1、高等数学高等数学(上上)总复习总复习第一部分 复习的重点及题型分析第二部分 高等数学(上)方法综述 第一部分第一部分 复习的重点及题型分析复习重点复习重点三个基本计算三个基本计算 极限极限,导数导数,积分积分两个基本应用两个基本应用 导数应用导数应用,积分应用积分应用一个基本理论一个基本理论 有关中值的定理及应用有关中值的定理及应用一一.三个基本计算三个基本计算 (约约 70%)1.极限的计算极限的计算(约约 24%)主要题型主要题型(1)利用基本方法求极限利用基本方法求极限函数的连续性函数的连续性;四则运算法则四则运算法则;极限存在准则极限存在准则;两个重要极限两个重要极限;等价无穷小替换等
2、价无穷小替换;洛必塔法则洛必塔法则.(2)利用特殊方法求极限利用特殊方法求极限导数定义导数定义;定积分定义定积分定义;微分中值定理微分中值定理;变限积分求导变限积分求导;讨论左右极限讨论左右极限.(3)无穷小量的比较无穷小量的比较例题分析例题分析例例1.计算计算解解:11lim21 xxx原式原式0 112lim21 xxxx解解:利用等价关系利用等价关系 xxfxxx2sin3sinlim0例例2.设设 f(x)处处连续处处连续,且且 f(2)=3,计算计算 xxfxxx23lim0 原式原式9)2(3 f解解:nnnn1212lim nnn1221lim 原式原式化为指数形式化为指数形式,
3、利用利用uu)1ln(e 122lim nnne 例例3.计算计算解解:222)()2()1(limnnnnnnnIn nInknkn1)1(1lim12 102)1(dxx0111x 21 例例4.计算计算 例例5.计算计算1000102limxexx 21xt ttet500lim 原式原式tte!500lim 0 解解:令令 例例6.计算计算解解:令令)1ln(lim12xxxx xt1 )1ln(11lim20tttt 原式原式20)1ln(limtttt ttt21lim110 )1(2lim0tttt 21 例例7.计算计算解解:)21ln(arcsinlim240 xxxx 利用
4、等价无穷小利用等价无穷小xx2lim0 原式原式24xx 20421limxx 41 xxx 111limxxxeln111lim 原式原式)1(1ln(111lim xxxe1 e)1(111lim xxxe例例8.计算计算 解解:23)1(1lim20tttt例例9.求求 21arcsin2limxxxx 0 解解:令令,1xt 则则原式原式=ttt21120arcsinlim 洛洛1 例例10.计算计算解解:xxxeexxxcossinlimtan0 直接用洛必塔直接用洛必塔法则不方便法则不方便xxxeexxxxcossin)1(limtan0 原式原式利用等价无穷小利用等价无穷小xxe
5、xx tanlim0 xcos1 xx tan例例11.计算计算解解:利用微分中值定理利用微分中值定理 )0(1arctanarctanlim2 ananann 111lim22 nanann 原式原式)1(之间之间与与在在 nana)1(11lim22 nnnan a 例例12.计算计算解解:200sindcoslim2xxxxx 200dcoslimxxtt原式原式2x洛洛20coslimxx x2 x21 这是积分变量这是积分变量例例13.求求 xxxtttttan0sin00dsindtanlim00原式原式=xxxxx20sectansincossintanlim 洛洛xsintan
6、xsinxxtansinxtanxxxx0lim 1 利用等价无穷小利用等价无穷小解解:例例14.已知已知解解:1dsin1limsin0220 xxttbtxxa0limxxbx22sinsin xcos 1cos xa对所给等式左边用洛必塔法则对所给等式左边用洛必塔法则,得得)1cos(lim00 xax1 a1 a再利用再利用,1cos221xx ,sin22xx可知可知 22120lim1xxx xbx2sincos b2 4 b求求 a,b.1 2.导数和微分的计算导数和微分的计算 (约约 18%)主要题型主要题型(1)计算计算复合函数复合函数的导数和微分的导数和微分;(2)计算计算
