ix tV x tx ttm dx 假定在假定在 时刻波函数归一化时刻波函数归一化,随时间演化时它能否保持归一化？随时间演化时它能否保持归一化？0t答案：薛定谔方程自动保持波函数的归一化答案：薛定谔方程自动保持波函数的归一化.22(,)(,).dx tdxx tdxdtttttt*222,2iiVtmx*2*2,2iiVtmx 22*2*22.22iitmxxxmxx *2*(,).2dix tdxdtmxx2(,)0,dx tdxdt证明证明:222(,)(,)(,)2dix tV x tx ttm dx 5 5 动量动量 2(,).xxx tdx对处于对处于 态的一个粒子，其态的一个粒子，
16、其 的期待值的期待值(平均值平均值)是是x期待值期待值:对含有相同体系的一个系综中所有体系对含有相同体系的一个系综中所有体系,同时进行测量的平均值同时进行测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。而不是对同一个体系的重复测量的平均值。当时间演化时当时间演化时,将发生变化将发生变化,xdxxxxxmidxtxdtxd*22dxxxmidtxd*2dxxmidtxd*.d xvdt如果粒子没有一个确定的位置如果粒子没有一个确定的位置(在测量之前在测量之前)，那么也没有确定的速度。，那么也没有确定的速度。假如知道了粒子的波函数假如知道了粒子的波函数,我们还可以做什么我们还可以做什么?u 粒
17、子的平均位置粒子的平均位置:u 粒子的平均速度粒子的平均速度:分部积分得到：u 动量动量 的平均值的平均值:)(mvp*.d xpmidxdtx 粒子位置和动量的平均值公式可写成统一的形式粒子位置和动量的平均值公式可写成统一的形式:*,xxdx*.pidxx量子力学中用算符量子力学中用算符 “表示表示”位置，用算符位置，用算符 “表示表示”动量动量.xixdxxmidtxd*几个常用力学量的算符表示形式几个常用力学量的算符表示形式xipxyipyzipzzzyyxx,坐标算符：坐标算符：ip动量算符动量算符：22222mmpT动能算符：动能算符：)r(UmUTH222哈密顿算符哈密顿算符：经典
18、力学的力学量对应量子力学的算符：对应关系！角动量算符角动量算符：u 力学量平均值的一般公式力学量平均值的一般公式所有经典力学量都是坐标和动量的函数所有经典力学量都是坐标和动量的函数.任一力学量任一力学量 的平均值的平均值:),(pxQ*(,),.Q x pQ xidxx如动能如动能:221,22pTmvm22*2.2Tdxmx 6 6 不确定原理不确定原理握着一根长绳的一端，有节奏地上下摆动产生一个波握着一根长绳的一端，有节奏地上下摆动产生一个波:突然抖动一下绳子突然抖动一下绳子,可以得到一个沿绳子传播的孤峰可以得到一个沿绳子传播的孤峰:问题问题:(1):(1)波在哪里波在哪里?(2)?(2)
19、波长是多少波长是多少?第一种情况第一种情况:问题问题(1)(1)无法回答无法回答,波分布在一定的空间范围内波分布在一定的空间范围内;问题问题(2)(2)可以准确回答。可以准确回答。第二种情况第二种情况:问题问题(1)(1)可以回答可以回答;问题问题(2)(2)无法回答无法回答,它没有明确的周期。它没有明确的周期。结论：任何波动现象，波的位置越精确，波长就越不精确，反之亦然。结论：任何波动现象，波的位置越精确，波长就越不精确，反之亦然。海森伯海森伯(Heisenberg)(Heisenberg)不确定原理不确定原理 量子力学中，微观粒子有波动性，状态用波函数描述，粒子的位置与波函数量子力学中，微
20、观粒子有波动性，状态用波函数描述，粒子的位置与波函数的波长有同样的的波长有同样的 “排斥性排斥性”。按照德布罗意（按照德布罗意（de Brogliede Broglie）公式，粒子的动量与波长的关系为：）公式，粒子的动量与波长的关系为：2.hp所以，波长的弥散对应动量的弥散。所以，波长的弥散对应动量的弥散。粒子的位置越精确粒子的位置越精确,它的动量就越不精确。它的动量就越不精确。定量上有定量上有 ,2xp 是是 的标准差的标准差,是是 的标准差。的标准差。xxpp也称为粒子位置和动量的也称为粒子位置和动量的测不准关系测不准关系。粒子的位置和动量不能同时准确测定。或者说不存在粒子的位置和动量同时
