1、研究性课题研究性课题:杨辉三角杨辉三角(数学第三册数学第三册 第第71页页)杨辉杨辉(约公元约公元13世纪中叶至后世纪中叶至后半叶半叶)字谦光字谦光,钱塘钱塘(今浙江杭州今浙江杭州)人人,是中国南宋末年的数学家、数是中国南宋末年的数学家、数学教育家学教育家.著作甚多著作甚多,他编著的数他编著的数学书共五种二十一卷学书共五种二十一卷,著有著有详解九章算法详解九章算法十二十二卷卷(1261年年)、日用算法日用算法二卷二卷(1262年年)、等、等.“杨辉三角杨辉三角”出现在他编著的出现在他编著的详解九章算法详解九章算法一书中一书中,杨辉三角的发现要比欧洲早杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右年左右,
2、杨杨辉是一位杰出的数学教育家、重视数学的普及辉是一位杰出的数学教育家、重视数学的普及 杨辉简介杨辉简介一一一一一一二二一一一一三三一一三三一一四四一一六六四四一一五五一一十十十十五五六六一一一一六六一一十五十五二十二十十五十五杨杨 辉辉 三三 角角第第0行行 1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 1第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1 第第n1行行 1 1第第n行行 1 1 11nC21nC11rnCrnC121nnC1nC2nCrnC1nnC2nnC一般的一般的杨辉三角杨辉三角基本性质基本
3、性质.111rnrnrnrnrnCCCCCn，杨辉三角杨辉三角的第的第n行就是二项式行就是二项式(a+b)n展开式的系数展开式的系数即即(a+b)nnnnrrnrnnnnnbCbaCbaCaC 110试用数学归纳法证明二项式定理试用数学归纳法证明二项式定理:nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)(1)当当n=1时时,左边左边=a+b,右边右边=babaCaC1111101 当当n=1时等式成立时等式成立(2)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即当当n=k+1时时kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba 110)()()()(1bababakk)(110b
4、abCbaCbaCaCkkkrrkrkkkkk baCabCbaCbaCaCkkkkkrrkrkkkkk011110111 kkkkkkrrkrkbCabCbaC证明证明:110110)()(rrkrkrkkkkkkbaCCbaCCaC,)(11kkkkkkkkbCabCC(2)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即当当n=k+1时时kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba 110)()()()(1bababakk)(110babCbaCbaCaCkkkrrkrkkkkk baCabCbaCbaCaCkkkkkrrkrkkkkk011110111 kkkkkkrrkrkbCab
5、CbaC利用利用,1111101010 ，rkrkrkkkkkkCCCCCCCC,1111kkkkkkkkkkCCCCC，利用利用 110110)()(rrkrkrkkkkkkbaCCbaCCaC,)(11kkkkkkkkbCabCC,1111101010 ，rkrkrkkkkkkCCCCCCCC,1111kkkkkkkkkkCCCCC，这就是说这就是说,当当n=k+1时等式也成立时等式也成立.根据根据(1)和和(2)可知对于任意正整数可知对于任意正整数n,等式都成立等式都成立.111111011)(rrkrkkkkkkbaCbaCaCba,1111kkkkkkbCabC得到得到杨辉三角之杨辉
6、三角之探究探究1 1 第第0行行 1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 1第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1 杨辉三角的第杨辉三角的第1,3,7,15,行行,即第即第2k1行行(kZ+)的各个数字有什么特点？的各个数字有什么特点？各个数字各个数字均是奇数均是奇数第第1行行 1 1第第3行行 1 3 3 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1杨辉三角之杨辉三角之探究探究2 2 第第0行行 1第第1行行 1 1第第2行行 1 2
7、1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 1第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1 在杨辉三角的在杨辉三角的5行中行中,除去两端的数字除去两端的数字1以外以外,行数行数5整除其余的所有数整除其余的所有数,你能找出具有类似性质你能找出具有类似性质的三行吗的三行吗?这时这时 行数行数P是什么样的数是什么样的数?第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1 P 是素数是素数 杨辉三角之杨辉三角之探究探究3 3 计算杨辉三角中各行数字的和计算
8、杨辉三角中各行数字的和,我们有我们有第第0行行 1第第1行行 1+1=,第第2行行 1+2+1=,第第3行行 1+3+3+1=,第第4行行 1+4+6 +4+1=,第第5行行 1+5+10+10+5+1=,第第6行行 1+6+15+20+15+6+1=,第第n行行 +=,0nC1nCrnC1nnC2nCnnC242n8163264即即(a+b)n的展开式的各个二项式系数等于的展开式的各个二项式系数等于 .2n 杨辉三角之杨辉三角之探究探究4 4 杨辉三角中与腰平行的第杨辉三角中与腰平行的第m条斜线条斜线(从右上从右上到左下到左下)上前上前n个数字的和个数字的和,与第与第m+1条斜线上的条斜线上
9、的第第n个数有什么关系个数有什么关系?第第0行行 1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 1第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1 +=10相等关系相等关系 一般有一般有)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr )(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr 试用数学归纳法证明试用数学归纳法证明:(1)当当n=2时时,r=1,左边左边=右边右边=当当n=2时等式成立时等式成立(2)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即当当n=k+1时
10、时111112CC122112CC1121 rkrkrrrrrrCCCCCrkrkrrrrrrCCCCC 121111rkrkrkCCC这就是说这就是说,当当n=k+1时等式也成立时等式也成立.根据根据(1)和和(2)可知对于任意正整数可知对于任意正整数n,等式都成立等式都成立.证明证明:杨辉三角之杨辉三角之探究探究5 5 杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和,有有什么规律什么规律?第第0行行 1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 1第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 1
11、5 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第7行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1121853133421从第从第3个数起个数起,任任 一个数是前一个数是前2 个数字的和个数字的和,是斐波那是斐波那 契数列契数列.如图如图,在一块木版上钉一些正六棱柱形的小木块在一块木版上钉一些正六棱柱形的小木块,在它们中间在它们中间留下一些通道留下一些通道,从上面的漏斗直通到下面的长方形框子从上面的漏斗直通到下面的长方形框子,前面用一前面用一块玻璃挡住块玻璃挡住.把小弹子倒在漏斗里把小弹子倒在漏斗里,它会通过中间的一个通道落到它会通过中间的一个通道落到第二层第二层(有几个竖直
12、通道就算第几层有几个竖直通道就算第几层)的六棱柱上面的六棱柱上面,以后以后,落到第二落到第二层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖层中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去直通道里边去.再以后再以后,它又落到下一层的它又落到下一层的三个通道之一里边去三个通道之一里边去依此类推依此类推,最终最终落到最下边的长方形框子中落到最下边的长方形框子中.假设我们总共在木版上做了假设我们总共在木版上做了n+1层层通道通道,在顶上的漏斗里一共放了在顶上的漏斗里一共放了颗弹子颗弹子,让它们自由落下让它们自由落下,落到下边落到下边的的n+1个长方形框子里个长方形框子里,那么落在那么落在每个长方形框子中的弹子数目每个长方形框子中的弹子数目(按按照可能的情形来计算照可能的情形来计算)会是多少会是多少?你能用学习过的排列组合与概率你能用学习过的排列组合与概率的知识解析这一现象吗的知识解析这一现象吗?nnnrnnnCCCC211121
