1、第四章第四章 理想流体动力学理想流体动力学 和恒定平面势流和恒定平面势流4.1 4.1 欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程采用采用微元体积法微元体积法：在：在运动的理想流体中，运动的理想流体中，取一个正平行六面体取一个正平行六面体流体微团，如图所示。流体微团，如图所示。分析某一瞬时该流体分析某一瞬时该流体微团的受力情况和运微团的受力情况和运动情况。动情况。在某瞬时在某瞬时 t：形心形心M(x,y,z)处的流处的流动速度为动速度为ux，uy，uz ，又设，又设流体密度为流体密度为，流体所受的，流体所受的单位质量力为单位质量力为 ，它在各轴，它在各轴上的分力为上的分力为X、Y、Z。由于。由于理想流体
2、没有粘滞性，不理想流体没有粘滞性，不存存f)1.4(),(tzyxpp 在切应力，故表面力只有动压强在切应力，故表面力只有动压强 p，（与静压强不同，运动，（与静压强不同，运动流体中的压强称为流体中的压强称为动压强动压强），动压强的方向总是沿着作用面，动压强的方向总是沿着作用面的内法线方向，其大小是位置坐标和时间的函数，即的内法线方向，其大小是位置坐标和时间的函数，即M以以 x 方向为例分析受力：方向为例分析受力：1.质量力质量力dxdydzX 2.表面力表面力切向应力切向应力0 0（理想流体）（理想流体）法向应力压强法向应力压强dydzxxpp)2d(dydzxxpp)2d(M根据根据牛顿第
3、二运动定律牛顿第二运动定律，得得x轴方向的运动微分方程轴方向的运动微分方程dtdudxdydzdxdydzXdydzxxppdydzxxppx )2d()2d(整理上式，得整理上式，得x方向上单位质量流体的运动方程，同理，可方向上单位质量流体的运动方程，同理，可推得在推得在 y、z 方向的运动方程：方向的运动方程：dtduxpXx 1dtduypYy 1dtduzpZz 1zuuyuuxuutuxzxyxxx zuuyuuxuutuyzyyyxy zuuyuuxuutuzzzyzxz （4.2）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）写为向量形式：写
4、为向量形式：)3.4()(1uutudtudpf 式中，式中，为哈密尔顿算子，为哈密尔顿算子，kzjyix f 为单位质量力向量。为单位质量力向量。若若ux=uy=uz=0，则欧拉运动微分方程变为流体静力，则欧拉运动微分方程变为流体静力学中欧拉平衡微分方程式（学中欧拉平衡微分方程式（2.3）。一般地，欧拉运动微分）。一般地，欧拉运动微分方程中有方程中有p，ux，uy，uz 四个未知量，还必须联立连续性方四个未知量，还必须联立连续性方程才能求解。程才能求解。)23.3(0 zuyuxuzyx)3.2(ZzpYypXxp伯努利积分条件伯努利积分条件4.2.1 4.2.1 沿流线的伯努利积分和在重力
5、场中的伯努利方程沿流线的伯努利积分和在重力场中的伯努利方程（1 1）恒定流动）恒定流动 （2 2）沿流线积分）沿流线积分（3 3）质量力有势）质量力有势（4 4）不可压缩流体）不可压缩流体xpX 1ypY 1zpZ 1zuuyuuxuutuxzxyxxx zuuyuuxuutuyzyyyxy zuuyuuxuutuzzzyzxz 4.2 4.2 理想流体恒定元流的伯努利方程理想流体恒定元流的伯努利方程1.1.恒定流动恒定流动2.2.沿流线积分沿流线积分分别乘以分别乘以,dx dy dzdxxpXdx 1dyypYdy 1dzzpZdz 1dxzuudxyuudxxuuxzxyxx dyzuud
6、yyuudyxuuyzyyyx dzzuudzyuudzxuuzzzyzx 0 tututuzyxdddxyzxyzuuu流线微分方程流线微分方程dxudyuyxdyudzuzydzudxuxz)(21)(12xxxxxdudzzudyyudxxuudxxpXdx )(21)(12yyyyydudzzudyyudxxuudyypYdy )(21)(12zzzzzdudzzudyyudxxuudzzpZdz 式相加得式相加得3.3.质量力有势质量力有势 )(21)(1)(222zyxuuuddzzpdyypdxxpZdzYdyXdx )4.4(21)()(2dupdZdzYdyXdx dUdzz