21、粒子的位置和动量不能同时准确测定。或者说不存在粒子的位置和动量同时取确定值的状态。取确定值的状态。测不准关系是一个基本规律，它是微观粒子波粒二象性的反映。由此可知，测不准关系是一个基本规律，它是微观粒子波粒二象性的反映。由此可知，经典的轨道概念将不复存在，经典的轨道概念将不复存在，用用 描述状态的方式失效。描述状态的方式失效。rp小结小结1、微观粒子的运动方程：薛定谔方程微观粒子的运动方程：薛定谔方程2 2、微观粒子的运动状态：用波函数描述、微观粒子的运动状态：用波函数描述3 3、波函数的物理意义：波恩（、波函数的物理意义：波恩（BornBorn）的统计诠释）的统计诠释4 4、波函数的归一化、
22、波函数的归一化5 5、力学量平均值、标准差的计算、力学量平均值、标准差的计算6 6、海森伯、海森伯(Heisenberg)(Heisenberg)不确定原理、测不准关系不确定原理、测不准关系 研究报告：量子力学的测量问题？测量对波函数有何影响？研究报告：量子力学的测量问题？测量对波函数有何影响？参考书：玻姆参考书：玻姆,量子理论原理量子理论原理习题：1.4 1.9第二章第二章 定态定态 SchrSchrdinger dinger 方程方程1.1.定态定态2.2.一维无限深方势阱一维无限深方势阱3.3.谐振子谐振子 4.4.自由粒子自由粒子5.5.函数势函数势6.6.有限深方势阱有限深方势阱1.
23、1.定态定态u 定态定态 定态定态 SchrSchrdinger dinger 方程方程一个质量为一个质量为 m m 的粒子的粒子,在势场在势场 中运动中运动,运动方程为运动方程为:(,)V x t222(,)(,)(,)(,),2x tx tiV x tx ttmx 给定初始条件给定初始条件 ,边界条件边界条件,如何求出任意时刻的波函数如何求出任意时刻的波函数?(,0)x(,)x t问题问题:假设势场不随时间变化假设势场不随时间变化,用分离变量法找一类特殊解用分离变量法找一类特殊解:(,)()()x txt代入薛定谔方程代入薛定谔方程,得得222.2ddiVdtm dx 预备问题：势和能预备
24、问题：势和能两边同时除以两边同时除以 22211.2ddiVdtmdx 得到两个方程得到两个方程:diEdt 222.2dVEm dx定态定态Schrdinger 方程方程().iEtte定态定态(stationary states):(,)()iEtx tx e222.2ddiVdtm dx 2 2 任何动力学变量的平均值不随时间变化任何动力学变量的平均值不随时间变化 (,)(,).dQ x pQ xdxi dx 3 3 它们是具有确定总能量的态它们是具有确定总能量的态 定态的性质定态的性质:1 1 概率密度不随时间变化概率密度不随时间变化22(,)()iEtiEtx teex 3 3 它们
25、是具有确定总能量的态它们是具有确定总能量的态 粒子的总能量（动能粒子的总能量（动能+势能）称为哈密顿量（势能）称为哈密顿量（HamiltonianHamiltonian）：）：2(,)().2pH x pV xm对应的哈密顿算符（通过标准的的替换规则对应的哈密顿算符（通过标准的的替换规则 ）：）：()()pix 222().2HV xm x 定态薛定谔方程可以写为定态薛定谔方程可以写为 HE哈密顿算符的本征方程哈密顿算符的本征方程总能量的平均值是总能量的平均值是2.HHdxEdxE 的标准差：的标准差：H22222.HHdxEdxE 222220.HHHEE 总能量的每次测量结果是确定的值（分
26、布没有弥散）总能量的每次测量结果是确定的值（分布没有弥散）。所以是具有确定总能量的态所以是具有确定总能量的态 (,)()iEtx tx e()()HxExu 含时含时 SchrSchrdinger dinger 方程的一般解方程的一般解 求解定态薛定谔方程求解定态薛定谔方程,一般会得到一个无限解集一般会得到一个无限解集 ，每个解有对应的能量每个解有对应的能量 ,对应每个允许的能量有不同的定对应每个允许的能量有不同的定态波函数：态波函数：123(),(),(),xxx123,E E E 111(,)(),iE tx tx e222(,)(),iE tx tx e含时薛定谔方程的一般解可表示为含时
