1、1第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 7.1 空间解析几何的基本知识空间解析几何的基本知识7.2 二元函数的概念二元函数的概念7.3 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续7.4 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分7.5 二元复合函数的求导法则二元复合函数的求导法则7.6 二元函数的极值二元函数的极值7.7 最小二乘法最小二乘法2x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点O空间直角坐标系空间直角坐标系,三条坐标轴的三条坐标轴的点点O叫做坐标原点叫做坐标原点正方向符合正方向符合右手规则：右手规则：即以右手握住即以右手握住 z 轴轴,当右手的四个手指当右手的四个手指 从正向从
2、正向x轴以轴以 2 角度角度转向正向转向正向y 轴时轴时,大大拇指的指向就是拇指的指向就是z轴轴的正向的正向.1.1.空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz称称坐标系坐标系7.1 空间解析几何的基本知识空间解析几何的基本知识3xyzO空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限面面xOy面面yOz面面zOx4过此点向三条坐标轴分别作过此点向三条坐标轴分别作设空间中任意点设空间中任意点,M垂直的平面，垂直的平面，,zyx交于坐标轴上的点分别记为交于坐标轴上的点分别记为,P,Q,ROxyzR)(zQ)(yP)(x M设设,P,QR在各自所在坐标轴上的坐标分别为在各自所在坐标轴上的坐标分别为的
3、的坐坐标标记记为为则则点点M),(zyxM横坐标横坐标纵坐标纵坐标竖坐标竖坐标),(zyx空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 115特殊点的表示特殊点的表示:)0,0,0(O坐标轴上的点：坐标轴上的点：,P,Q,R坐标面上的点：坐标面上的点：,A,B,COxyzB),0(zyR),0,0(zA)0,(yxQ)0,0(yP)0,0,(x),(zyxM注意：注意：坐标面和坐标轴上的点的特征坐标面和坐标轴上的点的特征6 P?21 MMd 21PM、设设),(1111zyxM),(2222zyxM为空间两点为空间两点.2PN22NM 2d在直角三角形在直角三角形21NMM 和和PNM1 中中
4、,用用勾股定理勾股定理,121xxPM ,12yyPN 122zzNM 2.空间两点间点的距离空间两点间点的距离22221NMPNPMd xyzO2M 1M RQ N d7若两点分别为若两点分别为,),(zyxM)0,0,0(OOMd 222zyx 特殊地特殊地 21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式空间两点间距离公式与平面直角坐标系中两点间空间两点间距离公式与平面直角坐标系中两点间是平面两点间距离公式是平面两点间距离公式距离公式有类似距离公式有类似的表达形式，的表达形式，的推广的推广.8解解 设设P点坐标为点坐标为)0,0,(x 1PP2223)2(x1
5、12 x 2PP2221)1(x22 x 1PP22PP112 x222 x1 x所求点为所求点为),0,0,1()0,0,1(例例)3,2,0(,1PxP它到点它到点轴上轴上在在设设的距离为到的距离为到)1,1,0(2 P点点的距离的两倍的距离的两倍,求点求点P的坐标的坐标.9解解 设满足条件的点为设满足条件的点为),(zyxM 1MM222)1()1()1(zyx 2MM222)1()1()2(zyx 1MM2MM03442 zyx易得易得例例 求到两定点求到两定点)1,1,2()1,1,1(21 MM与与的点的轨迹方程的点的轨迹方程.距离相等距离相等此即为所求点的轨迹方程此即为所求点的轨
