1、电路基础第9章 动态电路的分析动态电路的分析9.1 动态电路的方程及初始条件动态电路的方程及初始条件 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。因为电路化过程才能达到新的稳定状态。因为电路能量的储存和释能量的储存和释放都需要一定的时间来完成放都需要一定的时间来完成,这个过程称为电路的过渡过这个过程称为电路的过渡过程。程。对于电容元件和电感元件，由于它们的对于电容元件和电感元件，由于它们的VCR为微分为微分和积分关系，故称为和积分关系，故称为动态元件，含有动态元件的电路称动态元件，含有动态元件的电路称为动态电路。为动态
2、电路。电路基础 产生过渡过程产生的原因产生过渡过程产生的原因:电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L、C电路发生换路电路发生换路换路指换路指电路结构、状态发生突然改变电路结构、状态发生突然改变支路接入或断开支路接入或断开电路参数变化电路参数变化 当电路中含有动态元件时，依据KCL或KVL列写的电路方程不再是代数方程而是微分方程。微分方程的求解涉及到初始条件,即电路中所求变量（电压或电流）在电路状态变化瞬间 t=0+时的值和1阶至（n-1）阶导数在 t=0+时的值，也称为初始值。电路基础稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳态稳态动态动态换路发生很长时间后状态换路发生很长时间后
3、状态描述电路代数方程描述电路代数方程恒定或周期性激励恒定或周期性激励换路发生后的整个过程换路发生后的整个过程描述电路描述电路微分方程微分方程任意激励任意激励电路基础9.1.1 换路与换路定则换路与换路定则 t=0与与t=0的概念的概念认为换路在认为换路在t=0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间.电路的初始条件电路的初始条件)(lim)0(00tfftt)(lim)0(00tfftt初始条件即为初始条件即为 t=0时时u，i 及其各阶导数的值。及其各阶导数的值。0f(t)0()0(ff00)0()0(fft电路基础d)(1)(tCiCtud)(1d)(10
4、0tiCiCd)(1)0(0tCiCut=0+时刻时刻d)(1)0()0(00iCuuCCiucC+-电容的初始条件电容的初始条件0当当i()为有限值时为有限值时电路基础q(0+)=q(0)uC(0+)=uC(0)q=C uC电荷电荷守恒守恒可见：可见：电容电压在换路前后是相等的，即电容电压（电（电荷）荷）不发生跃变（连续变化），所以电容元件储存的电场能不发生跃变。如果电容原来无储能，在换路瞬间满足：，则电容相当于短路。(0)(0)0CCuu电路基础d)(1)(tLuLtid)(1d)(100tuLuLd)(1)0()0(00uLiiLL电感的初始条件电感的初始条件t=0+时刻时刻0d)(1)
5、0(0tLuLi当当u为有限值时为有限值时iLuL+-电路基础 L(0)=L(0)iL(0)=iL(0)LLi 磁链磁链守恒守恒可见：可见：电感电流（磁链）在换路瞬间也是连续的，即不发生跃变，因此电感元件储存的电磁能不发生跃变。在换路瞬间如果：，则电感相当于开路。(0)(0)0LLii换路定率：换路定率：换路前后电容电流和电感电压为有限值的条换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压（件下，换路前后瞬间电容电压（电荷电荷）和电感电流（）和电感电流（磁磁通链通链）不能跃变。电荷与磁通链不能发生跃变更有广泛）不能跃变。电荷与磁通链不能发生跃变更有广泛意义（环路前后电容或电感发
6、生改变情况下应用）。意义（环路前后电容或电感发生改变情况下应用）。L(0+)=L(0)iL(0+)=iL(0)qc(0+)=qc(0)uC(0+)=uC(0)电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。件。换路瞬间，若电感电压保持换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路前后保持不变。换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。电路基础换
7、路定律换路定律电路基础CuLi微分方程的变量通常是和，也称作也称作状态变量状态变量。(0)Cu(0)Li 在求解电路变量的初始值时，先跟据环路定律求出状态变量的初始值和，其它非状态变量的初始值可以在状态变量的初始值求出后电路求得。0t时的等效2.2.电路的初始条件的确定电路的初始条件的确定0t 时刻的等效电路，即换路以后的电路的结构形式，独立电源保留，储能元件用其初始值代替，电容电压的初始值用等置电压源替换，电感电流的初始值用等值电流源替换后的瞬间电路。电路基础SU0t=0t(0)Cu(0)Li(0)Ci(0)Lu1(0)Ru2(0)Ru 例例9-1 图（a）所示电路，已知：为直流电源，设时电
8、路已达到稳态，打开开关K。试求初始条件、和。(a)(b)(c)0换路后等效电路电路基础RLt LLeRItiLtu/0)(dd0)(/0teItiRLtLtI0iL0连续连续函数函数跃变跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；-RI0uLt0iL+uLR可见可见响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关有关;电路基础 秒欧安秒伏欧安韦欧亨RL令令 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 =L/R时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 大大过渡过程