27、薛定谔方程的一般解可表示为:1(,)().niE tnnnx tcx e常数常数 由初始条件决定由初始条件决定:123(,)c c c 1(,0)()nnnxcx一般解是分离变量解的线性组合一般解是分离变量解的线性组合例题例题2.1 假设一个粒子的初始状态是假设一个粒子的初始状态是两个定态的线性叠加两个定态的线性叠加：1122(,0)()()xcxcxnc()nx(,)x t(假设常数假设常数 和和 是实数）那么任意时刻的波函数是实数）那么任意时刻的波函数 是什么？是什么？求出概率密度并描述其运动形式。求出概率密度并描述其运动形式。解解:121122(,)()()iE tiE tx tcx e
28、cx e12,E E12,其中其中 是是 相应的能量。相应的能量。1212211221122(,)()()()()iE tiE tiE tiE tx tcx ecx ecx ecx e222211221 212212cos()ccc cEE t 粒子的空间概率密度：粒子的空间概率密度：概率密度以余弦形式振动，角频率是概率密度以余弦形式振动，角频率是 。21()EE处理处理定态问题的一般方法定态问题的一般方法nE(1)根据体系的物理条件，写出势能函数 ，进而写出体系的哈密顿算符 和定态薛定谔方程；(2)解定态薛定谔方程。确定能量本征值 和能量算符的本征函数 ；(3)由 可以写出概率密度 的表达式
29、，可分别描绘出波函数和概率密度分布等相应图形，由图形讨论其分布特点；(4)通过波函数 可求出不同力学量的期待值，了解体系的性质；(5)联系实际问题，应用所得结果。()V xHn nnn*n n（1 1）列出各区域的定态）列出各区域的定态 SchrSchrdingerdinger方程方程 00()0,xaV xxxa 0 a xV(x)IIIIII2.2.一维无限深方势阱一维无限深方势阱一个质量一个质量 m 为的粒子在为的粒子在 0 和和 a 之间运动。之间运动。u 粒子可能的定态粒子可能的定态222,02dExam dx()0,0,xxxa（2 2）解方程）解方程2222,.dmEkkdx 其
30、中通解通解：()sincosxAkxBkx 的边界条件是什么？一般来说，的边界条件是什么？一般来说，和和 都是连续的，但是，都是连续的，但是，当势函数是无穷大，只能用第一个边界条件。当势函数是无穷大，只能用第一个边界条件。ddx 的连续性要求：的连续性要求：()x(0)()0a(0)0sin(0)cos(0)0,AB0B=0,2,3,ka()0sin=0aAka=1,2,3,.nnkna,在在 处的边界条件没有确定常数处的边界条件没有确定常数A，却确定了常数，却确定了常数 xak由此，得到由此，得到 的可能值是：的可能值是：E222222,1,2,3,22nnknEnmma与经典情况完全不同，
31、一个微观粒子在一维无限深势阱中运动，其能量不能是任意的，与经典情况完全不同，一个微观粒子在一维无限深势阱中运动，其能量不能是任意的，它只是这些特殊的许可值。它只是这些特殊的许可值。（4 4）确定归一化系数）确定归一化系数22222002()1sin()1.2aaaxdxAkx dxAAa，所以A 的相位没有任何意义，取其正实根的相位没有任何意义，取其正实根:2Aa（5 5）定态）定态SchrSchrdingerdinger方程方程 的解的解2()sin(),1,2,3,nnxxnaa（6 6）粒子可能的定态）粒子可能的定态222(2)2n(,)sin(),1,2,3,i nmatnx tx e
32、naa讨论：讨论：1、解定态薛定谔方程得到一个无限的解集。前三个函数：、解定态薛定谔方程得到一个无限的解集。前三个函数：像在一个长度为像在一个长度为 a 的弦上的驻波的弦上的驻波,态粒子的能量最低，称为态粒子的能量最低，称为基态基态，其它态，其它态粒子的能量正比于粒子的能量正比于 ，称为，称为激发态激发态。12n2、函数的性质函数的性质()nx（1）它们相对于势阱的中心是奇偶交替的）它们相对于势阱的中心是奇偶交替的；（2）随着能量的增加，态的节点（与）随着能量的增加，态的节点（与 x 轴交点）数逐次增轴交点）数逐次增1；(3)(3)正交性正交性,即即 mn(x)(x)0,dxmn证明：证明：m
