1、第四章第四章 导数的应用导数的应用4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点4.4 洛比达法则洛比达法则4.5 应用与实践应用与实践4.6 拓展与提高拓展与提高一一 知识结构知识结构第四章第四章 导数的应用导数的应用二二 教学基本要求和重点、难点教学基本要求和重点、难点1.教学基本要求教学基本要求（1）拉格朗日中值定理；（2）利用洛必达法则求函数极限的方法；（3）极值的概念，极值存在的必要条件；（4）判别函数单调性，判别极值的方法；第四章第四章 导数的应用导数的应用（5）曲线凹凸性判别方法
2、与拐点的求法；（6）求函数最大值最小值的方法；（7）求函数渐近线，描绘简单函数图形；（8）边际与弹性概念，边际分析、弹性分 析与优化分析。第四章第四章 导数的应用导数的应用 （1）重点重点 用导数判断函数单调性，函数图形的凹向与拐点，经济函数的优化分析。（2）难点难点 用导数判断函数单调性，描绘函数图形及在经济方面的应用。2.教学重点与难点教学重点与难点第四章第四章 导数的应用导数的应用4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性()()tanf bf abaabafbff)()()(第四章第四章 导数的应用导数的应用4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定
3、理与函数的单调性4.1.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理定理定理4.1设函数设函数f(x)满足条件满足条件(1)在闭区间在闭区间 a,b 上连续；上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可导。内可导。则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得()()()f bf afabba，()()()()f bf afbaab，4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性 例例1 验证函数验证函数f(x)=ln(x+1)在在 0,1 上是否满上是否满足拉格朗日中值定理的三个条件，如满足求出足拉格朗日中值定理的三个条件，如满足求出 。解：解：f(x)=ln(x
4、+1)在0,1上连续，在(0,1)内可导，满足拉格朗日中值定理，从而存在一点 ，使)01)()0()1(fff)01)(1ln2lnf12ln14.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性4.1.2 函数的单调性函数的单调性4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性1函数单调性的必要条件函数单调性的必要条件 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导内可导.如果如果f(x)在在a,b单调增加单调增加(减少减少)，则在则在(a,b)内内 。()0()0fxfx（）4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调
5、性拉格朗日中值定理与函数的单调性2函数单调性判定法函数单调性判定法定理定理4.2 设函数设函数f(x)在区间在区间(a,b)内可导，内可导，(1)如果在区间如果在区间(a,b)内有内有 ，则，则f(x)在在 (a,b)内单调增加。内单调增加。(2)如果在区间如果在区间(a,b)内有内有 ，则，则f(x)在在 (a,b)内单调减少内单调减少0)(xf0)(xf4.1 拉格朗日中值定理与函数的单调性拉格朗日中值定理与函数的单调性例例2 讨论函数讨论函数f(x)=ln x-x的单调性。的单调性。解：解：此函数的定义域为 。),0(xxxxf111)(0)(xf11x函数的定义域分成两个区间：(0,1
6、)(1,)，当0 x1时，故f(x)在(0,1)内单调增加；0)(xf当 时，故f(x)在 内单调减少。x10)(xf),1(4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值4.2.1 函数的极值函数的极值：1.极值的定义极值的定义 定义定义4.1 设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若对该邻域内任一点x(xx0)，都有f(x)f(x0)），则称f(x0)为函数的极大值极大值（或极小值极小值），x0为函数的极大值点极大值点（极小值点极小值点）。第四章第四章 导数的应用导数的应用4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点极值点。4.2 函数的极