7、UdyyUdxxUZdzYdyXdx 2)(2dupddU 力势函数力势函数U(x,y,z)，有势函数存在的力称为，有势函数存在的力称为有势的力有势的力，有该函数存在的力场称为有该函数存在的力场称为势场势场。当力势函数存在时，有：。当力势函数存在时，有：dUZdzYdyXdxdzzUdyyUdxxUdU 又因为又因为zUZ xUX yUY 所以有所以有知识点回顾：（知识点回顾：（3 3）势函数（力函数）势函数（力函数）0)2()(2 udpddU 0)2(2 upUd 4.4.不可压缩流体不可压缩流体积分积分)5.4(22CUpu 理想流体中，沿流理想流体中，沿流线伯努利积分线伯努利积分式中式
8、中C为积分常数。上式表明，在有势力场的作用下，常密为积分常数。上式表明，在有势力场的作用下，常密度理想恒定流中，同一条流线上的度理想恒定流中，同一条流线上的 值保持不变。值保持不变。一般情况下，积分常数一般情况下，积分常数C的值随流线而变。的值随流线而变。Upu 22重力场中理想流体的伯努利方程：重力场中理想流体的伯努利方程：若作用于流体上的质量力只有重力，重力是有势力，则若作用于流体上的质量力只有重力，重力是有势力，则gZYX ,0,0gdzdU 积分积分CgzU 代入（代入（4.5）)6.4(22Cgupz dUZdzYdyXdx)5.4(22CUpu对同一条流线上的任意两点，有对同一条流
9、线上的任意两点，有)7.4(2222222111gupzgupz 4.2.2 4.2.2 由动量定理推导理想液体恒定元流的伯努利方程由动量定理推导理想液体恒定元流的伯努利方程动量定律：动量定律：任一运动物体在某一时段内动量的增量，等于任一运动物体在某一时段内动量的增量，等于该时段内作用于该物体上所有力所作的功之和。该时段内作用于该物体上所有力所作的功之和。如图所示，设一恒定元流，如图所示，设一恒定元流，取过流断面取过流断面1-1，2-2为控制为控制断面。因为是恒定流，所以断面。因为是恒定流，所以微元流管的位置和形状不随微元流管的位置和形状不随时间变化。时间变化。设经过设经过dt时段后，所取得元
10、流段流到断面时段后，所取得元流段流到断面 的位的位置，断面置，断面1-1和和2-2分别移动了距离分别移动了距离 和和 ，22,11 dtuds11 dtuds22 元流的动能会发生变化。元流的动能会发生变化。因为流体只能在管中流动，且因为流体只能在管中流动，且没有汇流和分流，所以没有汇流和分流，所以1-2段元段元流所具有的动能是流所具有的动能是 段动能之和；段动能之和；段元流动段元流动能为能为 段动能之和。段动能之和。因为是恒定流，各空间点的运因为是恒定流，各空间点的运动要素不随时间而变，所动要素不随时间而变，所2111 和和21 2221 和和21 以以 段流体所具有的动能经过段流体所具有的
11、动能经过dt时段后不变。经过时段后不变。经过dt时时段后元流段的动能增量为段后元流段的动能增量为 段流体动能之差，即：段流体动能之差，即：2211 和和2221112222udAdsudAds 或：或：gdQdtugdQdtu222122 )22(2122uugdQdt 计算各作用力所作的功：计算各作用力所作的功：质量力和表面力质量力和表面力质量力所作的功：重力质量力所作的功：重力微元流管重力所作的功相当于在微元流管重力所作的功相当于在 dt 时段里时段里 段流体移到段流体移到 处，该微元段流体重力所作的功，即：处，该微元段流体重力所作的功，即：11 22 )()(212111zzdQdtzz
12、dsdA 表面力（压力）所作的功：表面力（压力）所作的功：)(21222111ppdQdtdtudApdtudAp 式中式中z1，z2 分别为分别为dA1，dA2 的形心高度。的形心高度。根据动能定律：根据动能定律：)()()22(21212122ppdQdtzzdQdtuugdQdt 对于单位重力流体，上式各项除以对于单位重力流体，上式各项除以dQdt，移项后得：，移项后得：)8.4(2222222111gupzgupz 4.3.1 4.3.1 元流伯努利方程的物理意义元流伯努利方程的物理意义单位重力流体伯努利方程：单位重力流体伯努利方程：位能位能 z z总势能总势能 总机械能总机械能 C压
