1、 培优专题卷：二次函数压轴训练 一选择题 1已知抛物线yx2（4m+1）x+2m1 与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于 2， 另一个交点的横坐标小于 2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m 的取值范围是（ ） A B C D全体实数 2如图，已知二次函数yx2+bxc，它与x轴交于A、B，且A、B位于原点两侧，与y 的正半轴交于C，顶点D在y轴右侧的直线l：y4 上，则下列说法：bc0；0b 4；AB4；SABD8其中正确的结论有（ ） A B C D 3二次函数yx2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A顶点坐标（1，4） B当x1 时，y随x的增大而减
2、小 C线段AB的长为 3 D当3x1 时，y0 4如图为二次函数yax2+bx+c的图象，给出下列说法：ab0；方程ax2+bx+c0 的 根为x11，x23；a+b+c0；当x1 时，y随x值的增大而增大；当y0 时， x1 或x3其中，正确的说法有（ ） A B C D 5如图是抛物线y1ax2+bx+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2mx+n（m0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： 2a+b0； abc0； 方程ax2+bx+c3 有两个相等的实数根； 抛物线与x轴的另一个交点是（1，0）； 当 1x4 时，有y2y1， 其中
3、正确的是（ ） A B C D 6记抛物线yx2+2012 的图象与y正半轴的交点为A，将线段OA分成 2012 等份，设分 点分别为P1，P2，P2011，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2， Q2011，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，的面积分别为S1，S2，这样就记ws12+s22+ +s20112，W的值为（ ） A505766 B505766.5 C505765 D505764 7如图，抛物线m：yax2+b（a0，b0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C将抛物线m绕点B旋转 180，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴 的另一个交点
4、为A1若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ） Aab2 Bab3 Cab4 Dab5 8二次函数yx2+2x+8 的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A 点为抛物线上的动点，且BAC为锐角，则AD的取值范围是（ ） A3AD9 B3AD9 C4AD10 D3AD8 9已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象开口向上，并经过点（1，2）， （1，0）下 列结论正确的是（ ） A当x0 时，函数值y随x的增大而增大 B当x0 时，函数值y随x的增大而减小 C存在一个负数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而减小；当xx0时，函数 值y随x的增大而增大
5、 D存在一个正数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而减小；当xx0时，函数 值y随x的增大而增大 10已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： a+b+c0；ab+c0；b+2a0；abc0 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二填空题 11如图，在平面直角坐标系中，过点P（m，0）作x轴的垂线，分别交抛物线yx2+2 与直线yx于A、B，以线段AB为对角线作正方形ACBD，则正方形ACBD的面积的 最小值为 12甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水 平距离s（米）与其距地面高度h（米）之间的关系式为hs2+
6、s+，如图，已 知球网AB距原点 5 米，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为 2.25 米，设乙的起跳点 C的横坐标为m，若乙原地起跳因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 m的取值范围是 13已知抛物线yax24ax+4a1 （）该抛物线的对称轴是x ； （）该抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），若此 抛物线的对称轴上的点P满足APBACB，则点P的纵坐标n的取值范围是 14二次函数yx2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3An在y轴的正半轴上， 点B1，B2，B3Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3n在二次函数位于