7、值与最值函数的极值与最值 定理定理4.3 极值的必要条件极值的必要条件若函数若函数f(x)在在x0处取得极值，且导数存在，则必有处取得极值，且导数存在，则必有0)(0 xf定理定理4.3的逆定理不成立的逆定理不成立 4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值2.极值判别法极值判别法 判别法判别法1 设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，若 或在点x0处导数不存在但在x0处连续。0)(0 xf(1)当x逐渐增大的通过点x0时，若导数值由正变负，则函数f(x)在点x0处取极大值f(x0)；若导数值由负变正，则函数f(x)在点x0处取极小值f(x0)。(2)当x逐渐增大的通过点x0时，若导数值不变号，
8、则x0不是函数f(x)的极值点。4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值求函数极值的一般解题步骤为：(1)求出导数；(2)求出函数的可疑极值点；(3)用极值判别法1判定以上的点是否为极值点；(4)求出极值点处的函数值，即为极值。4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值例例3 求函数的单调区间和极值。593)(23xxxxf解：解：函数f(x)的定义域为,133963)(2xxxxxf0)(xf得到驻点 31x12x-14.2 函数的极值与最值函数的极值与最值判别法判别法 2：若：若 ，存在，存在，0)(0 xf)(0 xf (1)若 ，则f(x0)为极小值。0)(0 xf(2)若 ，则f(x0
9、)为极大值。0)(0 xf4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值例例4 求函数 的极值。xxxfln)(2解：解：此函数的定义域为),0()1ln2(ln21ln2)(2xxxxxxxxxxf121()0efxx3ln2)(xxf02)(1 xf因此函数f(x)在x1处取得极小值 11()2ef x 4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值4.2.2 函数的最值函数的最值 定义定义4.2 设函数f(x)在闭区间I上连续，若x0I，且对所有xI，都有f(x0)f(x)(或f(x)f(x)，则称f(x0)为函数f(x)的最大值最大值（或最小值最小值）。4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值 实
10、际问题求解最值的一般解题步骤为：(1)分析问题，建立目标函数分析问题，建立目标函数 把问题的目标作为因变量，把它所依赖的量作为自变量，建立二者的函数关系，即目标函数，并确定函数的定义域。(2)解解极值问题极值问题 确定自变量的取值，使目标函数达到最大值或最小值。例例5 堆料场的材料使用问题堆料场的材料使用问题 欲围建一个面积为288平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三面墙壁新建，现有一批高为若干、总长度为50米的用于围建围墙的建筑材料，问这批建筑材料是否够用？4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值解解：设场地的宽为x，为使场地面积为288 平方米，则场地的长应为 288/x若以
11、 l 表示新建墙壁总长度，则目标函数为 xxxl2882)(),0(x（1）求导数：22882)(xxl 4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值（2）求驻点和不可导点：令02882)(2xxl得驻点为x=12（3）求二阶导数：325762882)(xxxl0576)12(123xxl所以，x=12是极小值点。即当宽12米，长为24米时，用料最少。4.2 函数的极值与最值函数的极值与最值4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点4.3.1 曲线的凹凸及其判别法曲线的凹凸及其判别法 定义定义4.3 若曲线弧位于其每一点切线的上(下)方，则称曲线弧是凹凹(凸凸)的。第四章第四章 导数的应用导数的应用
12、4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 如果曲线是凹的，那么其切线的倾斜角随如果曲线是凹的，那么其切线的倾斜角随x的增大而增大。的增大而增大。4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 如果曲线是凸的，那么其切线的倾斜角随如果曲线是凸的，那么其切线的倾斜角随x的增大而减少。的增大而减少。4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点曲线凹凸的判定法曲线凹凸的判定法 设f(x)在(a,b)内具有二阶导数(1)如果在(a,b)内有 ，则曲线在(a,b)内是凹的；0)(xf(2)如果在(a,b)内有 ，则曲线在(a,b)内是凸的。0)(xf4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点4.3.2 曲线的拐点曲线