13、能压能 p动能动能 gu224.3 4.3 元流伯努利方程的意义和应用元流伯努利方程的意义和应用元流各过流断面上单位重力流体所具有的总机械能沿程不变。元流各过流断面上单位重力流体所具有的总机械能沿程不变。且在不同过流断面上位能、压能、动能之间可以相互转化。且在不同过流断面上位能、压能、动能之间可以相互转化。)7.4(2222222111gupzgupz 位置位置水头水头 z 总水头总水头 H压强水头压强水头 p测压管水头测压管水头 pH速度水头速度水头 gu22gupzgupz2222222111 4.3.2 4.3.2 元流伯努利方程的几何意义元流伯努利方程的几何意义单位重力流体伯努利方程：
14、单位重力流体伯努利方程：gupzH22 元流各过流断面上总水头元流各过流断面上总水头 沿程保持不变（守沿程保持不变（守恒），且在不同过流断面上位置水头、压强水头、速度水头恒），且在不同过流断面上位置水头、压强水头、速度水头之间可以相互转化。之间可以相互转化。测压管水头线可升可降。测压管水头线可升可降。弯管前端封闭，侧面弯管前端封闭，侧面孔置于测点孔置于测点A，水面，水面上升高度上升高度h1，则，则A点点处水流总能量处水流总能量guhgupHA22212 同一弯管侧面不开孔，前端开孔，置于同一弯管侧面不开孔，前端开孔，置于A点，受弯管水流阻点，受弯管水流阻挡，流速变零，动能全部转化为压能，故挡，
15、流速变零，动能全部转化为压能，故H=h2，则可得，则可得ghhhguhguh2)(22122214.3.3 4.3.3 毕托管原理毕托管原理hM0 和和M点的伯努利方程：点的伯努利方程：hpzgupzMMMM 2200又又 ，所以，所以MMMMppzz 00,)9.4(222ghuguh 或或c 称为毕托管校正系数，一般在称为毕托管校正系数，一般在1.01.04之间。在要求精度之间。在要求精度不是很高的情况下，可取不是很高的情况下，可取c=1.0。但实际上，由于流体具有粘滞性，能量转换时会有损失，故但实际上，由于流体具有粘滞性，能量转换时会有损失，故)10.4(2ghcu 【例例4.14.1】
16、流体绕流如图，上游无穷远处流速为流体绕流如图，上游无穷远处流速为smu/2.1 压强压强 。水流受到迎面物。水流受到迎面物体的阻挡，在物体的表面上的体的阻挡，在物体的表面上的顶冲点顶冲点S处的流速减至零，压强处的流速减至零，压强升高，称升高，称S点为点为滞流点滞流点或或驻点驻点。求滞流点求滞流点S处的压强。处的压强。0 p【解解】设滞流点设滞流点S处的压强为处的压强为pS，忽略粘滞性。通过，忽略粘滞性。通过S点流线点流线上的伯努利方程上的伯努利方程gupzgupzSSS2222 将将 代入上式，整理得：代入上式，整理得：Szz guguppSS2222 m073.008.922.102 故滞流
17、点故滞流点S处的压强处的压强pS为为0.073m(H2O)【例例4.24.2】设用毕托管测量管内设用毕托管测量管内A点点流速。已知压差计左右两流速。已知压差计左右两支水银柱液面高差支水银柱液面高差h=0.02m，毕托管校正系数，毕托管校正系数c=1.0，试求水流，试求水流中中A点的流速。点的流速。【解解】设在毕托管放入前设在毕托管放入前A点处的压点处的压强为强为pA，放入后驻点压强为，放入后驻点压强为pS。由压。由压强分布：强分布：)(11hhphhpSHAg hppgHAS)(hppgHAS)(33108.910)8.928.133(hh6.12)(2 ASAppgcu hgc6.122 0
18、2.06.128.920.1 sm/22.2 4.4 4.4 恒定平面势流的恒定平面势流的 流速势函数和流函数流速势函数和流函数 如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度 在任意时在任意时刻处处为零，刻处处为零，无旋流动也称为有势流动无旋流动也称为有势流动。所以，只有在理。所以，只有在理想流体中才可能存在有势流动，具有粘性的实际流体都不想流体中才可能存在有势流动，具有粘性的实际流体都不会是有势流动。但在某些场合，当粘滞性对流动的影响很会是有势流动。但在某些场合，当粘滞性对流动的影响很微小而可以忽略时，可以将这种实际流体的流动按理想流微小而可以忽略时，可以将这
