1、题型集训题型集训(8)与三角形有关的计算和证明与三角形有关的计算和证明 杭州 温州 宁波 绍兴 嘉兴、 舟山 湖州 台州 金华、 丽水 衢州 2018 年 第 19 题 第 18 题 第 23 题 第 22 题 第 19 题 第 22 题 8 分 8 分 10 分 12 分 6 分 12 分 2019 年 第 19 题 第 18 题 第 23 题 第 22 题 8 分 8 分 12 分 12 分 1.(温州二模)如图， 在四边形 ABCD 中， ADBC， A90 ，过点 C 作 CEBD 交 BD 于点 E，且 CE AB. (1)求证：ABDECB； (2)若 ABAD，求ADC 的度数
2、解：解：(1)ADBC，ADBDBC，且，且A BEC90 ， ABCE， ABDECB(AAS)； (2)ABAD， BAD90 ， ADBABD 45 ， ABDECB， DBCADB45 ， BCBD，BDC67.5 ，ADC112.5 . 2(2019 福建)已知ABC 和点 A，如图 (1)以点 A为一个顶点作ABC，使ABC ABC，且ABC的面积等于ABC 面积的 4 倍；(要 求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)设 D，E，F 分别是ABC 三边 AB，BC，AC 的中点， D， E， F分别是你所作的ABC三边 AB， BC，CA的中点，求证：DEFDEF. 解：(
3、1)作线段 AC2AC，AB2AB，BC 2BC，得ABC即可所求 证明：证明：AC2AC，AB2AB，BC2BC， ABCABC，S ABC S ABC (AB AB )24； (2)证明：证明： D， E， F 分别是分别是 ABC 三边三边 AB， BC， AC 的中点，的中点， DE1 2 BC， ， DF1 2 AC， ， EF1 2 AB， ， DEFABC， 同理：， 同理： DEFABC， 由， 由(1) 可知：可知： ABCABC，DEFDEF. 3(2019 玉林)如图，已知等腰ABC 顶角A 36 . (1)在 AC 上作一点 D，使 ADBD(要求：尺规作 图，保留作图
4、痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色 墨水笔加黑)； (2)求证：BCD 是等腰三角形 (1)解：如图，点解：如图，点 D 为所作；为所作； (2)证明：证明：ABAC，ABCC1 2 (180 36 )72 ，DADB，ABDA36 ， BDCAABD36 36 72 ， BDC C，BCD 是等腰三角形是等腰三角形 4 (2019 安徽)如图， RtABC 中， ACB90 ， ACBC，P 为ABC 内部一点，且APBBPC 135 . (1)求证：PABPBC； (2)求证：PA2PC； (3)若点 P 到三角形的边 AB，BC，CA 的距离分 别为 h1，h2，h3，求证 h2 1 h
5、2 h3. 解：解：(1)ACB90 ，ABBC，ABC 45 PBAPBC，又，又APB135 ，PAB PBA45 ，PBCPAB，又，又APB BPC135 ，PABPBC； (2)PABPBC，PA PB PB PC AB BC ，在 ，在 Rt ABC 中，中， ABAC， AB BC 2 ， PB 2 PC， PA 2 PB，PA2PC； (3)如图，过点如图，过点 P 作作 PDBC，PEAC 交交 BC， AC 于点于点 D，E，PFh1，PDh2，PEh3， CPBAPB135 135 270 ， APC90 ，EAPACP90 ， 又又ACBACPPCD90 ， EAPPCD，Rt AEPRt CDP， PE DP AP PC 2，即，即h3 h2 2，h32h2， PABPBC， h1 h2 AB BC 2 ， h1 2 h2， h2 1 2h2 2 2h2 h2h2h3.即：即：h2 1 h2 h3.