13、的拐点 一般地连续曲线凹凸两段弧的分界点称为曲线的拐点拐点。求连续曲线的拐点步骤如下：(1)求出函数f(x)的 或 不存在的点。(2)在求出点的左、右两边，若 异号，则该点就是拐点，否则，就不是拐点。0)(xf)(xf )(xf 4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点例例6 求曲线的凹向区间与拐点。1arctan234xxy解：解：2364xxy)1(1212122xxxxy1201xx，41arctan0 xy141arctan211xy拐点为 和)4,0()14,1(4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点4.3.3 曲线的渐近线曲线的渐近线 若曲线y=f(x)上的动点P沿着曲线无限地远
14、离原点时，点P与某直线L的距离趋于零，则L称为该曲线的渐近线渐近线。渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点1.垂直渐近线垂直渐近线 若 ，则c是f(x)的垂直渐近线垂直渐近线。)(limxfcx()lnsinf xx4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点2.水平渐近线水平渐近线 bxfx)(lim，则y=b是f(x)的水平渐近线水平渐近线。()1xf xxx=-1为垂直渐近线为垂直渐近线 y=1为水平渐近线为水平渐近线 4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点4.3.4 作函数图形的一般步骤作函数图形的一般步骤1确定函数的定义域、间断点；2
15、确定函数的特性，如奇偶性、周期性等；3求出函数的一二阶导数，确定极值点、拐点；4确定曲线的渐近线；5计算一些特殊点的坐标；6间断点、极值点与拐点把定义域分为若干区间，列表说明这些区间上函数的增减性与凹凸性；7作图。4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点例例6 作出函数 的图形。xxy3解解:函数的定义域为 ，非奇非偶函数，没有渐近线；3,(xxxxxy32363230 y2x又x=3时一阶导数不存在 0)3(443322323)3236(23 xxxxxxxxy4.3 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点4.4 洛比达法则洛比达法则1.型未定式型未定式 00法则法则1 设函数f(x)和g(x)满
16、足条件：第四章第四章 导数的应用导数的应用(2)在点a的某个空心邻域内，存在，且 ；)(xf()g x0)(xg0)(lim)(limxgxfaxax(1)()(limxgxfax(3)存在（或为 ）)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax4.4 洛比达法则洛比达法则例例 7 22322000tansec11tan1limlimlim333xxxxxxxxxx2222222222tansec()sec11limlimlim444422tansec()secxxxxxxxxxxx2.型未定式型未定式 法则法则2 设函数f(x)和g(x)满足条件：(2)在点a的某个空心邻域内，存在，且
17、 ；)(xf()g x0)(xglim()lim()xaxaf xg x(1)()(limxgxfax(3)存在（或为 ）)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax4.4 洛比达法则洛比达法则4.4 洛比达法则洛比达法则例例 8 200001lnsinlimlimlimlim sin0cotcscxxxxxxxxxxx 22356561limlimlim621122122xxxxxxxxx4.5 应用与实践应用与实践第四章第四章 导数的应用导数的应用4.4.1 应用应用1边际分析边际分析 00limlimxxC xxC xCMCCxxx 边际成本边际成本)(xRdxdRMR边际收入边
18、际收入边际利润边际利润)(xLdxdLML4.5 应用与实践应用与实践 例例 9 某糕点厂生产某种糕点的收入函数为 (千元)，成本函数为 (千元)，x的单位是百公斤问应生产多少公斤糕点才不赔钱？()R xx3()1xC xx解：解：利润函数 3()()()1xL xR xC xx4.5 应用与实践应用与实践当x=9（百公斤）时，L(x)=0，不赔钱。当x9（百公斤）时，L(x)9（百公斤）时，L(x)0，赚钱。边际利润 ，表明多生产可以提高总利润。22()0(1)MLL xxx 当边际利润大于零时，仅表明总利润在递当边际利润大于零时，仅表明总利润在递增，并不表明赚钱。增，并不表明赚钱。4.5
19、应用与实践应用与实践 例例10 若某产品每天生产x单位时，总成本函数 （元），销售单价为25元。设产品能全部售出，问每天生产多少单位时，才能获得最大利润。2C()0.2510 xxx解：解：总收益函数 xpx25R(x)总利润函数 2()()()15-0.25L xR xC xxx4.5 应用与实践应用与实践()150.50L xx30 x 由于L(x)是单峰曲线，x=30就是L(x)的最大值点，最大值为L(30)=225（元）。所以产量为30单位时，能获得最大利润225元。为获得最大利润，应将产量调整到边际收益为获得最大利润，应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平。等于边际成本的水平。4.