19、种实际流体的流动按理想流体来处理，以简化分析。这种处理方法对于势流情况也是体来处理，以简化分析。这种处理方法对于势流情况也是适用的。适用的。实际上，在分析某些堰（闸）泄流、波浪运动、边界层外流实际上，在分析某些堰（闸）泄流、波浪运动、边界层外流动以及地下渗流等复杂流动时，都是将它们看作有势流动，动以及地下渗流等复杂流动时，都是将它们看作有势流动，用势流理论来简化处理。用势流理论来简化处理。4.4.1 4.4.1 流速势函数流速势函数 考虑恒定平面（二维）势流，根据流体运动学可知，它考虑恒定平面（二维）势流，根据流体运动学可知，它与无旋流动是等价的。二维无旋流的条件：与无旋流动是等价的。二维无旋
20、流的条件：0,0 xuzuzuyuzxyzyx 0)(21 yuxuxyz 即：即：)11.4(yuxuxy 由数学分析可知，上式是使表达式由数学分析可知，上式是使表达式 成为某一标量成为某一标量函数函数 全微分的充分必要条件，即：全微分的充分必要条件，即：yuxuyxdd )(yx，)12.4(ddddyudxuyyxxyx 函数函数 称为称为速度势函数速度势函数。也可以说，存在速度势函数。也可以说，存在速度势函数 的流动为有势流动。因此，的流动为有势流动。因此，无旋流动又称为有势流动，简称无旋流动又称为有势流动，简称势流。势流。)(yx，由此可得由此可得)13.4(,yxuyux 另一方面
21、，考虑平面流场中的连续方程另一方面，考虑平面流场中的连续方程)14.4(0 yuxuyx)15.4(02222 yx 不可压缩流体无旋流动的连续性方程。不可压缩流体无旋流动的连续性方程。xux yuy 将将 和和 代入上式，得：代入上式，得：02 或：或：或：或：0 （4.16）22222yx 为拉普拉斯算子，上式称为拉普拉斯方程。为拉普拉斯算子，上式称为拉普拉斯方程。从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，是连续方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边
22、界条件下的拉普拉斯方程的问题。由就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。由于拉普拉斯方程是二阶线性齐次偏微分方程，其解服从叠加于拉普拉斯方程是二阶线性齐次偏微分方程，其解服从叠加原理，因此可以用势流叠加方法来求解复杂的势流问题。原理，因此可以用势流叠加方法来求解复杂的势流问题。求解拉普拉斯方程有解析法，如复变函数法、分离变求解拉普拉斯方程有解析法，如复变函数法、分离变量法等。但工程中的势流问题，一般都极为复杂，解析法量法等。但工程中的势流问题，一般都极为复杂，解析法往往无法解决，所以多采用流网法（图解法）、差分法、往往无法解决，所以多采用流网法（图解法）、差分法、有限元、边界元等数值
23、计算方法来求解势流问题。有限元、边界元等数值计算方法来求解势流问题。4.4.2 4.4.2 流函数流函数 根据平面流动的流线方程和连续方程，可导出流函数。根据平面流动的流线方程和连续方程，可导出流函数。二元流动的流线方程：二元流动的流线方程：dyudxuyx 移项，得：移项，得：)17.4(0 dxudyuyx不可压缩流体连续方程：不可压缩流体连续方程：)18.4(0 yuxuyx由全微分理论，此条件是某由全微分理论，此条件是某位置位置函数函数（x，y）存在的充要存在的充要条件条件)19.4(dxudyudyx 对上式积分可得对上式积分可得 )20.4()(),(dxudyuyxyx 式中式中
24、（x，y）称为）称为流函数流函数。不可压缩流体平面流动中必然。不可压缩流体平面流动中必然存在流函数。存在流函数。（x，y）的全微分为：）的全微分为：)21.4(dyydxxd 比较式（比较式（4.19）和（）和（4.20），可得：），可得：)22.4(,xuyuyx 由上可知，在研究不可压缩流体平面流动时，如能求出流函由上可知，在研究不可压缩流体平面流动时，如能求出流函数，即可求得任意一点的两个速度分量，就可简化分析过程。数，即可求得任意一点的两个速度分量，就可简化分析过程。所以流函数是很重要、很有用的概念。所以流函数是很重要、很有用的概念。流函数的主要性质：流函数的主要性质：（1 1）流函数