7、 第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3四边形An1BnAnn 都是正方形，则正方形An1BnAnn的周长为 15已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴 与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQMA于点Q （1）抛物线解析式为 （2）若MPQ与MAB相似，则满足条件的点P的坐标为 16某二次函数的图象的顶点坐标（2，1），且它的形状、开口方向与抛物线yx2相 同，则这个二次函数的解析式为 17我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋 圆”只有一个交点，那么这条
8、直线叫做“蛋圆”的切线如图，点A，B，C，D分别是“蛋 圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的 坐标为（1，0），半圆半径为 2，则经过点C的“蛋圆”切线EC的解析式是 三解答题 18如图，抛物线与x轴相交于点A（3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C （0，3）， 点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E （1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）求ACB的正切值； （3）当AOE与ABC相似时，求点D的坐标 19已知抛物线yax2+x+4 的对称轴是直线x3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A 右侧），与y轴交于点C （1）求抛物线
9、的解析式和A，B两点的坐标； （2）如图 1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存 在点P， 使四边形PBOC的面积最大？若存在， 求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值； 若不存在，请说明理由； （3）如图 2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N， 当MN3 时，求点M的坐标 20 在平面直角坐标系中， 若x轴上的点A与y轴上的点B同时在某函数的图象上则称AOB 为该函数图象的“截距三角形”，如图，AOB为直线l的“截距三角形” （1）某一次函数图象的“截距三角形”是等腰直角三角形，请写出一个符合条件的函数 表达式（写出一个即可）
10、； （2）如图，若抛物线yx2+bx+c在第一象限的“截距三角形”与直线yx+4 的 “截距三角形”完全重合，求这条抛物线对应的函数表达式； （3）如图，在（2）的条件下，在第一象限的抛物线上任取一点P，过点P作x轴的平 行线与抛物线在第一象限的“截距三角形”的直角边或直角边的延长线交于点D，与斜边 或斜边的延长线交于点E，设点P的横坐标为m，线段DE的长度为d求d与m之间的函 数关系式； （4）如图，在（3）的条件下，过点E作EFy轴交x轴于点F求四边形ODEF的周 长不变时m的取值范围 21如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，n），抛物 线经过A、O、B三点
11、，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C已知实数m、n（mn） 分别是方程x22x30 的两根 （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD 求BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标； 当OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标 22如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线yx2+bx+c与直线yx+1 相交于点A （0，1）和点B（3，2），交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求DAB的面积最