9、时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短(设设 iL(0+)=I0)电感放出能量：电感放出能量：2021LIWL电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：202220022121)()(SLRStLRSLRLIeILtdReItdRtiW电路基础（3）电流 i 和电压表的电压 ；0.189R 0.398HL 35VU 例例9-3 图（a）所示电路，已知励磁绕组的电阻,电感,直流电压50V,内阻RV=5k。电压表的量程为在0t 时，断开开关。求：（1）电流i的初始值；（2）电阻、电感回路的时间常数；Vu（4）开关刚断开时，电压表处的电压。电路基础 解：解：（1）根据图（a），开关
10、断开前，由于电流已恒定不变，电感L相当于短路，故：35(0)A185.2A0.189UiR根据换路定则：(0)(0)185.2Aii（2）换路后的电路如图(b)所示,RL电路的时间常数为：3V0.398s79.6 s0.1895 10LRR 电路基础（4）开关刚断开时，电压表两端的电压为：V(0)-926kVu（3）电流 i 和电压表的电压 ；Vu12560LL(0)185.2Attiiee3-12560t-12560tVV5 10185.2eV=-926ekVuR i 电路基础小结小结一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应应,都是由初始
11、值衰减为零的指数衰减函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。teyty)0()(y(0+)=iL(0+)=iL(0)y(0+)=uC(0+)=uC(0)RC电路电路RL电路电路衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 。一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。线性。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。电路基础9.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应零状态响应：零状态响应：动态元件初始能量为零，由t 0电路中外 加激励作用所产生的响应。SCCddUutuRC方程：方程：解答形式为：解答
12、形式为：CCCuuu 非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解iS(t=0)US+uRC+uCRuC(0)=0+非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程9.3.1 RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态零状态电路基础与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解RCtAeu C变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定的通解的通解0ddCCutuRCSCUu 通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu 特解（强制分量）特解（强制分量）Cu SCCddUutuRC的特解的特解电路基础全解全解uC(0+)=A+US=0
13、A=US由初始条件由初始条件 uC(0+)=0 定积分常数定积分常数 ARCtAeUuutu SCCC)()0()1(S SSCteUeUUuRCtRCt从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：RCteRUtuCiSCdd电路基础-USuCuC“UStiRUS0tuC0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：容电压由两部分构成：连续函数连续函数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）+响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定；大，充大，充电慢，电慢
14、，小充电就快。小充电就快。零状态响应形式零状态响应形式电路基础9.3.2 RL电路的零状态响应与时间常数电路的零状态响应与时间常数LLSdiLRiUdt)1(SLtLReRUi已知已知iL(0)=0，电路方程为：，电路方程为：LLLiii tiLRUS0RUiSLA0)0(tLRAeRUSiLS(t=0)US+uRL+-uLR+-tLReUtiLuSLLdd则则电路基础例例t=0时时,开关开关S打开，求打开，求t 0后后iL、uL的变化规律。的变化规律。解解这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：200300/20080eqRs01.0200/2/e
15、qRLt 0A10)(LiA)1(10)(100LtetiV200010)(100100eqLtteeRtuiLS+uL2HR8010A200300iL+uL2H10AReq电路基础例例t=0开关开关k打开，求打开，求t 0后后iL、uL及电流源的电压。及电流源的电压。解解 这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有：201010eqRV201020Us1.020/2/eqRLiL+uL2HUoReq+t 0A1/)(eq0RUiLA)1()(10tLetiV20)(10100ttLeeUtu)V1020(10510StLLeuiIuiLK+uL2H10