25、等值线就是流线）流函数等值线就是流线将流线方程式（将流线方程式（4.17）代入（）代入（4.19），得：），得：0 dxudyudyx 即：即：)23.4(),(cyx 由此可见，在同一条流线上各点的流函数为一常数，故等由此可见，在同一条流线上各点的流函数为一常数，故等流函数线即为流线。流函数线即为流线。（2 2）任意两条流线间通过的单宽流量等于该两流函数值之差）任意两条流线间通过的单宽流量等于该两流函数值之差设在两条流线设在两条流线和和 +之之间间有一固定流量有一固定流量dq，因为是，因为是平面问题，在平面问题，在z轴方向可以轴方向可以取一单位长度，所以取一单位长度，所以dq称为称为单宽流量
26、单宽流量。取取ab为两流线之间的单宽过流宽度，线段为两流线之间的单宽过流宽度，线段ab在坐标轴上的投在坐标轴上的投影分别是影分别是ac=dx，bc=dy，流速投影分别为，流速投影分别为ux，-uy，因此，因此)24.4(dxudyudqyx 将（将（4.22）代入，得）代入，得)25.4(ddxxdyydq )22.4(,xuyuyx )26.4(1221 dq积分得：积分得：上述结论无论对理想流还是粘性流、无旋流还是有旋流都上述结论无论对理想流还是粘性流、无旋流还是有旋流都适用。适用。（3）平面势流中流函数与流速势函数一样，满足拉普拉斯方程）平面势流中流函数与流速势函数一样，满足拉普拉斯方程
27、 （只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程）（只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程）平面有势流中平面有势流中0)(21 yuxuxyz 将式（将式（4.22）代入，即可得）代入，即可得)27.4(022222 yx )22.4(,xuyuyx（4 4）流线族与等势线族正交）流线族与等势线族正交0 dxudyudyx xyuudxdym 10 dyudxudyx yxuudxdym 2121 yxxyuuuumm斜率：斜率：斜率：斜率：等流线等流线等势线等势线比较式（比较式（4.13）和（）和（4.22），还可得：），还可得：)28.4(xyuyxuyx 这是平面势流中联系流速势函数和流函数的一对极重
28、要这是平面势流中联系流速势函数和流函数的一对极重要的关系式，在复变函数中，称为柯西的关系式，在复变函数中，称为柯西-黎曼条件。满足这种关黎曼条件。满足这种关系的两个函数称为系的两个函数称为共轭函数共轭函数，所以在恒定平面势流中，流函，所以在恒定平面势流中，流函数的数的与流速势函数与流速势函数是共轭函数。是共轭函数。【例例4.34.3】绘图表示绘图表示 的流线、等势线、流动方向，的流线、等势线、流动方向，并找出在（并找出在（1 1，1 1）上的流速及方向。）上的流速及方向。22yx 解：解：因因22yx 所以所以yyux2 xxuy2 流线是流线是为常数的线，故为常数的线，故为双曲线其坐标计算见
29、表为双曲线其坐标计算见表4.1及图及图4.9。求流速势函数：求流速势函数：)(2,2ycxyyuxx 故故再求对再求对y的偏导数得：的偏导数得：yycxy )(2 与与 比较可知，比较可知，即，即c为常数，为常数，令其等于零，则得令其等于零，则得 。故等势线也是等轴双曲线。故等势线也是等轴双曲线。若若 ，在，在、象限内；象限内；，则，则在在、象限象限内。内。xuyy2 0)(yycxy2 0 0 流动方向：流线的切线方向为流体流速方向，要注意：当流动方向：流线的切线方向为流体流速方向，要注意：当x、y都为正值时，流速分量都为正值时，流速分量ux 和和uy 都为负值，反之为正值。都为负值，反之为正值。在（在（1，1）点处的流速）点处的流速)(42222yxuuuyx 2211222 其斜率其斜率122 yxuudxdyxy所以，流速向量与所以，流速向量与x轴成轴成45o角，方向指向原点。角，方向指向原点。均匀平行流速度场（a,b为常数）速度势函数等势线流函数流线auxbuybyaxdyudxuyxccxbaybxaydxudyuyxccxabyuxyo112323