7、隐函数隐函数的导数和微分的导数和微分;(3)参数方程参数方程求一阶、二阶导数求一阶、二阶导数;(4)用导数定义求用导数定义求特殊点特殊点的导数值的导数值;(5)计算计算 n 阶导数阶导数.(包括包括对数微分法对数微分法)例题分析例题分析例例1.已知已知解法解法1.,1 xyeey1 xyyeeyyey)1(1yeeyyx ,10 yx得得由由210dd xxy等式两边对等式两边对 x 求导求导,得得.0dd xxy求求故故 解法解法2.等式两边取对数等式两边取对数,得得 1ln xyy11 yyy两边对两边对 x 求导求导,得得 yyy 1,10 yx得得由由210dd xxy故故 例例2.已
8、知已知解：解：),1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数，得两边取对数，得 yln两边对两边对 x 求导求导 yybalnxa xb baxaxxbbaybalnxa xb baxln lnlnxbalnlnaxb.y 求求例例3.证明下述函数在证明下述函数在 x=0 连续且可导连续且可导证证:因为因为)(xf)(lim0 xfx210limxex 0)0(f 0)0()(lim0 xfxfxxexx210lim 2limttet 0 0,00,21 xxex又又)(xf在在 x=0 连续且可导连续且可导.思考思考:若函数改为若函数改为 )(xf0,00,1 xxex是否有同样的是
9、否有同样的 结论结论?xt1令 例例4.已知已知解解:xyddy x)1ln(2ttx tyarctan 211t 2121tt 2)1(1t 22ddxytyd)(d x 3)1(2t 2121tt 52)1()1(2tt ,求求.dd,dd22xyxy例例5.设设.,)10(1111lnyxxxxxy 求求解解:ln 原式原式xx21222 xxln)11ln(2 y2111x 2122xx x1 xxxx11122 231sinarcsindddd2xxxy 例例6.设设解解:23dduu vvarcsinddxx1cos1sin2 21x x14sin11 ww2sindd xx1dd
10、 ,23uy ,sin2wv xw1),arcsin(vu .dd,1sinarcsin232xyxy求求 211sinarcsin232x 例例7.设设,ln tytx求.ddnnxy解解:dd xy1 tt1 t dd22 xy12 tt1 t2 txynnn dd例例8.求求解解:xexxf )(方法方法1.xxexexf )(xex )1(xexf )(xex )1(xex )2()1(2xex )1(利用归纳法可证利用归纳法可证xnexxf )()1()()(nn方法方法2.利用莱布尼兹求导公式利用莱布尼兹求导公式 vuvunn)()()()()(nxnexxf vunn)1(vun
11、nn)2(!2)1()(nvu )1()(nxnxenexxnex )1(xnen 1)1(xnenx )()1(的的 n 阶导数阶导数.例例9.设设,11 xxy求求.)(ny解解:121 xy1)1(21 x2)1()1(2 xy3)1()2()1(2 xy)1()()1()()2()1(2 nnxny1)1(!)1(2 nnxn3.不定积分与定积分的计算不定积分与定积分的计算 (约约 28%)主要题型主要题型(1)利用基本积分方法计算不定积分利用基本积分方法计算不定积分;(2)利用基本积分方法及公式计算定积分利用基本积分方法及公式计算定积分;(3)利用简化技巧计算积分利用简化技巧计算积分
12、;(4)广义积分的计算及收敛性判别广义积分的计算及收敛性判别.例题分析例题分析例例1.求求解解:xxeex3d令令,xet )1(d22ttt原式原式 tttd)1(22)1(2t 2t t1 .d2sin4xx 原式原式令令,2xt ttdsin4204 例例2.求求解解:Ct arctanCeexx arctan221434 43 例例3.求求.d)1()2ln(2 xxx解解:原式原式=)2ln(x)11(d x)2ln(11 xx )1)(2(dxxx)2ln(11 xx xxxd2111 )2ln(11 xxCxx 21ln例例4.求求解解:.d3ln31xxx xxdln3231
13、原式原式 32 xxxd31 3ln2 20234dxxx13ln xx 例例5.讨论积分讨论积分解解:20)3)(1(dxxx原式原式 xxxd11312120 023ln21 x xxxxd11d11212110 x232 133443ln2 的敛散性的敛散性.发散发散可见原积分发散可见原积分发散.例例6.求求解解:.d12arctan2211xxxx ,sintx 再令再令奇函数奇函数偶函数偶函数xx d14102 原式原式ttdcos4202 例例7.已知已知解解:对所给等式两边求导对所给等式两边求导,得得,arcsind)(Cxxxfx 211)(xxfx xxxxfxd1)(d2