20、5 应用与实践应用与实践 例例11 设每月产量为x吨时，总成本函数 （元）。求(1)最低平均成本；(2)相应产量的边际成本。21()849004C xxx解：解：(1)平均成本函数为()1490084C xACxxx 4.5 应用与实践应用与实践2490041xCA0CA140 x此时 ，所以AC最小，最小值为78（元）。0 CA(2)边际成本函数为 ，当产量为140吨时，边际成本为78(元）。1()82MCC xx最低平均成本与相应产量的边际成本相等。最低平均成本与相应产量的边际成本相等。4.5 应用与实践应用与实践2弹性分析弹性分析 用需求弹性需求弹性去分析总收益（或市场销售总额）的变化。
21、总收益R是商品价格p与销售量Q的乘积，即R=pQ，则(1)(1)ppRQp QQQQQ4.5 应用与实践应用与实践 例例12 设某商品的需求函数为Q=2-0.1p(Q是需求量，p是价格），(1)求需求弹性；(2)讨论需求弹性的变化对总收益的影响。解：解：(1)需求弹性为0.120.120pppQQpp 4.5 应用与实践应用与实践(2)令 ，得p=10。1p 当0p10时，（低弹性），此时应采用提高价格的手段使总收益增加；1p 当10pvalue 在指定区间上按选项定义值同时画出多个函数在直角坐标系中的图形，其格式如下：Plotf1，f2，f3，x，xmin，xmax，option-value
22、 4.5 应用与实践应用与实践例例13 描绘 函数的图像。29623xxxy解：解：In1:_:=36 292f xxxxIn2:Plot ,0.1,3.8f xxOut2Graphics Out2Graphics 4.6 拓展与提高拓展与提高第四章第四章 导数的应用导数的应用1.用函数单调性的判定法证明不等式用函数单调性的判定法证明不等式例例14 试证：当x0时，有 xln(1+x)。4.6 拓展与提高拓展与提高2.利用极值判别法利用极值判别法1和极值判别法和极值判别法2在判别极值在判别极值为极大值还是极小值时，应注意以下原则：为极大值还是极小值时，应注意以下原则：(1)若较若较 简单，则极
23、值判别法简单，则极值判别法2更方便些；更方便些；反之，则应选用极值判别法反之，则应选用极值判别法1。)(xf (2)若若 ，则极值判别法，则极值判别法2失效，须用极失效，须用极值判别法值判别法1判别。判别。0)(0 xf4.6 拓展与提高拓展与提高例例15 求函数 的极值。322)2()(xxxf解：解：此函数的定义域为),(3231223)1(4)22()2(32)(xxxxxxxf 函数在x=1处导数等于零，在x=0，x=2处导数不存在。列表如下：4.6 拓展与提高拓展与提高3.斜渐近线斜渐近线 ，则y=ax+b是f(x)的斜渐近线斜渐近线。lim()()0 xf xaxb 求函数的斜渐近
24、线，就是要确定参数a，b的值.可以推出：xxfax)(limlim()xbf xax4.6 拓展与提高拓展与提高例例16 求函数 的渐近线。xxxf21)(解：解：xxx201limx=0为曲线的垂直渐近线。22()1limlim1xxf xxaxx211lim()limlim0 xxxxbf xaxxxxy=x为曲线的斜渐近线。4.6 拓展与提高拓展与提高4.其他常见未定式其他常见未定式00001均可以通过转化用洛比达法则计算。均可以通过转化用洛比达法则计算。4.6 拓展与提高拓展与提高例例17000021lnlimlnlimlimlim011xxxxxxxxxxx ln000limlim
25、ee1xxxxxx4.6 拓展与提高拓展与提高5.利用洛比达法则求极限时的两点说明利用洛比达法则求极限时的两点说明 (1)应用洛比达法则后，若算式较繁须进行应用洛比达法则后，若算式较繁须进行化简，若算式中有非未定式，应将其分离出来。化简，若算式中有非未定式，应将其分离出来。此外用洛比达法则求极限时，要注意结合运用此外用洛比达法则求极限时，要注意结合运用以前学过的方法。以前学过的方法。例例1822030303111limarcsinlimtanarcsinlimxxxxxxxxxxx61311lim11lim22020 xxxxx4.6 拓展与提高拓展与提高(2)若若 不存在或不可求不存在或不可求,不能因此得出极不能因此得出极限不存在的结论。出现这种情况，说明洛比达法限不存在的结论。出现这种情况，说明洛比达法则失效，这时需改用其它方法求极限。则失效，这时需改用其它方法求极限。)()(limxgxf例例191222211limlimlim(1)1xxxxxxx xx1222(1)limlim11xxx xxx1111lim1lim22xxxxx