16、2A105+u电路基础9-4 一阶电路的全响应与三要素法一阶电路的全响应与三要素法9.4.1 一阶电路的全响应全响应：全响应：电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源 作用时电路中产生的响应。作用时电路中产生的响应。SddUutuRCCC以以RC电路为例，电路微分方程：电路为例，电路微分方程：iS(t=0)US+uRC+uCR解答为：解答为：uC(t)=uC+uC特解特解 uC =US通解通解tCAeu =RC电路基础uC(0)=U0uC(0+)=A+US=U0 A=U0-US由初始值定由初始值定A0)(0 teUUUAeUutSStSC强制分量强制分量
17、(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)uC-USU0uCUSU0uc全解全解tuc0 全响应全响应 =强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)电路基础全响应的另一种分解方式全响应的另一种分解方式全响应全响应 =零状态响应零状态响应 +零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUuttSC零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应S(t=0)USC+RuC(0)=U0+S(t=0)USC+RuC(0)=U0S(t=0)USC+RuC(0)=0电路基础)0()1(0 teUeUuttSC零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应tuc0US零状态响应零状态响应全响
18、应全响应零输入响应零输入响应U0电路基础9.4.2 三要素法三要素法一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：teAtftf )()(令令 t=0+Atff 0)()0(0)()0(tffAcbftfadd其解答一般形式为：其解答一般形式为：特特解解可求得：可求得：tefftftf )0()0()()(电路基础直流激励时：直流激励时：)()0()(fftfteffftf )()0()()(A三要素的求法：()f 1、响应的终值 ，直流激励下它就是一阶线性常系 数微分方程的特解，也是稳态响应（或强制响应）；(0)f2、初值 ，一般情况下由换路定则确定；eqeqR
19、 C3、时间常数 ，在一阶RC电路中，在一阶RL电路中，式中的 是从电路储能元件两端向/eqeqLR外看过去的戴维南等效电路中的等效电阻。eqR电路基础0t L()i t(1)L()it(2)L()itL()i t例例9-6 图9-15（a）所示电路，在开关闭合前电路已达稳态，t=0时开关S闭合。(1)试用三要素法求，时的 并分解出零输入响应和零状态响应；(2)试应用叠加定理分别求解零输入响应和零状态，全响应(3)比较上述两种求解方法。响应；电路基础24(0)2A66Li(0)(0)2ALLii由换路定则，换路后的电路如图（c），用戴维南定理将其进行等效变换，电路如图（d）。0t L()i t
20、(0)Li解：解：(1)根据题意，所求的时的为全响应。，换路前电路如图（b），有：先求电路基础4s9LR124()4/31.333A263Li 9944()()(0)()1.33321.333(1.3330.667)AtLLLLtti tiiieee 9(1)4(0)2AttLLieie9(2)4()1.333(1)A(1)ttLLieie由图（d），求时间常数 ：t 由图（d），当时电感相当于短路，故：故根据三要素法，有：零输入响应：零状态响应：电路基础(1)()Lit(0)(0)2ALLii44s66/699(1)42AtLie(2)()Lit4s99(2)412(1)1.333(1)A9
21、ttLiee(2)先求零输入响应由(1)已求得,再根据图(e)求得时间常数再求零状态响应，电路如图(f)所示，得：。得：电路基础999(1)(2)444()()()21.333(1)(1.3330.667)AtttLLLi tititeee根据叠加原理，全响应为：（3）上述两种方法求解的结果完全相同，显然，三要素法求解过程更加简便。电路基础V2)0()0(CCuuV667.01)1/2()(Cus2332eqCR033.1667.0)667.02(667.05.05.0 t eeuttC例例 已知：已知：t=0 时合开关，求换路后的时合开关，求换路后的uC(t)解解tuc2(V)0.6670t
22、Ceuuutu)()0()()(CCC1A213F+-uC电路基础例例:t=0时时 ,开关闭合，求开关闭合，求t 0后的后的iL、i1、i2解解 三要素为：三要素为：s5/1)5/5/(6.0/RLA25/10)0()0(LLiiA65/205/10)(LiiL+20V0.5H55+10Vi2i1tLLLLeiiiti )()0()()(三要素公式三要素公式046)62(6)(55 t eetittLV10)5()4(5.0)(55ttLLeetiLtuddA225/)10()(51tLeutiA245/)20()(52tLeuti电路基础例例:已知：已知：t=0时开关由时开关由12，求换路后
23、的求换路后的uC(t)解解:三要素为：三要素为：V12624)(111iiiuCV8)0()0(CCuu4+4i12i1u+10/1011 iuRiueq2A410.1F+uC+4i12i18V+12电路基础teuuutu)()0()()(CCCCV201212812)(Ctteetus11.010eqCR例例已知：已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流时开关闭合，求换路后的电流i(t)。+1H0.25F52S10Vi解解:三要素为：三要素为：V10)0()0(CCuu0)(Cus5.025.02eq1CR电路基础V10)()0()()(2CCCCtteeuuutu0)0()0(LLiiA25