33、n02n()()sin()sin()amxx dxxx dxaaa01cos()cos()amnmnxxdxaaa011sin()sin()()()amnmnxxmnamna1sin()sin()0()()mnmnmnmn把正交性和归一性写在一起：把正交性和归一性写在一起：()()mnmnxx dx0,1,mnmnmn如果如果（4 4）完备性，即任意一个函数）完备性，即任意一个函数 ，都可以用它们的线性迭加来表示：，都可以用它们的线性迭加来表示：()f x112()()sin()nnnnnnf xcxcxaa展开系数展开系数 可以用可以用 的正交归一性的正交归一性 得到：得到：ncn*11()
34、()()()mnmnnmnmnnx f x dxcxx dxccn()().ncx f x dxu 含时薛定谔方程的解含时薛定谔方程的解通解：用定态解线性迭加通解：用定态解线性迭加 222(2)12(,)sin().i nmatnnnx tcx eaa迭加系数：由初始波函数迭加系数：由初始波函数 确定：确定：(,0)x1(,0)().nnnxcx02sin(,0).anncxxdxaa从而可计算任何时刻任何一个感兴趣的力学量的平均值。从而可计算任何时刻任何一个感兴趣的力学量的平均值。迭加系数的物理意义：迭加系数的物理意义：是对能量的一次测量得到结果为是对能量的一次测量得到结果为 的几率。的几率
35、。2ncnE得到所有能量可能值得到所有能量可能值 的几率之和一定为的几率之和一定为1 1。211.nnc2111=(,0)()()mmnnmnxdxcxcx dx 11()()mnmnmnc cxx dx2111mnmnnmnnc cc证明：证明：能量的期望值：能量的期望值：21,nnnHcE 按计算平均值的一般公式，有按计算平均值的一般公式，有mmnnHHdxcHcdx 2*.mnnmnnnc c EdxcE 能量的平均值不依赖时间，这是能量守恒在量子力学中的体现。能量的平均值不依赖时间，这是能量守恒在量子力学中的体现。作作 业业习题：习题：2.32.3，2.4,2.5,2.7,2.82.4
36、,2.5,2.7,2.8小结：小结：1 1、定态，定态的性质、定态，定态的性质2 2、定态薛定谔方程、定态薛定谔方程3 3、含时薛定谔方程的求解、含时薛定谔方程的求解4 4、一维无限深方势阱，定态薛定谔方程的求解、一维无限深方势阱，定态薛定谔方程的求解3 3 谐振子谐振子 （一）引言（一）引言 （1 1）谐振子）谐振子 （2 2）为什么研究谐振子）为什么研究谐振子 （二）代数法求解谐振子（二）代数法求解谐振子 （三）幂级数法求解谐振子（三）幂级数法求解谐振子（1 1）方程）方程 （2 2）求解）求解 （3 3）应用标准条件）应用标准条件 （4 4）厄密多项式）厄密多项式 （5 5）求归一化系数
37、）求归一化系数 （6 6）讨论）讨论 （四）例题（四）例题（一）引言（一）引言（1 1）谐振子）谐振子 量子力学中的线性谐振子就量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动是指在该式所描述的势场中运动的粒子。的粒子。在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力的粒子，受弹性力F=-kxF=-kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：其解为其解为 x=Asin(t+)x=Asin(t+)。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。叫谐振子。若取若取V V0 0=0=0，即平衡位置处，
38、即平衡位置处于势于势 V=0 V=0 点，则点，则kxdxV 所所以以0221Vkx 22012mxV2km2212Vmx2220d xkmkxxxdtm其中dxdVF 因为（2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子 自然界广泛存在简谐振动自然界广泛存在简谐振动,在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等都可分解成若干彼此独立的一维简谐振动。原子核表面振动以及辐射场的振动等都可分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动还可作为复杂运动的初步近似。简谐振动还可作为复杂运动的初步近似。例如双原子分子，两