6、迹方程.平面方程平面方程三元一次方程三元一次方程100 DCzByAx 平面的一般方程平面的一般方程 任意一个形如上式任意一个形如上式的的x、y、z的三元一次的三元一次方程都是平面方程方程都是平面方程.x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程11解解RMM|0 202020)()()(zzyyxx2202020)()()(Rzzyyxx 所求方程为所求方程为.),(0000的的点点的的轨轨迹迹方方程程距距离离为为求求与与点点RzyxM.球球面面方方程程例例),(zyxM设设是所求轨迹上任一点是所求轨迹上任一点,R12曲面在空间解析几
7、何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.曲面方程的定义曲面方程的定义(1)曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程;(2)不不在曲面在曲面S上的点的坐标都上的点的坐标都不不满足方程满足方程;如果曲面如果曲面S0),(zyxF有下述关系有下述关系:那么那么,0),(zyxF方程方程就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S就叫做方程的图形就叫做方程的图形.与三元方程与三元方程xyzOS3.曲面与方程曲面与方程0),(zyxF13定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线这条定曲线C 称为柱面的称为柱面的动直线动直线L称为
8、柱面的称为柱面的准线准线,母线母线.所形成的曲面称为所形成的曲面称为移动的直线移动的直线L 柱面柱面.LC准线准线母线母线4.几种特殊的几种特殊的曲面曲面1 1）柱面）柱面 14 例例 讨论方程讨论方程 的图形的图形.222Ryx 在在xOy面面上上,222Ryx 解解现在现在空间直角坐标系空间直角坐标系中讨论问题中讨论问题.表一个表一个圆圆C.过过作平行作平行z轴的直线轴的直线L,)0,(1yxM设点设点 在圆在圆C上上,对对L上任意上任意点点的坐标也满足方程的坐标也满足方程沿曲线沿曲线C,平行于平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标的坐标都满足此方程都满
9、足此方程,在在空间空间,222Ryx 就是就是圆柱面方程圆柱面方程.此曲面称为此曲面称为圆柱面圆柱面.),(zyxMxyzOC 1M M )0,(1yxM,222Ryx 该方程的图形是以该方程的图形是以xOy面上圆为准线面上圆为准线,母线平行于母线平行于z轴的轴的柱面柱面.L截痕法截痕法:用平行于用平行于xOy的平面去截此平面，截痕为的平面去截此平面，截痕为圆！圆！15 例例 讨论方程讨论方程 的图形的图形.222Ryx 在在xOy面面上上,222Ryx 解解表一个表一个圆圆C.在在空间空间,222Ryx 就是就是圆柱面方程圆柱面方程.xyzO 1M M 该方程的图形是以该方程的图形是以xOy
10、面上圆为准线面上圆为准线,母线平行于母线平行于z轴的轴的柱面柱面.L截痕法截痕法:用平行于用平行于xOy的平面去截此平面，截痕为的平面去截此平面，截痕为 圆！圆！1622224xyz222242.xy截痕法截痕法去截一个曲面，去截一个曲面，用平面用平面这个平面叫这个平面叫截平面截平面，所得曲线叫所得曲线叫截曲线截曲线.xOy即即坐标面，坐标面，截痕只有一个点截痕只有一个点.截痕法是研究空间曲面的一种常用方法截痕法是研究空间曲面的一种常用方法.从几何背景上看，从几何背景上看，cz 截痕为该平面上的一条曲线，截痕为该平面上的一条曲线，分析不同截平面所得的截曲线分析不同截平面所得的截曲线可知曲面的性
11、状可知曲面的性状.例例用截痕法研究曲面用截痕法研究曲面截平面为截平面为截曲线为大圆；截曲线为大圆；截平面为截平面为截曲线为圆截曲线为圆,2 z截平面为截平面为,44 zz或或,0 z17其大小随平面位置的其大小随平面位置的变化而变化变化而变化.与各坐标面平行的截平面与各坐标面平行的截平面椭圆椭圆.所得的所得的截痕均为截痕均为zxyO2）二次曲面）二次曲面1222222 czbyax)0,0,0(cbaxyzO椭球面椭球面18单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax特点是特点是:平方项有一个取负号平方项有一个取负号,另两个取正号另两个取正号.OxyzxyzO椭圆椭圆双曲线双曲线19122