24、/10)(Lis2.05/1/2eqRLA)1(2)()0()()(5ttLLLLeeiiiti)A5)1(2(2)()()(25ttCLeetutiti+1H0.25F52S10Vi电路基础9.5 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应9.5.1 单位阶跃函数定义定义:)0(1)0(0)(t t tt (t)01单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟 )(1)(0)(000tt tt ttt(t-t0)t001电路基础9.5.2 阶跃函数在电路中的应用1、单位阶跃函数可以“起始”任意一个函数。起始一个函数起始一个函数tf(t)0)()sin(00tttt t0延迟一个函数延迟一个函数tf(t)0
25、t0)()sin(tt)()sin(0ttt 电路基础在电路中模拟开关的动作在电路中模拟开关的动作t=0 合闸合闸 u(t)=E)(tt=0 合闸合闸 i(t)=Is)(tSUSu(t)(StUu(t)Is)(tik)(tISu(t)电路基础2、阶跃函数的可以描述单个矩形脉冲、阶梯波和连续矩、阶跃函数的可以描述单个矩形脉冲、阶梯波和连续矩形脉冲。形脉冲。例例 1)()()(0ttttf (t)tf(t)101t0tf(t)0t0-(t-t0)4()3()1(2)(ttttf例例 21t1 f(t)0243电路基础)1()1()()(tttttf例例 41t1 f(t)0)1()1()(tttt
26、)1()1(tt)(tt)4()3()1()()(tt tttf例例 31t1 f(t)0243电路基础9.5.3 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应阶跃响应阶跃响应:激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状 态响应。iC +uCRuC(0=)=0()SUt0t()0t当时得：0)0()0(CCuu可见，阶跃响应是直流激励零状态响应。应为：)()1()(/teUtutSC1sU()t如果，则激励变为单位阶跃，变为：)()1()()(/tetutstC单位阶单位阶跃响应跃响应 电路基础例例9-8 试求图(a)所示电路的阶跃响应 。Li(a)(b)sI0tt解：由图可知直流电流源是在即初始条件为：
27、时刻接入的，0)()(00titiLL求得图(a)电路中a、b左边的诺顿等效电路如图(b)所示，其中：SSIRRRI21121RRReq于是得阶跃响应为：)()1()(00tteItittSLeqL R电路基础9.6 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应9.6.1 二阶电路方程的建立SCCURRRuu1)0()0(RRUiiS1)0()0(，如图（a）所示电路为一个最简单的二阶电路，即RLC串联电路，时开关S0t 0t开关S闭合且电路已达稳态，在打开，时的电路如图（b）所示，由图（a）可以求出电路的初始条件，即：，电路基础根据KVL，有：0LRCuuuCduiCdt 022CCCudtdu
28、RCdtudLC 0tCuRuRiLdiuLdt设状态变量为方程变量，根据，和，代入方程整理得：，该式是一个线性常系数二阶齐次微分方程。可见，含有两个动态元件的电路是由二阶微分方程描述的，所以称为二阶电路。电路基础9.6.2 二阶电路的零输入响应的形式特征方程为：012 RCpLCp解出特征根为：LCLRLRp1)2(221LCLRLRp1)2(222二阶电路的零输入响应有如下三种形式。（1）过阻尼响应 2/RL C12pp当时，特征根为两个不相等的负实根，即，解由两个指数项构成，即：tptpCeAeAu2121电路基础(0)Cu01(0)CtduidtC 1A2A根据初始条件和，可以求出常数
29、和，式即可得出响应 。CuCiCdudt LuLdi dtCu利用和可以求出电路电流和电感电压。和i的响应曲线如图所示。（2）欠阻尼响应2/RL CLR2LC10220当时，特征根为共轭复根，令：，电路基础jp1jp2则共轭复根可表述为：)sincos(21tBtBeutC)(21)(2)(1tjtjttjtjCeAeAeeAeAu即：利用尤拉公式上式可表示为：112BAA212()BAAj式中：。根据三角函数关系，可得到：)sin(teAutC2212ABB12arctan(/)BB式中：，。，电路基础te衰减规律取决于，称为衰减因子，振荡频率为，越大，振荡周期越小，振荡越快。越大衰减越快；
30、（3）临界阻尼响应当2/RL C时，特征方程的根为重根，即：LRpp221方程的解为：tCetAAu)(211A2ACu由初始条件可解得常数和，即可以得出响应。CiCdudt LuLdi dtCu再利用和电压。和i响应曲线和过阻尼情况类似。可以求出电路电流和电感电路基础49636 1022 6 101700 103.76 10RL C(0)15kVCu(0)0Li1700 FC46 10R96 10 HL例例9-10 在受控热核研究中，需要强大的脉冲磁场，它是靠强大的脉冲电流产生的。这种强大的脉冲电流可以由RLC串联放电电路产生，电路如图（b）所示。若已知，试说明电路的放电情况。故电路属于欠阻尼振荡放电情况。解：解：根据已知参数，有：49636 1022 6 101700 103.76 10RL CRLC+-电路基础电路基础
