1、例例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。别是下列各数。1、11113,5,7,9,481632;12112 nnna.,35624515483322 、1-111-2）（）（nnann 已知数列的前几项，已知数列的前几项，观察数列特征，观察数列特征，通常先将各项通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。然后观察各部分与项数的关系，写出通项。一、观察法一、观察法1、写出下列数列的一个通项公式、写出下列数列的一个通项公式:(
2、1)9,99,999,9999,解：解：an=10n1(2)1,11,111,1111,分析：注意观察各项与它的序号的关系分析：注意观察各项与它的序号的关系有有 101，1021，1031，1041解：解：an=(10n1)91 这是特殊到一般的思想，也是数这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！学上重要的思想方法，但欠严谨！分析分析:注意与熟悉数列注意与熟悉数列9,99,999,9999,联系联系)(*Nn练习：练习：121112 34(2)12132 4 6 821 1 1142 3 451 2 4 82(6)1 4 9 1671 1 1 11nnnnnnnnn;(an)
3、(an),(an),(a)n,(a),;(an)(),.(a()（）自自然然数数列列：，奇奇数数列列：，3 3,5 5,7 7,；（）偶偶数数列列：，；（）倒倒数数列列：1 1,，；（）数数列列：；数数列列：数数列列：或或11nna()要要熟熟知知一一些些常常见见数数列列的的通通项项公公式式.二、二、公式法：公式法：(1)等差数列通项公式：等差数列通项公式：(2)等比数列通项公式：等比数列通项公式：例如：例如：(1)(1)(2)(2)1113nnnnaaaaa已知数列，求 1113nnnnaaaaa已知数列，求三、定义法定义法：)2()1(11nSSnSannnn nn nn nn na aS
4、 SS Sa a求出求出 方法一：直接利用方法一：直接利用1 1 n nn nn nn nn nn nn nn na aS SS SS Sa aS SS Sa a再再求求，的的递递推推关关系系式式，求求出出与与得得出出，消消去去方方法法二二：利利用用1 11 1 运用运用 例例2.an的前项和的前项和Sn=2n21，求通项，求通项an解：当解：当n2时，时，an=SnSn1 =(2n21)2(n1)21 =4n2不要遗漏不要遗漏n=1的情形哦！的情形哦！当当n=1时时,a1=1不满足上式不满足上式 因此因此 an=1 (n=1)4n 2(n2,)*nN变式变式.已知已知an中，中，a1+2a2
5、+3a3+nan=3n+1,求通项求通项an解解:a1+2a2+3a3+nan=3n+1 (n1)注意注意n的范围的范围 a1+2a2+3a3+(n1)an1=3n（n2）nan=3n+13n=23n23nnan=而而n=1时时,a1=9（n2）两式相减得：两式相减得：an=9 (n=1)23nn（n2,）*nN 111111112.nnnnnnnnnnnnnnnnaSaaSaSaaaanaaaana 例例2 2：在在数数列列中中，已已知知2 2（n n+2 2)，求求通通项项公公式式解解：2 2（n n+2 2)2 2（n n-1 1+2 2)（n n+2 2)（n n+1 1)（n n+1
6、 1)n n+1 1再再用用逐逐商商叠叠乘乘法法求求出出数数列列的的通通项项公公式式。例例3.3.nnnnnnnaSaanSaa求且项的和，是数列的前中，已知数列,21,0,2 11112,0,0,11S11S1S,1)2(,S21,21:11221121212nnaaannnSSannSSannnaSSnSSaaaSaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnn的通项公式是数列也适合上式时，而时，）（，首项为是等差数列，公差为数列由已知代入上式化简得又得由解 例4.例例5.已知已知an中中,an+1=an+n (nN*),a1=1,求通项求通项an解解:由由an+1=an+n (nN*)得得
7、a2 a1 =1a3 a2 =2a4 a3 =3anan1=n 1an=(anan1)+(an1an2)+(a2 a1)+a1 =(n 1)+(n 2)2)+2+1+1212122-nnnn 四、累加法四、累加法(递推公式形如递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列型的数列)n个等式相加得a1 =1an+1 an=n (nN*)（1）注意讨）注意讨论首项论首项;(2)(2)适用于适用于an+1=an+f(n)型递推型递推公式公式)(1nfaann求法：累加法求法：累加法.),2(12,2,1,11的通项公式的通项公式求数列求数列有有时时当当已知已知中中在数列在数列 nnaanaannn练习
8、：练习：五、累乘法五、累乘法 (形如形如an+1=f(n)an型型)例例6.已知已知an是首项为是首项为1的正项数列的正项数列,且且(n+1)an+12+an+1annan2=0,求求an的通项公式的通项公式解解:(n+1)an+12+an+1annan2=0 (an+1+an)(n+1)an+1 nan=0 an+1+an0 (n1)11nnaann1213223121.nnnnnnn1 an=.112aaa211nnnnaaaa 注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得(n+1)an+1=nan练习练习1：12,3,.nnnnnaaaaa 1 1已已知知中中，求求通通项项123