14、)1(d12122xx 求求.)(d xfxCx 232)1(31利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”,得得 例例8.设设)(xf0,11 xx0,11 xxe,求求 20d)1(xxf(P266 题题10)解解:令令,1 xt则则 20d)1(xxf 11d)(ttf 01d11tet 10d11tt01)1ln(tet10)1ln(t )1ln(e 例例9.已知已知解解:由已知条件得由已知条件得,dsin)(0tttxfx ,0)0(fxxxf sin)(.d)(0 xxf 0)(xfx xxfxd)(0 xxxdsin0 xxxxdsin0 xxxxdsin)(0 0cos x 求求xxfd)(
15、0 2 022)tan1(xxd 20 例例10.求求 解解:xxxdsin10 xxfsin11)(sin 00d)(sin2d)(sinxxfxxfxxxdsin1120 原式原式222)cos(sinxx 2222cossinxx xxxd)tan1(tan1202222 )tan1d(2x 0tan112 x利用利用 P245 例例6(2),即即 xxxd)tan1(sec202222 例例11.利用递推公式计算下列广义积分利用递推公式计算下列广义积分 0d xexIxnn解解:0dxnnexI 01d0 xexnexxnxn 01d xexnxn1 nIn 00d xeIx 0 xe
16、1 0!InIn!n(P256 题题3)二二.两个基本应用两个基本应用 (约约 24%)1.导数的应用导数的应用(约约 16%)主要题型主要题型(1)导数的几何应用导数的几何应用(2)利用导数研究函数形态利用导数研究函数形态(3)求解最值问题求解最值问题(4)利用导数证明恒等式利用导数证明恒等式(5)利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式例例1.设函数)(xf在定义域内可导,)(xfy 的图形如右图所示,则导函数的图形为 .(2001考研考研)(A)(B)(C)(D提示提示:)(xf)(xf在某区间I 内可导,则在I 内0)(xfx是)(xf的极值点0)(xfD例题分析例题分析ln)1ln(
17、)()(1xxxfxf例例2.证明在xxxf)1()(1),0(上单调增加.证证:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令,ln)(ttF在 x,x+1 上利用拉氏中值定理,111xxx)10(1ln)1ln(xxxxx11故当 x 0 时,0)(xf从而)(xf在),0(上单调增.得(L.P95 例4),)0(1111ln)(xxxxf例例3.证明当证明当 x 0 时时,证法证法1:设设则则2)1(1)(xxxf )0(0 x,)(单调递降单调递降xf0)(lim)(xfxfx .1111lnxx 故故 xxx 1111ln,0时时从而从
18、而证法证法2:当当 x 0 时时,xxxln)1ln(11ln )10(1 xx x 11在 x,x+1 上利用拉氏中值定理,得.)1ln(1,0 xxxxx 时时例例4.证明证明:证证:1ln)1ln()1ln(xx)0(1xx )0(11 xxxxx 即即 xxxx )1ln(1（P130 例例1）例例5.证明当证明当.11,10 xexx 时时01 xxexe证证:归结为证归结为证 1)(xxexexf设设)1,0(,0)(xexxfx则则,)1,0()(上单调递减上单调递减在在故故xf,)1,0(时时因此因此 x即即 01 xxexexex 11从而从而,11)(xexfx 若设若设,
19、)1(1)(2xexfx 则则在在(0,1)上不好判别正负号上不好判别正负号,0)0()(fxf提示提示:证明证明 f(0)是是 f(x)在在(,1)上的最大值上的最大值.)(xf说明说明:若改为证明当若改为证明当 x 1 时时,11xex 如何证明如何证明?例例5.设设.1)1(21:,1,0,11 pppxxxp证明证明,)1()(ppxxxf 证证:设设,1,0)(Cxf 则则且且1)1()0(ff,0)1()(11ppxppxxf令21 x得得 12121 pf 比较比较,可知可知,11,021)(min21 pxff 1)(max01,0 xff故不等式成立故不等式成立.xaxxf