12、大时点D的坐标； （3）如图 2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以 C、B、D为顶点的三角形与CAE相似时，求所有满足条件的t的值 23如图，对称轴为x1 的抛物线经过A（1，0），B（2，3）两点 （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的动点，连接PO交直线AB于点Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标； （3）C在直线AB上，D在抛物线上，E在坐标平面内，以B，C，D，E为顶点的四边形为 正方形，直接写出点E的坐标 参考答案 一选择题 1解：根据题意， 令f（x）x2（4m+1）x+2m1， 抛物线yx2（4m+1）x+2m1 与x轴有一个交点的横坐标
13、大于 2，另一个交点的横 坐标小于 2，且抛物线开口向上， f（2）0，即 42（4m+1）+2m10，解得：m， 又抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方， f（0），解得：m， 综上可得：m， 故选：A 2解：抛物线开口向下， a10， 抛物线的对称轴为直线x0， b0， 而抛物线与y轴的交点在x轴上方， c0，则c0， bc0，故正确； 由顶点D在y轴右侧的直线l：y4 上可得： 4 b24c+16 0c4 164c0 04c+1616 0b216 0b4 正确； a1， 该抛物线的开口方向及大小是一定的 又顶点D在y轴右侧的直线l：y4 上 该抛物线与x轴两交点之间的距离AB是定值， 故
14、可令b2 则c3 此时抛物线解析式为：yx2+2x+3 由x2+2x+30 得x11，x23 故AB4 正确； SABD4428 故正确； 综上，故选：D 3解：由图可知，对称轴为1，b2； c3， 则函数解析式为yx2+2x3 其顶点坐标为（1，4） 由图可知，当x1 时，y随x的增大而增大； 当y0 时，x2+2x30， 解得x11；x23 可知线段AB长为 1（3）4， 由图可知当3x1 时，y0 可见，只有A正确， 故选：A 4解：根据图象可知： 对称轴0，故ab0，正确； 方程ax2+bx+c0 的根为x11，x23，正确； x1 时，ya+b+c0，错误； 当x1 时，y随x值的增
15、大而减小，错误； 当y0 时，x1 或x3，正确 正确的有故选：B 5解：抛物线的顶点坐标A（1，3）， 抛物线的对称轴为直线x1， 2a+b0，所以正确； 抛物线开口向下， a0， b2a0， 抛物线与y轴的交点在x轴上方， c0， abc0，所以错误； 抛物线的顶点坐标A（1，3）， x1 时，二次函数有最大值， 方程ax2+bx+c3 有两个相等的实数根，所以正确； 抛物线与x轴的一个交点为（4，0） 而抛物线的对称轴为直线x1， 抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），所以错误； 抛物线y1ax2+bx+c与直线y2mx+n（m0）交于A（1，3），B点（4，0） 当 1x4 时，y2y
16、1，所以正确 故选：C 6解：P1，P2，P2011将线段OA分成 2012 等份， OP1P1P2P2P3P3P4P2010P20111， 过分点P1作y轴的垂线，与抛物线交于点Q1， x2+20121， 解得x22011， S12（1P1Q1）22011， 同理可得S222010， S322009， S201121， wS12+S22+S32+S20112 2011+2010+2009+1 505766.5 7解：令x0，得：yb C（0，b） 令y0，得：ax2+b0， x， A（，0），B（，0）， AB2，BC 要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足ABBC， 2 4（）b2，
17、ab3 a，b应满足关系式ab3 故选：B 8解：设B（m，0），C（n，0）； 则有：m+n2，mn8； 故BC6； 设抛物线顶点为P，则P（1，9）； BCADDP， 即 3AD9； 故选：A 9解：根据二次函数yax2+bx+c（a0）的图象开口向上，并经过点（1，2）， （1，0） 将（1，2）代入函数解析式得：ab+c2， 将（1，0）代入函数解析式得：a+b+c0， 得：2b2，解得：b10， 又抛物线开口向上，可得a0， 0， 则函数的对称轴x0 所以A、B、C不正确；D正确 故选：D 10解：当x1 时，结合图象ya+b+c0，故此选项正确； 当x1 时，图象与x轴交点负半轴明
18、显小于1，yab+c0，故本选项错误； 由抛物线的开口向上知a0， 对称轴为 0x1， 2ab， 即 2a+b0， 故本选项错误； 对称轴为x0， a、b异号，即b0， 图象与坐标相交于y轴负半轴， c0， abc0， 故本选项正确； 正确结论的序号为 故选：C 二填空题（共 7 小题） 11解：由题可知，A（m，m2+2），B（m，m） ABm2+m+2（m+）2+， 当m时，ABmin， SminABCD， 故答案为 12解：在hs2+s+中，当h2.25 时 m2+m+2.25 解得m4 但扣球点必须在球网右边，即m5 m4（舍去） 由于乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接
