1、第一讲 多元函数的基本概念高等数学（下册）第九章 多元函数微分学及其应用本讲内容01多元函数的概念二元函数的极限02二元函数的连续性03000000(,)(,)P xyxOyP xy 设是 平面上的一定点 是某一正数与点，(1)邻域一、多元函数的概念1.区域000(,)(,)P x yP xy的距离小于 的点 的全体称为点 的 记为，邻域0(,)U P 即，00(,)U PP P P，22000(,)(,)()()U Px yxxyy亦即 .30000(,)(,)U PP xy 在几何上 表示以 为中心 为半径的圆的内，图 9.1一、多元函数的概念9.1.部不含圆周如图（）所示，4OxyP00
2、000000(,)(,)(,)U PP xyP xy 上述邻域 去掉中心 后称为 的，去0000()(,)U PP xy 如果不需要强调邻域的半径 则用 表示点，一、多元函数的概念0(,)U Po记作即，心邻域22000(,)(,)0.()()U Px yxxyyo0000.()(,)U PP xyo的邻域用 表示点 的去心邻域，5ExOyPxOyP设 是平面上的一个点集是平面上的一点则与 ，(2)区域()()PU PU PE如果存在 的某个邻域使得则称点，内点：PE如果在点 的任何邻域内既有属于的点也有不，边界点：图 9.2一、多元函数的概念E 的关系有 如下情形：9.2.PE为的内点如图所
3、示，EPEEE属于的点则称点为的边界点的边界点的集合称为的边，9.3界如图所示，6PEEP图 9.3.EEE如果点集 的每一点都是 的内点则称 为开集，开集：EE设 是平面点集如果对于 中的任何两点都可用，连通集：连通的开集称为开区域也称，开区域：区域.开区域连同它的边界称为闭区域：闭区域一、多元函数的概念.EE完全含于 的折线连接起来则称 是连通集，7221,(,)149.4Ex yxy 例如 点集是开区域如图 所示.，图 9.4一、多元函数的概念222(,)149.5.Ex yxy点集是闭区域如图 所示，8O12yxO12yx图 9.539.6.,|0Ex yxy 又如点集是开区域如图 所
4、示，图 9.6 一、多元函数的概念4.0.(,)|9 7Ex yxy点集是闭区域如图 所示，9 图 9.7 OyxOyxE 如果区域 可包含在以原点为中心的某个圆内即存，有界区域：1234E EE E例如是有界区域是无界区域，,，,EP 记是平面上的一个点集是平面上的一个点如果，：聚点 EEEE 显然的内点一定是的聚点此外的边界点也可能是，一、多元函数的概念(0,)rEUrEE在正数使则称 为有界区域；否则称 为无界区域.，PEPE点的任一邻域内总有无限多个点属于点集则称为的聚点，的聚点102255(,)01(0,0)Ex yxyE 例如设那么点 既是 的边界，22551xyEE 又如圆周上的
5、每个点既是 的边界点又是 的聚点，61 11 11 1(1,1),(,),(,),(,),2 203 3(,0)En n 再如点集原点是它的，.n以上平面区域的概念可以直接推广到 维空间中去EEE由此可见点集 的聚点可以属于 也可以不属于 ，一、多元函数的概念555EEE点又是 的聚点但 的这个聚点不属于；，5E而这些聚点都属于 6E聚点 中的每一个点都不是聚点，1112(,)nx xnxL 一般地由 元有序实数组 的全体组成的集合称为，12(,)nixxnxxnL 元有序实数组 称为 维空间中的一个点数称，1212,nnP x xxQ y ynyLL 类似地规定 维空间中任意两点与，一、多元
6、函数的概念2.n 维空间Rn记作即，维空间n12R(,)|R,1,2,nnix xxxin.LLi为该点的第 个坐标之间的距离为2221122()()().nnyxyxPQyxL12n 前面关于平面点集的一系列概念均可推广到 维空间中去例如，n 以邻域为基础还可以定义 维空间中内点、边界点、区域等一系，一、多元函数的概念00RnPP 是某一正数则点 的 邻域为，00(,)|,R nU PP PPP.列概念132R(,)DP x yD 设 是中的一个平面点集如果对于每个点，(,)(,)(,)x yDf x yx y 取定对应的 叫做 所对应的函数值全体函数，一、多元函数的概念3.多元函数的概念定
7、义 9.1zfzx变量 按照一定对应法则 总有唯一确定的数值与之对应则称 是 ，y 的二元函数记作，(,),(,)(),zDxfyx yPfPzD，或 .x yzD其中 为 为点集 叫做函数的，,，自变量因变量定义域 值的集合即，().f D称为函数的常记为，值值域域()(,)|(,),(,)f Dx yzf x yx yD 14 类似地可以定义三元函数以及三元以上的函数.，9.1Dn 一般地如果把定义 中的平面点集 换成 维空间的点，12nnnn 当时元函数就是一元函数；当 时 元函数就，二元及二元以上的函数统称为多元函数的概念与多元函数一、多元函数的概念12(,(),)nx xxyfDny
8、PL集可类似地定义 元函数 或 这里，12,.(,)nP x xxDL3.nn是二元函数；当 时 元函数就是三元函数，一元函数一样包含和这两个要素，对应法则定义域15 多元函数的定义域的求法与一元函数类似，若函数的自变量具有某种实际意义则根据它的实际意义来决定，对一般的用解析式表示的函数使表达式有意义的自变量的取值，一、多元函数的概念范围就是函数的定义域，.其取值范围从而确定函数的定义域，16222211.4zxyDxy 求函数的定义域222210,40,xyxy要使函数的解析式有意义必须满足，一、多元函数的概念 1例 解0,yxy解得 ,|0,.x yyDxy故定义域 17,zf x yDD