12、2222 czbyax1222222 czbyax 或或 特点是特点是:平方项有一个取平方项有一个取正号正号,另两个取负号另两个取负号.它分成上、下两个曲面它分成上、下两个曲面.注注xyzO双叶双曲面双叶双曲面椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线20zxyoxyzozbyax 2222zbyax 2222椭圆抛物面椭圆抛物面椭圆椭圆抛物线抛物线21zbyax 2222截痕截痕双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）xyzo双曲线双曲线抛物线抛物线221.二元函数的概念二元函数的概念例例 理想气体的状态方程是理想气体的状态方程是 VTRp 称称 p为两个变量为两个变量T,V 的函数的函数,其中其中
13、如温度如温度T、体积、体积V都在变化都在变化,则压强则压强 p依赖依赖(R为常数为常数)RTpV 其中其中p为压强为压强,V为体积为体积,T为温度为温度.于于T,V 的关系是的关系是,0 T.0 V7.2 二元函数的概念二元函数的概念23的每一对值，的每一对值，自变量自变量x,y 所有取值的集合称为该函数的所有取值的集合称为该函数的),(yxfz 则称则称z是是x,y的的定义定义7.17.1 若变量若变量z与与变量变量x,y之间有一个依赖关系之间有一个依赖关系,如果对如果对 x,y对应对应,记为记为称称x,y为为因变量因变量z对应取值的集合称为该函数的对应取值的集合称为该函数的二元函数二元函数
14、.称称z为为 自变量自变量,因变量因变量,定义域定义域,值域值域.都有唯一一个都有唯一一个z值与之值与之 f为为对应关系对应关系24邻域邻域 设设P0(x0,y0)是是 xOy 平面上的一个点平面上的一个点,几何表示：几何表示：Oxy.P0)()(),(),(20200 yyxxyxPU,0邻域邻域的的点点 P令令,0 ).(0PU有时简记为有时简记为称之为称之为将邻域去掉中心将邻域去掉中心,注注称之为称之为去心邻域去心邻域.),(0 PU 二元函数的定义域：二元函数的定义域：25曲线称为边界线，曲线称为边界线，区域区域不包含边界线的区域称为不包含边界线的区域称为开区域开区域.整个整个xOy平
15、面或平面或xOy平面上一条或几条曲线围成的平面上一条或几条曲线围成的一部分平面，一部分平面，称为一个称为一个平面区域平面区域，围成这个区域的围成这个区域的包含包含边界线的区域称为边界线的区域称为闭区域闭区域，OxyOxy有界开区域有界开区域有界闭区域有界闭区域26例例 把下面图中的阴影所示的区域表示出来把下面图中的阴影所示的区域表示出来.oR-RyxOxy0 yx0),(yxyxD0 yx),(222RyxyxD 222Ryx 有界闭区域有界闭区域无界开区域无界开区域27例例 求下面函数的定义域求下面函数的定义域解解Oxy无界闭区域无界闭区域xyz .1和和 00yx 00yx即定义域为即定义
16、域为,0 xy28 1解解Oxy12.22222 yxyxxz1)1(22 yx定义域是定义域是122 yx且且有界半开半闭区域有界半开半闭区域292.二元函数的表示法：二元函数的表示法：),(yxfz DM xyP通常为曲面通常为曲面图像法、表格法、解析式法图像法、表格法、解析式法二元函数的图像二元函数的图像xyzO30(,)sinf x yxy2222zxy-101-101-1-0.500.51-101-2-1012-2-1012-505-2-1012例例 用数学软件Mathematica作出的二元函数和的图像.(,)sinf x yxy2222zxy Plot3D Sin x y,x,1
17、,1,y,1,1Plot3D2x22y2,x,2,2,y,2,231设二元函数设二元函数 的的常数常数A，),(yxfz 7.3 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续定义定义1 1在点在点 ),(00yx的空心的空心 邻域内有定义，邻域内有定义，如果点如果点 ),(yx以以任何方式任何方式趋于趋于),(00yx时，时，),(yxf对应的函数值对应的函数值 都趋于一个确定都趋于一个确定 记作记作 Ayxfyxyx),(lim),(),(00),(yxfzA 为为则则称称的极限的极限.时时当当),(),(00yxyx(x,y)趋向于趋向于(x0,y0)的的路径也是多种多样的路径也是多种多样的.