20、ln)(有两个根有两个根;例例6.讨论方程讨论方程)0(ln axax有几个实根有几个实根.解解:设设,ln)(xaxxf 令令,0)(1 axfx得得ax1 x)(xf)(xf a1),(a1),0(a101ln a (最大值最大值)注意注意,)0(f,)(f因此因此当当ea10 时时,0)(1 af当当ea1 时时,0)(1 af只有一个根；只有一个根；当当ea1 时时,0)(1 af无实根无实根.(P151 题题5)例例7.求双曲线1yx的曲率半径 R,并分析何处 R 最小?解解:,12xy ,23xy 则 R23)1(2y y 234)1(1x 32x232)(1221xx 利用bab
21、a222 2.21为最小值为最小值显然显然 xR11yoxArDEBh例例8.求内接于半径为求内接于半径为R 的球内的正圆锥体的最大体积的球内的正圆锥体的最大体积.解解:设锥体的底半径为设锥体的底半径为 r,高为高为 h,如图如图 因因 ADB BDE,所以所以,2rhRhr )2(2hRhr 即即圆锥体体积圆锥体体积 hrV231 ,)2(231hRh Rh20 ,)34()(3hRhhV hhVR 2)(34 )(0,0)(34舍去舍去得得令令 hRhhV,0)(3434 RRV 又又Rh34 为极大值点为极大值点 在在(0,2R)内只有唯一驻点内只有唯一驻点,且为极大值点且为极大值点,故
22、为最大故为最大 值点值点,最大值为最大值为 3813234)(RRV 2.定积分的应用定积分的应用 (约约 8%)(1)利用定积分计算面积利用定积分计算面积直角坐标方程参数方程 极坐标方程(2)利用定积分计算弧长及旋转体体积利用定积分计算弧长及旋转体体积(3)定积分的物理应用定积分的物理应用(4)有关定积分的证明题有关定积分的证明题主要题型主要题型例题分析例题分析例例1.求曲线求曲线解解:设切点为设切点为,),(00 xex则切线方程为则切线方程为 0 xey)(00 xxex 令令,0 yx得得,10 x 10Sxe xxed xey 与其通过原点的切线及与其通过原点的切线及 y 轴所围图形
23、轴所围图形 的面积的面积.故所求面积为故所求面积为 01212xeex 121 ee121 exey 例例2.求曲线求曲线解解:022xdexVx xeV22 2x x 21 列表列表:2xxe2x220 xe221xe241xe281 04 )0(xexyx绕绕 x 轴旋转所得轴旋转所得旋转体的体积旋转体的体积.例例3.求抛物线求抛物线xy42 解解:xoxy42xy y与直线与直线xy 所围的图形绕所围的图形绕 y 轴轴旋转一周所得旋转体体积旋转一周所得旋转体体积.44yyyd)(22412 40Vyyyd1614402 4053516131yy 15128 例例4.求由圆求由圆yyx22
24、2 解解:圆的方程为圆的方程为围成的平面图形绕围成的平面图形绕 x 轴旋转轴旋转一周形成的旋转体体积一周形成的旋转体体积.yxyd22 1)1(22 yx 20Vtytxsin1,cos 即即o2yxytttdcos)sin1(4222 利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”2218 22 例例5.证明提示提示:令令0sin)()(2 xxxxfn,得得 x=1,0,判别判别 x=1 为为 f(x)在在,0 上的唯一极大点上的唯一极大点,故故)(max)1(,0 xff 则则)1()(fxf ttttndsin)(102 tdtttn)(102 ,0 x时时)3)(2(1 nn,0时时 x)3)(2(1
25、dsin)()(02 nnttttxfnx例例6.求抛物线求抛物线21xy 在在(0,1)内的一条切线内的一条切线,使它与使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解:设抛物线上切点为设抛物线上切点为)1,(2xxM 则该点处的切线方程为则该点处的切线方程为)(2)1(2xXxxY 它与它与 x,y 轴的交点分别为轴的交点分别为,)0,21(2xxA)1,0(2 xB所求面积所求面积)(xSxx2)1(2122 102d)1(xx324)1(22 xx11MBAyxo)(xS)13()1(22412 xxx,33 x0)(xS,33 x0)(xS且为最小点.