39、原子间的势例如双原子分子，两原子间的势V V是二是二者相对距离者相对距离x x的函数，如图所示。在的函数，如图所示。在 x=a x=a 处，处，V V 有一极小值有一极小值V V0 0。在。在 x=a x=a 附近势附近势可以展开成泰勒级数：可以展开成泰勒级数：axV(x)0V0 取新坐标原点为取新坐标原点为(a,V(a,V0 0)，则，则势可表示为标准谐振子势的形式：势可表示为标准谐振子势的形式：可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。222)(!21)(!11)()(axxVaxxVaVxVaxax22
40、20)(!21axxVVax20)(21axkV221)(kxxV（二）代数法求解谐振子（二）代数法求解谐振子 u 谐振子的谐振子的 HamiltonHamilton算符：算符：22222222122122pHmxmdmxmd x u 定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：222221.22dmxEm dx221()2pm xEmu 分解哈密顿算符：分解哈密顿算符：按照形式按照形式 22()()uviuviuv1()2aipm xm引入算符引入算符 221()()21 ()()2a aipm xipm xmpm ximxppxm221(),.22ipm xx pm 称为称为 与与 的对易式的对易式,
41、x pxppxxp,()()()().dddfdfx p f xxfxfxxfi f xi dxi dxidxdx,.x pi 正则对易关系正则对易关系11,2a aH1.2Ha a同样可以验证：同样可以验证：11.2a aH1.2Ha a,1.a a利用算符利用算符 ，定态薛定谔方程可表示为：定态薛定谔方程可表示为：1.2a aE 如果如果 是能量为是能量为 的解（即的解（即 ），则），则 是能量为是能量为 的解，的解，是能量为是能量为 的解。的解。EHEa()E a()E 证明：证明：11()()2211 =122 =()()()().H aa aaa a aaaa aaa aaHaEEa
42、 11()()221 1=()()2 ()().H aa aaaa aaa aaHaEEa a 称为升降阶算符称为升降阶算符a谐振子的能态谐振子的能态“梯子梯子”有一个最低的阶梯（称为有一个最低的阶梯（称为 ）使得使得 000.a由此确定由此确定 ：0010,2dm xdxm220().mxxAe归一化，归一化，222/1,m xAedxAm2/Am 21/420().mxmxe代入薛定谔方程以确定相应的能量代入薛定谔方程以确定相应的能量 012Eu 谐振子定态薛定谔方程的解谐振子定态薛定谔方程的解:从谐振子的基态出发，反复应用升阶算符生成激发态。从谐振子的基态出发，反复应用升阶算符生成激发态
43、。每一步增加能量每一步增加能量 。01()()(),2nnnnxA axEn确定归一化常数确定归一化常数 ：nA111,.nnnnanan证明：证明：正比于正比于 11,nnnnnnacadna1n*()().fa g dxa fgdx*()()()nnnnaadxa adx,(1)nnnna ana an222*1222*1()()(1)()()nnnnnnnnnnaadxcdxndxaadxddxndx21ncn2ndn证毕证毕1.2Ha a1.2Ha a21021011,(),22aaa343204301111(),(),33 244 3 2aaaa 01()!nnan依此类推，有依此类
44、推，有 *.mnmndx*()=()()()=.mnmnmnmnmna adxndxaadxa adxmdx 谐振子的定态具有正交归一化性质：谐振子的定态具有正交归一化性质：证明：证明：例题例题2.5 2.5 求出谐振子第求出谐振子第 态势能的平均值。态势能的平均值。n解：解：222*211.22nnVmxmxdx();().22mxaapiaam利用升降阶算符，利用升降阶算符，222()()()().2xaa aa aam*22()()()().4nnVaa aa aadx11(1).422Vnnn势能的期待值正好是总能量的一半。势能的期待值正好是总能量的一半。作作 业业习题：习题：2.12