18、注注方向有任意多个方向有任意多个,),(lim00yxfyyxx32 相同点相同点 二元函数的极限与一元函数的极限的二元函数的极限与一元函数的极限的一元函数一元函数在某点的极限存在的充要在某点的极限存在的充要定义相同定义相同.差异为差异为必需是点必需是点P在定义域内以在定义域内以任何方式和途径任何方式和途径趋趋而而二元函数二元函数于于P0时时,相同点相同点和和差异差异是什么是什么条件是条件是左右极限都左右极限都存在且相等存在且相等;函数都有极限函数都有极限,且相等且相等.33设函数设函数讨论讨论当当P(x,y)沿沿x轴轴的方向的方向当当P(x,y)沿沿y轴轴的方向的方向)0,(lim0 xfx
19、),0(lim0yfy也有也有 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf解：解：22000lim xxx00lim0 x22000limyyy 00lim0 y函数的极限是否存在函数的极限是否存在.,00）点点处处，在在（无限接近点无限接近点(0,0)时时,同样同样,无限接近点无限接近点(0,0)时时,例例34函数的极限存在且相等函数的极限存在且相等.当当P(x,y)沿直线沿直线 y=kx 的方向的方向2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化的不同而变化.所以所以,极限不存在极限不存在说明函数取上面两个说明函数取上面两个无限
20、接近无限接近于点于点(0,0)时时,事实上事实上,无限接近点无限接近点(0,0)时时,特殊方向特殊方向能否做结论能否做结论极限存在极限存在35 设二元函数设二元函数 则称函数则称函数定义定义2 2),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 如果如果连续连续.),(),(000yxPyxf在点在点如果函数如果函数 f(x,y)在开区域在开区域(闭区域闭区域)D内的内的每一点连续每一点连续,则称函数则称函数在在D内连续内连续,),(yxf或称函数或称函数),(yxf是是 D内的连续函数内的连续函数.),(yxfz 二元函数的连续性二元函数的连续性36称为多元初等函数称为多元初等函数
21、,积、商（分母不为零）及复合仍是连续的积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样同一元函数一样,二元连续函数的和、差、二元连续函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算和有限次复合,由一个式子表达的函数由一个式子表达的函数连续的连续的.在其定义区域内亦是在其定义区域内亦是3722(,)xyf x yxy(,)(1,3)lim(,)x yf x y(,)(0,0)x y(,)(1,3)lim(,)(1,3)0.3x yf x yf 讨论二元函数讨论二元函数是否连续，并求是否连续，并求这个函数是二元初等函数，这个函数是二元初
22、等函数，的区域的区域有定义，有定义，.因此连续因此连续.例例解：解：在在所以所以38有界闭区域有界闭区域上上连续连续的二元函数的性质的二元函数的性质一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值介于这两个值之间的任何值介于这两个值之间的任何值(1)最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2)介值定理介值定理在在有界闭区域有界闭区域D上的上的二元连续函数二元连续函数,在在D上上在在有界闭区域有界闭区域D上的上的二元连续函数二元连续函数,如果如果在在D上取得两个不同的函数值上取得两个不同的函数值,则它可以在则它可以在D上取得上取得二元函数的极限、连续的定义及相关性质都二元函数的极限、连续的定义及相关性质都
23、可以推广到多元函数上去可以推广到多元函数上去.注注391、偏导数偏导数定义定义),(yxfz 设函数设函数,0yy固定为固定为将将),(00yxfx处处在在点点),(),(00yxyxfz 的的某某邻邻域域在在点点),(00yx有定义，有定义，,),(0的的一一元元函函数数是是这这时时xyxfz 若此函数若此函数则称这个导数为函数则称这个导数为函数xyxfyxxfx ),(),(lim00000记为记为对对x的偏导数的偏导数,7.4 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分,0的导数存在的导数存在在在x,00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz 或或).,(00yxfx