9、412312342322123211 3,3,3,3 .3,3 3 3333 2 3nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa 解解：以以上上各各式式相相乘乘得得1 2 3(-1)(-1)2(-1)2 2 3 2 3nn nn nna 五、累乘法五、累乘法 (形如形如an+1=f(n)an型型)练习练习2五、累乘法五、累乘法 (形如形如an+1=f(n)an型型)六、构造法六、构造法题型题型1.已知数列已知数列an的首项的首项,以及满足条件以及满足条件an+1=pan+q（p、q为常数）时，求该数列的通项公式为常数）时，求该数列的通项公式.例例7.已知已知 ，根据条件，根据条件
10、 ,确定数列确定数列 的通项公式的通项公式.11a 132nnaana 方法：方法：猜想证明猜想证明：由：由 及及 ,计算出计算出 ,132nnaa11a 25a 317a 453a 5161a 12 31nna 归纳猜想：归纳猜想：;然后用数学归纳法证明猜想正确然后用数学归纳法证明猜想正确(略略).六、构造法六、构造法题型题型1.已知数列已知数列an的首项的首项,以及满足条件以及满足条件an+1=pan+q（p、q为常数）时，求该数列的通项公式为常数）时，求该数列的通项公式.例例7.已知已知 ，根据条件，根据条件 ,确定数列确定数列 的通项公式的通项公式.11a 132nnaana方法方法迭
11、代法迭代法：。12323(32)2nnnaaa22233623(32)62nnaa32332 362na 1232101132(33333)2 31nnnna 六、构造法六、构造法题型题型1.已知数列已知数列an的首项的首项,以及满足条件以及满足条件an+1=pan+q（p、q为常数）时，求该数列的通项公式为常数）时，求该数列的通项公式.例例7.已知已知 ，根据条件，根据条件 ,确定数列确定数列 的通项公式的通项公式.11a 132nnaana方法方法构造法构造法：根据：根据 构造一个新数列构造一个新数列 设设 ，则，则 ，即，即 ，为等比数列，首项为为等比数列，首项为 ，公比为，公比为 3.
12、，.132nnaana13()nnaa132nnaa1113(1)nnaa1131nnaa1na 112a 112 3nna 12 31nna1()11nnqqap app六、构造法六、构造法题型题型1.已知数列已知数列an的首项的首项,以及满足条件以及满足条件an+1=pan+q（p、q为常数）时，求该数列的通项公式为常数）时，求该数列的通项公式.方法总结：方法总结：利用待定系数法利用待定系数法令令 an+=p(an-1+),得到得到从而构造出等比从而构造出等比数列数列 ,辅助求出辅助求出an的通项公式的通项公式1nqap 1021()(,.)nnapaf n q ppq 为为题题数数 且且
13、型型常常六、六、构造法构造法 na例例8.已知数列已知数列 中，中，11112122nnnaaanna，求34，132132136361611131)1(31232)1(3321133221233323),2)()1(31111111111nabbabbbbbbnabnanayxxyxnaaxyxnaanynxaxnannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn为首项得等比数列为公比，以是以则令得与解：令1021()(,.)nnapaf n q ppq 为为题题数数 且且型型常常六、六、构造法构造法 na例例8.已知数列已知数列 中，中，11112122nnnaaanna，求34，1031(,
14、.)nnnapaq q ppq 且且题题为为常常数数型型六、构造法11113210,.nnnnnaaaaa 已已知知数数列列满满足足：求求例例11100()(,)nnnnnaaqq ppqppp p 也也可可化化为为为为常常数数 且且【变式迁移】已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列an的通项公式.nna21解：（1）方法1：（构造法）因为a15且an2an12n1，所以当n2时，an12（an11）2n，所以，所以，,1212111nnnaan,1212111nnnaan所以是以为首项，以1为公差的等差数列.（2）由（1）知,所以a
15、n（n1）2n1.nna21221na1)1(221nann已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列an的通项公式.【变式迁移】例例10：111,21nnnnnaaaaaa 数数列列满满足足:求求通通项项公公式式题型题型4 形如形如 的递推式，的递推式，可采用可采用取倒数方法转化成为取倒数方法转化成为111n11n12111 221a11 2aannnnnnaaaaaa 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列1111(1)221 21nnnnaaan 1nnnmaapaq111nnmmaq ap形如形如 的递推式的递推式11nnnnaapaa例例11：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求1111111 2 211 -211545 -1(-2)-2222 45nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan 解解：是是以以为为首首项项，以以为为公公差差的的等等差差数数列列（）题型题型5题型题型6 取对数法：例12 若数列 中 =3且 （n是正整数），则它的通项公式是 （2012年上海高考题）.na1a21nnaa123nna
