1、第二部分 非线性控制系统设计1 非线性控制问题如果控制系统的任务涉及大范围或高速运动,动力学中的非线性影响很重要.设计问题：对于给定的被控物理系统，构造反馈控制规律，使得闭环系统呈现出期望的性态。控制系统的任务可分为两类:镇定(或调节)和跟踪(或伺服)镇定问题中,控制器称为镇定器(或调节器)使闭环系统的状态被镇定到平衡点附近.如冰箱温度控制，飞行器高度控制跟踪问题中，设计的目标是构造控制器（跟踪器），是系统的输出跟上一个给定的时变轨线。如飞机沿指定的路线飞行21.1 镇定问题0),(xttuxfx时，状态当出发，中某个区域内的任意点统从寻找控制规律，使得系，描述的非线性动力系统给定由方程注：如
2、果控制目标是驱使状态到达某个非零点x_d，我们可以将 x-x_d 看作状态，将问题化为零点调节问题。例：倒立摆镇定问题sinmglJ任务是将摆从 theta 较大的角度控制到垂直的位置0sinpdpdkkJmglkk统得到全局稳定的闭环系可以选择镇定器为0sinsin2mglkJmglkdd得到稳定的闭环系统也可以选择镇定器为将被控对象动态方程修改为所期望的形式。31.2 跟踪问题趋于零时，跟踪误差整个状态保持有界的同出发，中某个区域内的任意点，使得系统从寻找控制规律和期望的输出轨线，给定非线性动力系统)()(,)(),(tytyuyxhytuxfxdd0)()(:,ttytyd闭环系统跟踪误
3、差为零如果对于适当的初值称控制系统有完全跟踪能力。渐近跟踪意味着渐近地达到完全跟踪对于非最小相位系统，完全跟踪和渐近跟踪都不能实现。4uuyyy22系统例如，非最小相位线性)22(.0),()(,ddddyyyuuuttyty满足那么输入即假设完全跟踪可以实现dysssu1222系统有一个极点恰好等于原系统的不稳定零点，造成u指数发散即非最小相位系统的完全跟踪只能通过无穷大输入来实现。所以，非最小相位系统的控制设计目标不应该是完全跟踪或渐近跟踪，而应该满足于有界误差跟踪52 期望性态的规定线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形时域：上升时间、超调量、调节时间频域：传递函数的低频和高频特
4、性等对非线性系统的规定没这么系统化、明显非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；对其频域描述是不可能的期望性态通常考虑下面性质：稳定性 响应的精度和速度 鲁棒性（系统工作时，应当能够抵挡一些被忽略因素的影响）代价63 构造非线性控制器的一些问题非线性控制设计步骤给定一个需要控制的物理系统，可通过以下步骤来设计:指定系统的期望形态，选择执行器和传感器用一组微分方程对物理系统建模对系统设计控制规律对所得控制系统进行分析和仿真用硬件实现控制系统7（2）反馈和前馈l 反馈在非线性系统控制器设计中也起着基本作用l和线性控制相比，前馈在非线性控制中的重要性更加明显前馈用来抵消已知干扰的影响，提
5、供预期的动作通常，如果在控制规律中不用前馈，稳定的控制非线性系统是不可能的8（1）非线性系统建模模型要比较精确但易于处理建模不仅仅是得到物理系统的标称模型，也要提供模型不确定性的特性，以便进行鲁棒设计、自适应设计或仿真。模型不确定性是模型和实际物理系统之间的差距。4 非线性控制设计方法（1）试探法利用分析工具来指导对可以根据分析和仿真结果来证实的控制器的研究相平面法、描述函数法、Lyapunov方法都可用依赖于经验和直觉对复杂系统，经常失效（2）反馈线性化方法将非线性系统（完全或部分地）化为线性系统，然后利用线性系统设计方法完成控制设计。（3）鲁棒控制在鲁棒非线性控制（如滑模控制）中，控制器同
6、时考虑了标称模型和一些模型不确定性9（4）自适应控制目前自适应控制主要用于动态结构已知，但有未知常数或时变参数的系统第6章 反馈线性化 核心思想：把一个非线性系统代数地转化为一个（全部或部分）线性系统，以便使用线性系统的技巧 反馈线性化和普通线性化（如雅可比线性化）的区别：反馈线性化不是通过系统的线性逼近，而是通过状态变换和反馈得到的。10本章内容直观概念数学工具单输入-单输出系统的输入-状态线性化116.1 直观概念6.1.1 反馈线性化及其标准形基本思想：消去一个非线性系统中的非线性部分，使闭环系统成为一个线性系统。例：控制水槽液位考查控制一个水槽液面的高度h到一个特定高度h_d.控制输入
7、是水槽的输入流量u,初始高度为h_0水槽的系统模型为：其中，A_h是水槽的横截面，a是出水管横截面12如果选取u(t)为其中，v是一待定“等价输入”得到系统是线性的，即选取v为液面高度误差 的函数:a是一正常数，所得闭环系统为0hah0)(tht时，这表明当而实际的输入流量是由非线性控制规律决定：如果期望液面高度是一个已知的随时间变化的函数h_d，则等价输入v可选为0)(tht时，仍然有1314补充:线性系统的能控概念、能控标准形N阶齐次常系数线性微分方程的解的形式，及其稳定性反馈线性化的思想可以简单地应用于一类能控标准型的非线性系统中系统uxbxfxn)()()(其中,u是标量控制输入，f(