24、即即40同理同理,可定义函数可定义函数处处在在点点),(),(00yxyxfz 即即),(00yxfyyyxfyyxfy ),(),(lim00000记为记为,00yyxxyz ,00yyxxyf ,00yyxxyz 或或).,(00yxfy对对y的偏导数的偏导数,)(0 xx固固定定为为将将41那么这个偏导数那么这个偏导数仍是仍是yx、的二元函数的二元函数,它就称为函数它就称为函数如果函数如果函数对自变量对自变量x的偏导函数的偏导函数(简称偏导数简称偏导数),记作记作,xz ,xf xz或或).,(yxfx同理同理,可定义函数可定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的的偏导函数偏导函数,
25、记作记作,yz ,yf yz或或).,(yxfy在区域在区域D内任一点内任一点(x,y)处对处对x的偏导数都存在的偏导数都存在,),(yxfz ),(yxfz 42偏导数的概念可以偏导数的概念可以推广到二元以上函数推广到二元以上函数.求多元函数的偏导数求多元函数的偏导数利用一元函数利用一元函数),(yxfx如如求求只需将只需将y的的求导法对求导法对x求导即可求导即可.看作常量看作常量,并不需要新的方法并不需要新的方法,43例例 求求 的偏导数的偏导数.)0(xxzy解解,1 yyxxzxxyzyln 例例 求求 在点在点(1,0)处的两个偏导数处的两个偏导数.yyxzsin2 解解,2xyxz
26、 ,cos2yxyz ,0)0,1(xz.2)0,1(yz44 证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV.1 pVRT 1:pTTVVp求求证证,为为常常数数为为温温度度为为体体积积为为压压强强RTVp 例例其中其中程程已知理想气体的状态方已知理想气体的状态方,RTpV 452 2、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义),(yxfz 设二元函数设二元函数),(,(00000yxfyxM设曲面上点设曲面上点在点在点),(000yxM有有如图如图,偏导数偏导数.0M),(yxfz yxzO过点过点0M作作平面平面,0yy 此平面此平面与曲
27、面相交得一曲线与曲面相交得一曲线,曲线的曲线的方程为方程为 ),(yxfz .0yy ),(0yxfz 由于由于),(00yxfx为一元函数的导数，为一元函数的导数，),(0yxf ,0 xx 0 x0y易知易知:460 xyTxT0y),(yxfz yxzO),(0yxfz 0M偏导数偏导数),(00yxfx在几何上表示在几何上表示曲线曲线处处在点在点0M的切线对的切线对x轴轴的斜率的斜率.),(yxfz 0yy ),(0yxfz 二元函数),(yxfz 00(,)xfxy00(,)yfxy偏导数是在曲面上点处，彼此正交（沿X轴和Y轴方向）的两个切痕上，两条00(,)xy切线的斜率.同理知同
28、理知 的几何意义的几何意义.),(00yxfy简单地说，简单地说，47 ).0,0(),(0),0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当当当解解例例.00）的的两两个个偏偏导导数数存存在在，在在点点（按按定义定义得得证明函数证明函数)0,0(xf00lim0 xx)0,0(yf00lim0 yy xfxfx)0,0()0,0(lim0 yfyfy)0,0()0,0(lim0二元函数在一点的两个偏导数存在，不能保证函数在该点二元函数在一点的两个偏导数存在，不能保证函数在该点连续连续.48偏微分偏微分.处处的的在在点点),(yx是函数是函数3、全微分、全微分设函数设函数的两个偏导数都是连
29、续的的两个偏导数都是连续的,dxxz 称称dyyz 是函数关于是函数关于的的yx,称称yyzxxzdd 全微分全微分.记作记作,ddfz或或即即全微分的意义全微分的意义与一元函数的微分相近，与一元函数的微分相近，.dddyyzxxzz 它是函数增量它是函数增量),(),(yxfyyxxfz 的近似值，的近似值，)()(22yxodzz ),(yxfz 49解解,2xyyexxz ,xyxeyz yyzxxzzyxyxddd2121 例例 计算函数计算函数xyexz 2在点在点)2,1(的全微分的全微分.所以所以.d)d1(222yexe 如果函数在某点的全微分存在如果函数在某点的全微分存在,则
30、称在这点则称在这点 可微可微.可微可微由定义知，由定义知，偏导数连续偏导数连续50 xz),(yxfyy),(yxfxy),(yxfyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义x 22xz ),(yxfxx 22yz yzy yxz 2 xzy xyz 2 yzx 4、高阶偏导数、高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为51例例xyyxz 23求求的四个二阶偏导数的四个二阶偏导数.解解 xz,322yyx,23xyx 22xz,62xy 22yz,23x xyz2.162 yx yxz2;162
