1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 隐函数和参数方程求导 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 31xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数,由)(xfy 表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(注意 y=y(x)(含导数 的方程)y（隐函数的显化）（隐函数的显化）目录
2、 上页 下页 返回 结束 例例1.求由方程03275xxyy)(xyy 在 x=0 处的导数.0ddxxy解解:方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x=0 时 y=0,故210ddxxy0确定的隐函数目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即03843 yx目录 上页 下页 返回 结束 1sin02xyy22.d ydx的一阶导数确定的隐函数求由方程练
3、习：练习：二阶导数,dydx解解:方程两边对 x 求导，得d2d2cosyxy11cos02dydyydxdx22()d yddydxdx dxd2()d2cosxy22sin(2cos)y yy22sin2(2cos)2cosyyy34sin(2cos)yy 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数求高阶导数隐函数求高阶导数法法1:由隐函数直接求出一阶导数由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导用一阶导 数的显式继续求导数的显式继续求导.法法2:反复用隐函数的表达式直接求反复用隐函数的表达式直接求n阶导数阶导数.目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.)1,0(,144处处的的值值在在点点求求设设y
4、yxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对 x34x得得代入代入1,0 yx;4110 yxy求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy,1,0 yx代代入入.16110 yxyyxy340(1)y y目录 上页 下页 返回 结束 练习练习 设)(xyy 由方程eeyxy确定,)0(y解解:方程两边对 x 求导,得0eyxyyy再求导,得2eyy yxy)(e02 y当0 x时,1y故由 得e1)0(y再代入 得2e1)0(y 求.)0(y 目录 上页 下页 返回 结束 观察函数观察函数.,)4)(3()2)(1(sin
5、 xxyxxxxy方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:对数求导法对数求导法，可用来求，可用来求幂指函数幂指函数和和多个因子连乘积多个因子连乘积函数、开方函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导及其它适用于对数化简的函数的求导对数求导法对数求导法目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求)0(sinxxyx的导数.解解:两边取对数,化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx目录 上页 下页 返回 结束 1
6、)对幂指函数),(),(,xvvxuuuyv其中可用对数uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:求导法求导:目录 上页 下页 返回 结束 求)0(sinxxyx的导数.解解:(coslnxxsin)xx)sinlncos(sinxxxxxyxsinlnxxesin xyxsinlnxxesinln()xxyesinln(sinln)xxexxsinlnxxe目录 上页 下页 返回 结束 2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对
7、 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb目录 上页 下页 返回 结束 又如又如,)4)(3()2)(1(xxxxyuuu)ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x目录 上页 下页 返回 结束 二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22
8、tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t目录 上页 下页 返回 结束 若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(,)(tt可导,且,0)()(22tt则0)(t时,有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数)关系,目录 上页 下页 返回 结束 若上述参数方程中)(,)(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(
9、3ttttt ddd()dddyttxxtxdd)()(ddttxy)(tx且,0)(t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数.利用新的参数方程,可得目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5解解33cos.sinxatyat 求由方程表示的函数的一阶及二阶导数dtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd()/ddydxdt dxdtttatsincos3sec22 tatsin3sec4 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin(ttayttax.方方程程解解dtdxd
10、tdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cos12sin2 tdxdy.1 目录 上页 下页 返回 结束.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay)22(axy即即目录 上页 下页 返回 结束,)()(ttxydd?例例7.设)(tfx,且,0)(tf求.dd22xy ddxy)(tft)(tf ,t dd22xy1)(tf 已知解解:)()(tftfty练习练习:,1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意:对谁求导?x)()(dd22ttxy求22dd,.ddyyxx目录 上页 下页 返回 结束 例例
11、8.设由方程222 sin1xtttyy 确定函数,)(xyy 求.ddxy解解:方程组两边对 t 求导,得故xydd(1)(1 cos)ttytyddtxddt2d2d1 cosytty22 tcos ytydd0)1(2ddttxtyddtxdd目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式目录 上页 下页 返回 结束 1.设)(xyy 由方程33()sin360f xyxy确定,.dydx解解:方程两边对x 求导,得33()fxyd
12、ydx且 存在，求23)dyydx3cos3x60dydx思考与练习思考与练习)(xyy()fx2(3x 332332cos3()()2xfxyxfxyy目录 上页 下页 返回 结束 0 2.0 (),.xyxxyeeyy xdydydxdx求由方程所确定的隐函数的导数解解得得求求导导方方程程两两边边对对视视 ,),(xxyy y解得解得,yxexyedxdy ,0 ,0 yx时时由由原原方方程程知知000 yxyxxexyedxdy.1 dxdyx xe ye 0 dxdy目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P82 1(2)(3);2;4(2)(4);5(1)(2);6(2);8 第五节
13、目录 上页 下页 返回 结束 求其反函数的导数.,exxy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式两边同时对 求导y1yxddxeyxddyxdd思考题思考题xe111.设目录 上页 下页 返回 结束,求01sine232ytttxy.dd0txy解解：方程组两边同时对 t 求导,得 txddyetydd0ddtxy2.设26 ttyddtsin0ddtytycosettyysine1cosetxtydddd0)26)(sine1(cosetyyttt2e0t目录 上页 下页 返回 结束 3.设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示:
14、分别用对数求导法求.,21yy答案答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx3ln212(2)xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx目录 上页 下页 返回 结束 练练 习习 题题一、一、填空题：填空题：1 1、设设01552223 yxyyxx确定了确定了 y是是x的函的函数，则数，则)1,1(dxdy=_=_.2 2、曲线曲线733 xyyx在点在点（1 1，2 2）处的切线方程）处的切线方程是是_._.3 3、曲线曲线 ttyttxsincos在在2 t处的法线方程处的法线方程_._.4 4、已知已知 teytexttsincos,则则dxdy=_=_；3 td
15、xdy=_.=_.5 5、设设yxexy ,则则dxdy=_.=_.目录 上页 下页 返回 结束 二、二、求下列方程所确定的隐函数求下列方程所确定的隐函数y y 的二阶导数的二阶导数22dxyd：1 1、；2 2、；3 3、yxxy )00(yx，.三、三、用对数求导法则求下列函数的导数：用对数求导法则求下列函数的导数：1 1、2xxy ；2 2、54)1()3(2 xxxy；3 3、xexxy 1sin.221xytan()yxy目录 上页 下页 返回 结束 四、四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：1 1、tbytaxsincos ；2
16、2、)()()(tftf tytfx 设设)(tf 存在且不为零存在且不为零.五、五、求由参数方程求由参数方程 ttytxarctan)1ln(2所确定的函数的所确定的函数的 二阶导数二阶导数22dxyd.六、设六、设)(xf满足满足xxfxf3)1(2)(，求，求)(xf .目录 上页 下页 返回 结束 练习题答案练习题答案一、一、1 1、34；2 2、02311 yx 3 3、022 yx；4 4、32,sincoscossin tttt；5 5、yxyxexye .二、二、1 1、；2 2、-)(cot)(csc232yxyx ；3 3、322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy.31y目录 上页 下页 返回 结束 三、三、1 1、)1ln2(12 xxx；2 2、1534)2(21)1()3(254 xxxxxx；3 3、)1(2cot11sin21xxxeexxexx .四、四、1 1、tab32sin；2 2、)(1tf .五、五、241tt .六、六、212x.