19、球失败 5m4+ 故答案为：5m4+ 13解：（）抛物线的对称轴为：x2， 故答案为：2； （）将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx24x+3， 则点A、B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0）、（0，3）， 过点A、B、C作ABC的外接圆M（2，m）， 当点P在圆上时，APBACB，点P在圆外时，APBACB， 则MAMC，即 4+（m3）21+m2，解得：m2， 则圆的半径为：，则点P的坐标为：（2，2+）， 则点P关于x轴的对称点P（2，2）， 故答案为：n2+或n2 14解：四边形A0B1A1C1是正方形，A0B1A190， A0B1A1是等腰直角三角
20、形 设A0B1A1的直角边长为m1，则B1（m，m）； 代入抛物线的解析式中得：（m）2m， 解得m10（舍去），m1； 故A0B1A1的直角边长为， 同理可求得等腰直角A1B2A2的直角边长为 2， 依此类推，等腰直角An1BnAn的直角边长为n， 故正方形An1BnAnn的周长为 4n 故答案是：4n 15解：（1）过原点的抛物线的顶点为M（2，4）， 设抛物线的解析式为：ya（x+2）2+4， 将x0，y0 代入可得：4a+40， 解得：a1， 抛物线解析式为：y（x+2）2+4， 即yx24x； （2）PQMA MQPMBA90； 若MPQ、MAB相似，那么需满足下面的其中一种情况：
21、PMQAMB，此时MA为PMB的角平分线，如图； 取点B关于直线MA的对称点C，则ACAB2，MCMB4，设点C（x，y），有： ，解得（舍）， 点C的坐标为（，）； 设直线MP的解析式：ykx+b，代入M（2，4）、（，）得： ，解得 直线MP：yx+ 联立抛物线的解析式，有： ，解得， 点P的坐标（，）； PMQMAB，如右图，此时MAD为等腰三角形，且MDAD，若设点D（x，0）， 则有： （x+4）2（x+2）2+（04）2，解得：x1 点D（1，0）； 设直线MP的解析式：ykx+b，代入M（2，4）、D（1，0）后，有： ，解得： 直线MP：yx+ 联立抛物线的解析式有： ，解得：
22、， 点P的坐标（，） 综上，符合条件的P点有两个，且坐标为（，）、（，） 故答案：（1）yx24x；（2）（，）、（，） 16解：抛物线的顶点坐标（2，1），形状、开口方向与抛物线yx2相同， 这个二次函数的解析式为y（x2）21 故答案为：y（x2）21 17解：连接CM 在 RtMOC中，OM1，CM2， CMO60，OC，即C的坐标为（0，）； 在 RtMCE中，MC2，CMO60， ME4，即E的坐标分别为（3，0） 故设EC的解析式为ykx+，把E点坐标代入得：k， 故EC的解析式是yx+ 三解答题（共 6 小题） 18解：（1）设抛物线解析式为：yax2+bx+c，将点A（3，0）
23、，B（1，0），C（0，3） 分别代入得： ， 解得：， 故抛物线解析式为：yx22x+3 由于yx22x+3（x+1）2+4， 所以该抛物线的顶点坐标是（1，4）； （2）如图 1，过点B作BHAC于点H， AOC90，OAOC3， OACOCA45，AC3 BHA90， HAB+HBA90 HABHBA45 在直角AHB中，AH2+BH2AB2，AB4 AHBH2 CH32 BHC90， ACB2； （3）如图 2，过点D作DKx轴于点K， 设D（x，x22x+3），则K（x，0）并由题意知点D位于第二象限 DKx22x+3，OKx BAC是公共角， 当AOE与ABC相似时，有 2 种情况
24、： AODABC tanAODtanABC3 3，解得x1，x2（舍去） D（，） AODACB tanAODtanACB2 2，解得x1，x2（舍去） D（，2） 综上所述，当AOE与ABC相似时，求点D的坐标是（，）或（， 2） 19解：（1）抛物线的对称轴是直线x3， 3，解得a， 抛物线的解析式为：yx2+x+4 当y0 时，x2+x+40，解得x12，x28， 点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（8，0） 答：抛物线的解析式为：yx2+x+4；点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（8， 0） （2）当x0 时，yx2+x+44， 点C的坐标为（0，4） 设直线BC的解析式为ykx+
25、b（k0），将B（8，0），C（0，4）代入ykx+b得 ，解得， 直线BC的解析式为yx+4 假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大， 设点P的坐标为（x，x2+x+4），如图所示，过点P作PDy轴，交直线BC于点D， 则点D的坐标为（x，x+4）， 则PDx2+x+4（x+4）x2+2x， S四边形PBOCSBOC+SPBC 84+PDOB 16+8（x2+2x） x2+8x+16 （x4）2+32 当x4 时，四边形PBOC的面积最大，最大值是 32 0x8， 存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大 答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PB