31、yx yz52多元函数的高阶混合偏导数如果连多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地一般地,续就与续就与求导次序无关求导次序无关.如果函数如果函数的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏),(yxfyx与与),(yxfxy在区域在区域D内内定理定理连续，连续，那么在那么在导数导数该区域内该区域内两个混合二阶偏导数两个混合二阶偏导数与求导变量的次序有关与求导变量的次序有关.).,(yxfyx),(yxfxy相等与否的判断有下述的定理相等与否的判断有下述的定理:),(yxfz 53 22lnyxz,22yxxxz .02222 yzxz例例 验证函数验证函数满足满足方程方程:22lnyxz 证证 因因 222
32、2222)(2)(yxxxyxxz,)(22222yxxy 由由x,y在函数表达式中的对称性在函数表达式中的对称性,),ln(2122yx 立即可写出立即可写出,22yxyyz ,)(2222222yxyxyz 即证即证.547.5 二元复合函数的求导法则二元复合函数的求导法则),(),(),(yxvyxuvufz ).,(),(yxyxfz 复合函数为复合函数为,xvvzxuuzxz ),(),(),(yxyxvyxu都都在在点点及及如如果果 ,的的偏偏导导数数和和具具有有对对yx在对在对且函数且函数),(vufz ),(vu应应点点则复合函数则复合函数),(),(yxyxfz 的的两两个个
33、在在对对应应点点),(yx偏导数存在偏导数存在,且可用下列公式计算且可用下列公式计算 两个中间变量两个中间变量 两个自变量两个自变量具有连续偏导数具有连续偏导数,1.的情形的情形.,yvvzyuuzyz 55uvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 变量树图变量树图uv),(),(yxyxfz 56解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy 例例,sinyxvxyuvezu 设设.yzxz 和和求求572.中间变量为中间
34、变量为一元函数一元函数)(),(),(tvtuvufz 的情形的情形.定理定理,)()(可导可导都在点都在点及及如果函数如果函数ttvtu ),(),(vuvufz在在对对应应点点函函数数 ,)(),(可导可导在对应点在对应点则复合函数则复合函数tttfz 且且其导数可用下列公式计算其导数可用下列公式计算:tzdd具有连续偏导数具有连续偏导数,tuuzdd.ddtvvz 导数导数tzdd称为称为58复合函数的复合函数的中间变量多于两个中间变量多于两个的情况的情况.定理推广定理推广 tzdduvwtz变量树图变量树图 三个中间变量三个中间变量),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtu
35、u uz vz tudd wz tvdd twdd 59例例 设设 求求xydd这是幂指函数的导数这是幂指函数的导数,但用但用全导数公式全导数公式较简便较简便.法二法二 xyddyuvx,)(cossin xxy 解解 法一法一,cos xu 令令)(cosln)sin(1xuuxvuvv tancosln)(cos2sin1xxxx vuy 则则可用可用取对数求导法取对数求导法计算计算.,sin xv xuuyddxvvydd 60 例例 设设.,yzxz 求求变量树图变量树图zrsxyxssfxrrf 或记或记 sfyrfy 1),(yxxyfz 解解),(srf 对抽象函数在求偏导数时对
36、抽象函数在求偏导数时,设中间变量设中间变量.sr xz211fyf y 同理同理 yz221fyxfx ,1frf 2fsf 61,),(),(均连续可微均连续可微设设gfxyxgvxyxfu xvxu 求求)1()(ygfyfxvxuxyx 答案：答案：623 3、二元隐函数求导法、二元隐函数求导法设方程设方程),(xfy 0),(yxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式确定函数确定函数恒等式恒等式两边关于两边关于x求导求导,由由全导数公式全导数公式,得得),(yxFx),(yxFy xydd 0),(xF)(xf0 将其代入得将其代入得时时，当当0),(yxFy),(),(ddyxFyxFx