8、x)和b(x)是状态的非线性函数能控标准形的状态方程可表示为：对于这类可表示成能控标准型的系统，通过控制输入可以消去非线性部分，得到简单的单输入-单输出关系半开复平面上，的所有根都严格落在左，使多项式选择011ksksknnni此时，求得控制规律为则系统是指数稳定的而却可以实现跟踪控制15例：双连杆机械手的反馈线性化例：双连杆机械手的反馈线性化使用类似的方法，对能控标准形的非线性系统，设计控制律控制设计目标是让关节所在位置q_1和q_2按照预先规划好的路径q_d1(t)和q_d2(t)运动（跟踪问题）机械手的动态方程为：（q为关节角，te为输入）其中，16状态方程可以简化成：)(),()(qg
9、qqqCqqH方程两边同乘以H的逆阵，很容易将方程变为的形式uxbxfxn)()()(为了达到跟踪控制任务，选择下面的控制规律：+这里，此时，跟踪误差满足方程：因此，跟踪误差指数收敛到0176.1.2 输入-状态线性化当非线性系统不是能控标准形时，就必须在使用反馈线性化之前先通过代数变换把系统转变为能控标准形控制问题，的单输入非线性系统的对系统),(uxfx 用输入-状态线性化解决这个问题需要两步：找到一个状态变换 z=z(x)和一个输入变换 u=u(x,v)，使非线性系统转化为一个等价的线性定常系统 利用标准的线性控制方法（如极点配置）去设计v考查二阶非线性系统控制输入u不能直接消去第一个方
10、程中的非线性部分，如何进行反馈线性化？18首先，进行状态变换z=z(x)：则新的状态方程为而非线性部分就可以被如下的u=u(x,v)消掉：经过状态变换的线性系统方程为：利用原控制输入u来镇定原非线性系统的问题，已转化为使用新控制输入v来镇定新系统的问题。对二阶非线性系统19vzzzz22112适当选取反馈增益，可以对线性系统任意配置极点:例如，可以选取得到闭环系统其极点都为-2，因此是稳定的。回到原状态 x_1 和 x_2，与该控制规律相对应的原控制输入为总的闭环系统的方框图为：20注：控制规律并不是在全局范围内成立。考虑u=1/cos(2x)项 状态变换和输入变换都是通过反馈得到的，不同于雅
11、可比线性化如何借鉴前面的成功设计，把输入-状态线性化推广到一般非线性系统中。此时，有两个问题：哪些类型的非线性系统可以转变成线性系统？对可以线性化的非线性系统如何找出适当的变换？21本章内容直观概念数学工具单输入-单输出系统的输入-状态线性化226.2 数学工具空间的向量场是向量函数nnnRRRf:一个向量场是光滑的是指函数f(x)有任意阶连续偏导数xhhxhx的梯度为记的一个光滑标量函数状态h),(jjxhhj/)(,个元素为第梯度是一个行向量jiijxffnnxfffxf/)(),(矩阵，且这是一个的雅可比矩阵为对一个向量场231 李导数 和 李括号方向的方向导数沿向量是的标量函数。即李导
12、数的李导数是一个定义为关于则上的一个光滑向量场，是是一个光滑的标量函数fhhLfhhLfhRRRfRRhffnnnn:,:可递推定义高阶李导数fhLhLLhLhhLififfiff)()(110ghLhLLhLLgffgfg)(为是另一个向量场，则如果)(),(-xhyxfx单输出系统例如，单输入hLxxhLyhLxxhyfff2输出的各阶导数为：Lypunov函数V沿系统轨线的导数用李导数如何表示？24,.,g1-ii0gadfgadggadgadgffggfgffRgfffffn可递推定义多重李括号通常记为李括号量场，的李括号是一个新的向和上的两个向量场。是和设例：系统?,)()()()(
13、gfxgxfuxgxfx的形式系统可以写成hLLhLLhLfggfgfgfgfffggfgadf)3,)2,1)22112211雅可比恒等式反对称性双线性性李括号的运算法则：（试加以证明）252 微分同胚 和 状态变换为微分同胚则称存在且光滑，是光滑的，并且如果定义域是映射-1,:nnRR为全局微分同胚，则称是全空间如果定义域)(xRn全局微分同胚很少，经常使用局部微分同胚。给定一个非线性映射，如何判断出它是否是局部微分同胚?上的局部微分同胚的一个邻域是定义在上是非奇异的，则中的一点在上，如果雅可比矩阵中的一个区域定义在光滑映射00)()(xxxxRxn判断phi(x)是否局部微分同胚？222
14、1121sin352)(xxxxxzz26它的雅可比矩阵是 22122cos301052xxxxx在x=(0,0)处，矩阵的秩为2。因此非线性映射定义了原点的一个邻域上的局部微分同胚不是微分同胚一，所以区域之外，反函数不唯内都是正确的。在这个该微分同胚在如下区域事实上2/|),(,221xxx273 弗罗贝尼乌斯（Frobenius)定理考查一阶偏微分方程组00332211332211gxhgxhgxhfxhfxhfxh完全能积存在，则称向量场如果上述方程组的解是未知函数。的已知标量函数，而是其中,),(),(,321321321gfxxxhxxxhxxxgfii如何判断方程组是否有解呢？根据