26、OC面积的 最大值为 32 （3）设点M的坐标为（m，+4）则点N的坐标为（m，）， MN|+4（）|+2m|， 又MN3， |+2m|3， 当 0m8 时，+2m30，解得m12，m26， 点M的坐标为（2，6）或（6，4）； 当m0 或m8 时，+2m+30，解得m342，m44+2， 点M的坐标为（42，1）或（4+2，1） 答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（42，1）或（4+2，1） 20解：（1）yx+1（答案不唯一）； （2）yx+4，令x4，则y4，令y0，则x4， 则点（4，0）、（0，4）是抛物线上的点， 将这两个点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 故抛物线的表达
27、式为：yx2+3x+4； （3）设点P（m，m2+3m+4），则点E（m23m，m2+3m+4）， 当点P在点C之上时， 即m2+3m+44（即：0m3）， dDE（m23m）m2+3m； 当点P在点C之下， 同理dDEm23m，此时，m3； 综上，d|m23m|； （4）由（2）知： 当点P在点C之上时， 四边形ODEF的周长2OD+2CE2（m2+3mm2+3m+4）4m2+12m+8，不是常数； 当点P在点C之下时， 四边形ODEF的周长2OD+2CE2（m23mm2+3m+4）8，是常数； 即m3，四边形ODEF的周长不变， 点P在第一象限，m的取值范围 0m4， 故 3m4 21解：
28、（1）x22x30，则x3 或1， 故点A、B的坐标分别为（1，1）、（3，3）， 设抛物线的表达式为：yax2+bx，将点A、B的坐标代入上式得：，解得： ， 故抛物线的表达式为：yx2+x； （2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB的表达式为：yx，故点C（0，）， 同理可得：直线OP的表达式为：yx； 过点D作y轴的平行线交AB于点H， 设点D（x，x2+x），则点H（x，x）， BOD面积DHxB3（x2+x+x）x2+x， ，故BOD面积有最大值为：，此时x， 故点D（，）； 当OPPC时， 则点P在OC的中垂线上，故yP，则点P（，）； 当OPOC时， t2+t2
29、（）2，解得：t（舍去负值）， 故点P（，）； 当PCOC时，同理可得：点P（，）； 综上，点P（，）或（，）或（，） 22解：（1）将点A（0，1）和点B（3，2）代入抛物物线yx2+bx+c中 得， 解得 yx2+2x+1 （2）如图 1 所示：过点D作 DMy轴交AB于点M， 设D（a，a2+2a+1），则M（a，a+1） DMa2+2a+1（a+1）a2+3a 有最大值， 当时， 此时 图 1 （3）OAOC，如图 2，CFy轴， ACEACO45， BCD中必有一个内角为 45，由题意可知，BCD不可能为 45， 若CBD45，则BDx轴， 点D与点B于抛物线的対称轴直线x1 対称，
30、设BD与直线1 交于点H，则H（1， 2） B（3，2），D（1，2） 此时BCD是等腰直角三角形，因此ACE也是等腰直角三角形， （i）当AEC90时，得到AECE1， E（1.1），得到t1 （ii）当CAE90 时，得到：ACAE， CE2，E（1.2），得到t2 图 2 若CDB45，如图 3，中的情况是其中一种，答案同上 以点H为圆心，HB为半径作圆，则点B、C、D都在圆H上， 设圆H与对称左侧的物线交于另一点D1， 则CD1BCDB45（同弧所对的圆周角相等），即D1也符合题意 设 由HD1DH2 解得n11（含去），n23（舍去），（舍去）， ， 则， （i）若ACECD1B，
31、则， 即， 解得（舍去） （ii）ACEBD1C则， 即， 解得（舍去） 综上所述：所有满足条件的t的值为t1 或t2 或或 图 3 23解：（1）对称轴为x1 的抛物线经过A（1，0），则抛物线与x轴的另外一个交点 坐标为：（3，0）， 则抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3）， 将点B的坐标代入上式并解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx22x3； （2）设点P（m，m22m3）， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB的表达式为：yx1， 当Q是OP中点时，则点Q（m，）， 将点Q的坐标代入直线AB 的表达式并解得：m， 故点P（，）或（，）； （3）当BC为正方形的对角线时，如图 1 所示， 直线AB的表达式为：yx1，则点C（0，1），点D（0，3）， BDCD2，故点E1（2，1）； 当BC是正方形的一条边时， （）当点D在BC下方时，如图 2 所示， 抛物线顶点P的坐标为：（1，4），点B（2，3），故PDBC， 有图示两种情况，左图，点C、E的横坐标相同，在函数对称轴上，故点E2（1，4）； 此时，点D、E的位置可以互换，故点E3（0，3）； 右图，点B、E的横坐标相同，同理点E4（2，5）； （）当点D在CB上方时， 此时，点B、D坐标相同，这是不可能的，故不存在； 综上，点E的坐标为：（2，1）或（1，4）或（0，3）或（2，5）