37、yyx 或简写或简写:.ddyxFFxy 63例例 设设.,0dxdyeexyyx求求 记记,),(yxeexyyxF xxeyyxF ),(yyexyxF ),(yxFFxy dd.yxexey 时时当当0 yF则则 解解64解解 令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 例例.dd,arctanln22xyxyyx求求已已知知 时时当当0 yF651.极大值和极小值的定义极大值和极小值的定义定义定义为函数的为函数的极大值点极大值点.类似可定义极小值点和极小值类似可定义极小值点和极小值.若对于
38、该邻域内一切异于若对于该邻域内一切异于 ),(),(00yxfyxf 为为极大值极大值.则称则称),(00yxf7.6 二元函数的极值二元函数的极值设函数设函数内内的的某某邻邻域域在在点点),(00yx有定义，有定义，的点的点),(00yx),(yx有有),(00yx点点),(yxfz 66 注注 函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的 函数的极大值点与极小值点统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的二元函数的极值也是二元函数的极值也是局部的局部的,一般来说一般来说:极大值未必是函数的最大值极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值极小值未必是函数的最
39、小值.有时有时,极值极值.极值点极值点.的邻域内的值比较的邻域内的值比较.是与点是与点(x0，y0)极小值可能比极大值还大极小值可能比极大值还大.67xyzOxyzO例例2243yxz 例例22yxz 例例xyz 在在(0,0)点取极小值点取极小值.在在(0,0)点取极大值点取极大值.(也是最大值也是最大值).在在(0,0)点无极值点无极值.椭圆抛物面椭圆抛物面下半个圆锥面下半个圆锥面马鞍面马鞍面函数函数函数函数(也是最小值也是最小值).函数函数 xyzO 682.极值的必要条件极值的必要条件定理定理7.17.1(必要条件必要条件),(),(00yxyxfz在在点点设设函函数数 具有具有处处且
40、在点且在点),(00yx则它在该则它在该点的偏导数必然为零点的偏导数必然为零:,0),(00 yxfx.0),(00 yxfy,偏偏导导数数,有有极极值值均称为函数的均称为函数的驻点驻点极值点极值点仿照一元函数仿照一元函数,凡能使凡能使一阶偏导数一阶偏导数同时为零的同时为零的点点,驻点驻点.如如,的的是是函函数数点点xyz )0,0(驻点驻点,但不是极值点但不是极值点.注注如何判定一个驻点是否为极值点如何判定一个驻点是否为极值点693.极值的充分条件极值的充分条件定理定理7.27.2(充分条件充分条件),(),(00yxyxfz在在点点设设函函数数 的某邻域内连续的某邻域内连续,有一阶及二阶连
41、续偏导数有一阶及二阶连续偏导数,0),(00 yxfx又又,0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy,),(00Byxfxy),(),(00yxyxf在在点点则则处是否取得极值的条件如下处是否取得极值的条件如下:(1)时时02 BAC有极值有极值,时时当当0 A有极大值有极大值,时时当当0 A有极小值有极小值;(2)时时02 BAC没有极值没有极值;(3)时时02 BAC可能有极值可能有极值,也可能无极值也可能无极值.70求函数求函数 极值的一般步骤极值的一般步骤:),(yxfz 第一步第一步解方程组解方程组 0),(0),(yxfyxfyx求出实数解求出实
42、数解,得驻点得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值.CBA、第三步第三步 定出定出2BAC 的符号的符号,再判定是否是极值再判定是否是极值.7122(,)f x yxy(,)20(,)20,xyfx yxfx yy(0,0)(,)2,(,)0,(,)2xxxyyyfx yfx yfx y(0,0)240ACB (0,0)例例 讨论双曲抛物面解：解：再求出二阶偏导数在点处，所以函数在处不存在极值.有无极值点.解方程组解方程组是驻点，是驻点，72例例 解解又又在点在点(0,0)处处,在点在点(a,a)处处,)0(3),(33 ayxax
43、yyxf求函数求函数 03303322yaxfxayfyx).,(),0,0(aa驻驻点点 xxf xyf yyf229aBAC 故故),(yxf2227aBAC aA6 且且故故),(yxf即即.),(3aaaf 的极值的极值.0 在在(0,0)无极值无极值;在在(a,a)有极大值有极大值,0,6x,3a.6y 0 73其中最大者即为最大值其中最大者即为最大值,与一元函数相类似与一元函数相类似,可利用函数的极值来可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值求函数的最大值和最小值.2.二元函数的最值二元函数的最值求最值的一般方法求最值的一般方法最小者即为最小值最小者即为最小值.将函数将函数在在D内