15、Frobenius定理，当且仅当 f 和 g 的李括号能表示成向量 f 和 g 的线性组合时，方程有一个解h，即满足 gfgf21,（对合条件）对合条件在几何上意味着 f,g 位于向量 f 和 g 张成的平面上是标量函数和其中),(),(,32123211xxxxxx28合的，它是完全可积的当且仅当这个集合是对场集合，为一组线性无关的向量设定理mfffFrobenius,:21对合意味着从集合中任取一对向量场做李括号得到的向量场可以用原向量场集合的线性组合表示。注：常值向量场总是对合的 一个仅有一个向量场f的集合是对合的 检验向量场是否对合，即检验下式对 所有x及 i，j 是否成立：)(,)(
16、,),(),()(,),(),(2121xffxfxfxfrankxfxfxfrankjimm29mkkijkjiijkmxfxaxffafff121)()()(,:使得下式成立：当且仅当存在标量函数被称为对合的，一组线性无关的向量场定义30是否完全可积）或者说是否有解？例：考查偏微分方程组,(02)3(042133222311213ffxhxxhxxxhxxhxhx本章内容直观概念数学工具单输入-单输出系统的输入-状态线性化316.3 单输入-单输出系统的输入-状态线性化对于单输入的非线性系统uxgxfx)()(其中，f 和 g 都是光滑向量场，这个系统何时能由状态和输入变换线性化？怎样找到
17、这样的变换？怎样基于这样的反馈线性化设计控制器？32注：l 第一个条件可以看作非线性系统 的能控性条件。对于线性系统，向量场 变成 ，并且它们线性无关就等价于线性能控矩阵可逆。l 线性系统具有常值向量场集合，因此满足对合条件。非线性系统并不普遍满足对合条件。uxgxfx)()(,1gadgadgnff,1bAAbbn上对合在集合上线性无关在向量场使得下列条件成立：当且仅当存在一个区域状态线性化的，输入是可以系统是光滑向量场，非线性和设,2,1-)()()()(21gadgadggadgadguxgxfxxfxgnffnff,2gadgadgnff1 输入-状态线性化的条件332 怎样进行输入-
18、状态线性化非线性系统的输入-状态线性化可由下面的步骤完成：对给定系统构造向量场 检验是否满足能控性条件和对合条件 如果两个条件都满足，从以下方程组中 ,1gadgadgnff02,001111gadznigadzznfif，即得到第一个状态1111111111)(,)()()(,)(zLLxzLLzLxvxxuzLzLzxznfgnfgnfTnff其中，和输入变换计算状态变换34例：一单连杆柔性-关节机器人其运动方程是uqqkqJqqkqMgLqI)(0)(sin2122111考查输入-状态线性化是否适用第一步，使用状态空间表示。选择状态向量为2211qqqqxTTJgxxJkxxxIkxIM
19、gLxff1000)()(sing3143112为和相应的向量场35uxgxfx)()(原方程可化为的形式第二步，检验能控性条件和对合条件001010000000)(2232JkJJkJgadgadgadgIJkIJkfff当k0,IJinf 时，能控性矩阵的秩为4。而且，由于向量场是常数，因此这个集合是对合的。系统可以输入-状态线性化)(2gadgadgff第三步，找出状态变换z=z(x)和输入变换u=u(x,v)来实现输入-状态线性化0 2,00111gadznigadznfif和由及上述能控性矩阵得0,0,0 ,011413121xzxzxzxz11 xz 是上述方程组最简单的解36其它
20、的状态分量为)(cos)(sin42123431123212xxIkxxIMgLfzzxxIkxIMgLfzzxfzz)cos)()cos(sin)()()/()(131122144xIMgLJkIkxxIkIkxIMgLxxIMgLxaxavkIJgzfzvu，这里因此，输入变换状态线性化这样就完成了输入组变换得到下列线性方程由上述状态变换和输入-4433221vzzzzzzz373 基于输入-状态线性化的控制器设计0 )(10)1(11)2(12)3(13)4(110)1(11)2(12)3(13)4(111)4(1zazazazazzazazazazvtzzvzdd得到跟踪误差方程。则控制规律是跟踪轨线假定需要连杆位置表示为，其等价线性系统可以对上述柔性连杆的例子选择适当的正常数 a_i，使跟踪误差的特征方程的根在左半开平面，即可保证系统指数收敛。实际的控制输入由 给出。)()/()(44xavkIJgzfzvu38