9、设函数的定义域为平面区域 对于 中的任意一点，一、多元函数的概念4.二元函数的几何表示,zP x yzfx y 对应一确定的函数值 这样便得到一个三元，,Px y zM xDy z有序数组 相应地在空间可得到一点 当点 在 ，MPD内变动时相应的点 就在空间中变动当点 取遍整个定义域 时，MS点 就在空间描绘出一张曲面 ：,|,Sx y zzf x yx yD18221zaxbyczxy 例如 表示一平面；表示球心在原点，图 9.99.9DSxOy 而函数的定义域 就是曲面 在 面上的投影区域如图 所示，一、多元函数的概念1半径为 的上半球面19zOMz=f（x，y）xyyDPx02本讲内容0
10、1多元函数的概念二元函数的极限二元函数的连续性030()zDf PPD 设二元函数 的定义域是某平面区域 为 ，0()()PPf Pf P此时也称当 时 的极限存在否则称 的极限不存在，二、二元函数的极限定义 9.20()PDPf P的一个聚点当 中的点 以任何方式无限趋于 时函数值，0AAPP无限趋于某一常数则称 是函数当（趋于 时的二重）极限，记为00lim()()PPf PAf PA PP 或000(,)(,)PxyPx y若 点的坐标为 点 的坐标为 则上式又可写为，0000,.lim(,)()x yxyf xyf x yAyA xxy,或，21000()(,)(,)zf Pf x y
11、DP xy 设二元函数 的定义域为 ，00 19.3DPP定义 中要求 是定义域 的聚点 是为了保证在 的，二、二元函数的极限定义 9.3注D任何邻域内都有 中的点0DA是 的一个聚点 为常数若对任给的正数 总存在 当，22000(,)0()()P x yDPPxxyy且 时总有，(),f PA0()(zf PPPA则称 为 当 时的 二重 极限22 02()PPf P 只有当 以任何方式趋近于相应的 都趋近于同一，3 二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质和法则二、二元函数的极限0()(,)f PPPAP x yA常数 时才称 为 当 时的极限如果 以某些特，000(,)P xy殊方式如
12、沿某几条直线或几条曲线趋于 时即使函数（），()Af P值趋于同一常数我们也不能由此断定函数的极限存在但是，0()PDPf P反过来当 在 内沿两种不同的路径趋于 时 趋于不同的，PD值则可以断定函数的极限不存在；或者当 在 内沿某种路径趋于，0.()Pf P时 的极限不存在则可以断定函数的极限不存在，23 多元函数的定义域的求法与一元函数类似，若函数的自变量具有某种实际意义则根据它的实际意义来决定，对一般的用解析式表示的函数使表达式有意义的自变量的取值，二、二元函数的极限.其取值范围从而确定函数的定义域，范围就是函数的定义域，24(,)(0,0)tanlim.x yxyx求极限,0,0,0,
13、0,0,0.tanlimlimlim0 x yx yx yxyxyyxxtan xyx本题也可以用夹逼定理来求解但要注意不能将 转化成，二、二元函数的极限 2例 解sin,(,)0cosxyyx y xxyxy 因为前者的定义域为 而后者的定，(,)00(0)x y xyya a义域为且 如果条件变为 这时，便可利用重要极限求解.2503本讲内容01多元函数的概念二元函数的极限02二元函数的连续性000(,)(,)zf x yP xy 设二元函数 在点 的某邻域内有定义如果，三、二元函数的连续性定义 9.40000(,)(,)lim(,)(,)x yxyf x yf xy000000(,)(,
14、)(,)(,)zf x yP xyP xyf x y则称函数 在点 处 称为 的，连续000000(,)(,)(,()f x yP xyP xy；否则称 在 处处不连续 连续点 间断，(,)f x y称为 的间断点27000,9()(,.4)zf x yP xy 从定义 看出二元函数 在点 处连续必须，0001(,)P xy函数在点 有定义；只要三条中有一条不满足函数在处就不连续，000(,)2P xy函数在 处的极限存在；000000.3(,)(,)P xyP xy函数在 处的极限与 处的函数值相等222222,0,.(,)(0,0)0,0,xyxyxyf x yxy在如点函数处间断，三、二
15、元函数的连续性满足三个条件：2810zxyxy再如，函数 在直线 上每一点处间断(,)(,)Df x yf x yD 如果 在平面区域 内每一点处都连续则称 在区域，一元函数中关于极限的运算法则对于多元函数仍适用故二元连续，二元初等函数在其定义域的区域内处处连续三、二元函数的连续性 函数经过四则运算后仍为二元连续函数商的情形要求分母不为零；（）二元连续函数的复合函数也是连续函数(,)xDDfy内连续也称 是 内的在区域 上连续函数的图形是，连续函数一张既没有 洞 也没有 裂缝 的曲面“”“”29222222,0,(,)(,)(0,0)0,0,xyxyf x yf x yxyxy设试判断在点，2
16、2,0,00lim0 x yxyxxxy由于 且，三、二元函数的连续性 2例 解.处的连续性22,0,0lim00,0 x yxyfxy所以 ，,(0,0).f x y故 在点处连续30 与闭区间上一元连续函数的性质相类似有界闭区域上的连续函数，DD若在有界闭区域 上连续则在 上必取得最大，（最值定理）(,)Df x yD若在有界闭区域上连续则在上有界 ，DmMD若在有界闭区域上连续和分别是在上（介值定理），以上关于二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数三、二元函数的连续性性质 9.1推论性质 9.2有如下性质的性质可类推到三元及三元以上的函数中去，值与最小值 mMc的最小值与最大值则对于介于与之间的任意一个数，0000.(,(,),)xyDf xyc必存在一点使得31学海无涯，祝你成功！高等数学（下册）