44、内的所有嫌疑点的函数值及的所有嫌疑点的函数值及在在D的边界上的最大值和最小值相互比较的边界上的最大值和最小值相互比较,74解解,02 xfx令令08 yfy)0,0(),(422yxfyx代代入入将将 133),(2yyxf2,2 yyyg6)(令令0 y此时此时24yx ,2时时当当 y9)0,0(f.9,25),(最最小小值值为为上上的的最最大大值值为为在在故故Dyxf13)0,2(f25)2,0(f的最大值与最小值的最大值与最小值.驻点驻点得得)(yg0 2 0 x均有均有上上在在求求4:94),(2222 yxDyxyxf例例75例例 某企业生产两种产品的产量分别为某企业生产两种产品的
45、产量分别为xy单位和单位和单位，单位，143244264),(22yyxyxxyxL利润利润函数为函数为求两种产品产量求两种产品产量各为多少时，可获最大利润，最大利各为多少时，可获最大利润，最大利润是多少？润是多少？143244264),(22yyxyxxyxL(,)64440(,)48320,xyL x yxyL x yxy解：解：由由解方程组解方程组)24,40(得唯一驻点得唯一驻点40,24xy实际问题决定最大利润一定存在，实际问题决定最大利润一定存在，(40,24)1650L时，取得最大利润，时，取得最大利润，因此可断定当因此可断定当此时最大利润为此时最大利润为767.7 7.7 最小
46、二乘法最小二乘法设观测或实验数据如下：设观测或实验数据如下：xx0 x1xm f(x)y0y1ym能否找到一个简单易算的能否找到一个简单易算的 p(x)，p(xi)yi 总体上尽可能小总体上尽可能小.使得使得 f(x)p(x).这时不要求这时不要求 p(xi)=yi,而只要而只要77l 使使 最小最小l 使使 最小最小 p(xi)yi 总体上尽可能小总体上尽可能小 l 使使 最小最小|)(|max1iimiyxpmiiiyxp1|)(|miiiyxp12|)(|q 常见做法常见做法太复杂太复杂 不可导，求不可导，求解困难解困难 最小二乘法：最小二乘法：目前最好的多项式曲线拟合算法目前最好的多项
47、式曲线拟合算法最小二乘法最小二乘法78yabx ,a b其中其中待定待定.线性模型线性模型 2211,nniiiiiSyyabxy使偏差的平方和使偏差的平方和达到达到最小最小。79 21niiiSabxy ,a b的最小值.得到求二元函数利用二元函数利用二元函数求极值方法 1121020niiiniiiiSabxyaSabxyxb .yabx，则所得一次函数为这种利用偏差平方和最小的方法称为最小二乘法最小二乘法.7.7最小二乘法最小二乘法808182思考1.如何确定二次多项式？如何确定二次多项式？2.指数函数如何用线性模型？指数函数如何用线性模型？83x1x2xnxy1y2yny变量变量通过实
48、验数据或观察数据、历史资料来研究两个变量之间的关系，7.7 最小二乘法最小二乘法找出两个变量之间的函数关系的近似表达式，是一种建立数学模型的常用方法.设观测或实验数据如下：xy()yf x要找到变量和的函数关系的近似表达式.首先将数据在平面直角坐标系中标出，观察数据的分布是否接近yabx,a b假设函数关系为一次函数，即设，其中这样建立的数学模型称为线性模型.一条直线或某种类型的曲线.如果数据分布接近一条直线，则可以待定，8411nniiiiiyyabxy,a b实际实验数据是不可能在任何一条直线上的，那么如何确定这条越小越好，达到最小时确定的两个参数就是所求.直线呢？确定的原则是：数据与待定
49、直线之间的偏差的绝对值的总和由于绝对值不便于利用微分方法，所以改用偏差平方和，使之最小：2121,niiniiiSyyabxyiyabxiyixoyxyabx85,a b21niiiSabxy,a b的最小值，这可以利用二元函数的解来解决，假设求得的解为偏差平方和21niiiSabxy是的二元函数，所以问题归结于求求极值即通过求方程组1121020niiiniiiiSabxyaSabxyxb yabx，则所得一次函数为这种利用偏差平方和最小的方法称为最小二乘法最小二乘法.以下将该方程组写成更清楚的形式。86112111.nniiiinnniiiiiiixan byxaxbx yMatlabMa
50、thematica求方程组解时通常借助计算器（一般科学计算器都配有最小二或）解决.最小二乘法解方程组的固定模式）或计算机（数学软件如87表示有很大差距，这时近似函数关系就不宜设为一次函数.40608010010203040506070 如果数据在坐标系中的分布与直线形状差距较大，则需考虑用其它函数.例如第一章植物生长天数与高度的数据（见表1-1），在坐标系中标出，如下图所示，可以看出数据的分布用直线88例例32.32.一个实验有如下数据，试用最小二乘法求表示两个变量函数关系的近似表达式.序号1234567830405060708090100-1.0940-0.8211-0.7021-0.399