26、故所求切线为34332XY,0)(xS令令得 0,1 上的唯一驻点33 x,1,0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 11MBAyxo三三.一个基本理论一个基本理论 有关中值的问题有关中值的问题(约约 5%)主要题型主要题型(1)讨论函数的零点问题或方程根的问题讨论函数的零点问题或方程根的问题存在性存在性唯一性唯一性 常用常用介值定理介值定理;罗尔定理罗尔定理 利用利用单调性单调性;反证法反证法(2)利用微分和积分利用微分和积分中值定理中值定理证明等式或不等式证明等式或不等式例例1.叙述拉格朗日中值定理并证明之叙述拉格朗日中值定理并证明之.提示提示:利用逆向思维设出满足利用逆向思维设出满足罗
27、尔定理罗尔定理的辅助函数的辅助函数.例题分析例题分析例例2.设常数ba,至少有一正根,且不超过bxaxsin.ba证证:设bxxxxfsin)(,则0)0(bf均为正值,证明方程bbaababaf)sin()()sin(1 baa若,1)sin(ba则0)(bafbax0为一正根,且符合题意.若,1)sin(ba则0)(baf由根的存在定理知,又),0(ba 至少存在一个使0)(f,即所给方程至少有一个不超过ba的正根.且,)(Cxf证明方程证明方程 例例3.已知已知证证:先证先证存在性存在性.,)()(xxfxF 设设,0)0()0(fF01)1()1(fF1,0)(CxF,)1,0(0 x
28、使,0)(0 xF再证再证唯一性唯一性.,1)(,1)(0,1,0)(1 xfxfCxf且且xxf)(在在 0,1 上有唯一的根上有唯一的根.则则 因此因此,即即 00)(xxf,1,01 x假设方程还有一根假设方程还有一根则则 0)()(01 xFxF无妨设无妨设x 0 0 时时,F(x)可导可导,故连续故连续,)(lim)0(0 xFFx xx2 lim0 xxf2)(2 2 aF )0()(xF,2)0(),0)(fCxf且问问 a 取何值时取何值时 F(x)连续连续?0,0,d)(2201xaxxttfxx)(0 xFx时时 显然连续显然连续,.)(2连续连续时时xFa 2.注意综合试
29、题注意综合试题(1)极限与其它知识点的结合极限与其它知识点的结合(2)求导与积分方法的结合求导与积分方法的结合(3)导数应用与积分应用结合导数应用与积分应用结合3.具体要求具体要求全面复习全面复习,抓住三基抓住三基,动手动脑动手动脑,认真细致认真细致.防止低级错误防止低级错误:正负号搞错正负号搞错;不定积分丢不定积分丢 C;微分积分漏写微分积分漏写;dx 导数与积分公式记反导数与积分公式记反;)()(ff抄错题或漏题抄错题或漏题;(4)微分中值定理与积分中值定理结合微分中值定理与积分中值定理结合填空填空:写出下列函数的导数和原函数写出下列函数的导数和原函数函数函数 导函数导函数 原函数原函数 3)1(x x 11xe2 xaxtan2)1(3x 4)1(41x 2)1(1x x 1lnxe22 xe221 aaxlnaaxlnx2secxcosln x 1x 12123)1(32x 谢谢观看！谢谢观看！2020