45、，2.13,2.14,2.15,2.17（二）幂级数法解谐振子（二）幂级数法解谐振子（1 1）方程的建立）方程的建立 （2 2）求解）求解 （3 3）应用标准条件）应用标准条件 （4 4）厄密多项式）厄密多项式 （5 5）求归一化系数）求归一化系数 （6 6）讨论）讨论（1 1）方程的建立）方程的建立0)(2120)(2122222222222 xxEdxdxxEdxd 或或：则则方方程程可可改改写写为为：，其其中中令令：x22222222212212xdxdxpH 线性谐振子的线性谐振子的 HamiltonHamilton算符：算符：定态定态 SchrSchrdinger dinger 方程
46、方程 ：为简单起见，引入无量纲变量为简单起见，引入无量纲变量代替代替x x，22220dEd 其中此式是一变系数二阶常微分方程。此式是一变系数二阶常微分方程。（2 2）求通解）求通解0222 dd2/22/122 ecec 所所以以为求解方程，先研究它的渐近行为，为求解方程，先研究它的渐近行为，即当即当 时波函数时波函数的行为。的行为。在此情况下，在此情况下，1 10)(222xdd H()H()必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：当当有限时，有限时，H()H()有限；有限；当当时，时，H()H()的行为要保证的行为要保证 ()0()
47、0。0)1(2 HHH 2/2)()(eH将将()()表达式代入方程得表达式代入方程得 关于关于 待求函数待求函数 H()H()所满足的方程：所满足的方程：2.H()2.H()满足的方程满足的方程此方程称为此方程称为 Hermite Hermite 方程。方程。令令3.3.Hermite Hermite 方程的级数解方程的级数解2220010)1()1(22 kkkkkkkkkkkkkkbkkbHkbHkbH以级数形式来求解，令：以级数形式来求解，令：kkkkkbHkk )2)(1(220则则：令令kkkkkb)2)(1(20 用用 k k 代替代替 k k变变成成：则则方方程程0)1(2 H
48、HH 任何有理无奇异行为的函数都可以展开为幂级数由上式可以看出：由上式可以看出：b b0 0 决定所有角标决定所有角标k k为偶数的系数；为偶数的系数；b b1 1 决定所有角标决定所有角标k k为奇数的系数。为奇数的系数。因为方程是二阶微分方程，应有两个因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：线性独立解。可分别令：b b0 0 0,b 0,b1 1=0.H=0.Heveneven();();b b1 1 0,b 0,b0 0=0.H=0.Hoddodd().().由由 b bk+2k+2(k+2)(k+1)-b(k+2)(k+1)-bk k 2k+b 2k+bk k(-1)=0
49、(-1)=0 导出系数导出系数 b bk k 的递推公式：的递推公式：只含偶次幂项只含偶次幂项只含奇次幂项只含奇次幂项则通解可记为：则通解可记为：H=cH=co o H Hoddodd+c+ce e H Heveneven =(c =(co o H Hoddodd+c+ce e H Heveneven)exp-)exp-2 2/2/2kkbkkkb)2)(1(1222/2)()(eH（3 3）用标准条件定解）用标准条件定解(I)=0(I)=0 exp-exp-2 2/2|/2|=0=0=1 =1 H Heveneven()|()|=0=0=b=b0 0 H Hoddodd()|()|=0=0=
50、0 =0 皆有限皆有限(II)(II)无穷级数无穷级数H()H()的收敛性的收敛性考察相邻考察相邻 两项之比：两项之比：22222)2)(1(12 kkkkbbkkkkk 考察幂级数考察幂级数expexp2 2 的展开式的收敛性的展开式的收敛性 )!1()!(!2!11exp222422kkkk 比较二级数可知：比较二级数可知：当当时时，H()H()的的渐近行为与渐近行为与expexp2 2 相同。相同。单值性单值性和和连续性连续性条件自然满足，条件自然满足，有限性有限性条件需要进行讨论。条件需要进行讨论。因为因为H()H()是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，是一个幂级数，故应
