1、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 中考数学 4.5 特殊的平行四边形 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点一 矩形 A组 2019年全国中考题组 1.(2019辽宁大连,9,3分)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF.若AB=4,BC=8,则DF的长 为 ( ) A.2 B.4 C.3 D.2 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 C 四边形ABCD为矩形,AB=4,BC=8, AD=BC=8,CD=AB=4,D=90, 由折叠可得AD=CD=4,D=D=90,FD=FD, 设FD=x,则FD=FD=x,AF=AD-FD=8-x, 在RtADF中,AD2+FD2=A
2、F2, 即42+x2=(8-x)2,解得x=3. FD=3,故选C. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019重庆A卷,5,4分)下列命题正确的是 ( ) A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 答案答案 A 有一个角是直角的平行四边形是矩形,A选项正确; 四条边相等的四边形是菱形,B选项错误; 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,C选项错误; 对角线相等的平行四边形是矩形,D选项错误.故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC
3、=6.若点E、F分别在AB、CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G、 H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为 ( ) A.1 B. C.2 D.4 3 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 C 在矩形ABCD中,AD=BC=6,AB=CD=3, BE=2AE,E是AB的三等分点(靠近点A), G是AC的三等分点(靠近点A), EGBC且EG= BC=2. 同理可得HFAD且HF= AD=2. 四边形EHFG为平行四边形. 又EG与HF间的距离为 AB, S四边形EHFG=2 AB=2. 1 3 1 3 1 3 1 3 思路分析思路分析 首先证明EGBC,EG= BC,同理可
4、得FHAD,FH= AD,进而可得四边形EHFG为平行四边形, 然后求出平行四边形的底和高即可得解. 1 3 1 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019云南,20,8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2OAD. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若AOBODC=43,求ADO的度数. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:AO=OC,BO=OD, 四边形ABCD是平行四边形. (1分) 又AOB=2OAD,AOB是AOD的外角, AOB=OAD+ADO. OAD=ADO. (2分) AO=OD. (3分
5、) 又AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD, AC=BD. 四边形ABCD是矩形. (4分) (2)设AOB=4x,ODC=3x,则OCD=ODC=3x. (5分) 在ODC中,DOC+OCD+CDO=180. 4x+3x+3x=180,解得x=18. (6分) ODC=318=54. (7分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 名师点拨名师点拨 (1)对角线相等的平行四边形为矩形.(2)三角形的内角和为180.(3)三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角之和. ADO=90-ODC=90-54=36. (8分) 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 考点二 菱形 1.(2019贵州
6、贵阳,4,3分)如图,菱形ABCD的周长是4 cm,ABC=60,那么这个菱形的对角线AC的长是 ( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 答案答案 A 由已知及菱形四条边都相等可知AB=BC=1 cm,因为ABC=60,所以三角形ABC为等边三角形, 所以AC=AB=1 cm,故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019内蒙古呼和浩特,4,3分)已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角 线的长为 ( ) A.2 B.2 C.4 D.2 25210 答案答案 C 因为菱形的对角线互相垂直且平分,所以两条对角线的一半与菱形的边形成直角
7、三角形,根据勾 股定理可得,较长对角线长的一半= =2 ,故较长对角线的长为4 ,故选C. 22 3122 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019天津,8,3分)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形 ABCD的周长等于 ( ) A. B.4 C.4 D.20 535 答案答案 C 由点A,B的坐标可得OA=2,OB=1,根据勾股定理可得AB= = ,由菱形的性质可得AB= AD=CD=CB= , 所以菱形ABCD的周长等于4 ,故选C. 22 OAOB5 5 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019贵州贵阳,18
8、,10分)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长AD至点E,使DE=AD,连接BD. (1)求证:四边形BCED是平行四边形; (2)若DA=DB=2,cos A= ,求点B到点E的距离. 1 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AD=BC, 又点E在AD的延长线上,且DE=AD, DEBC,DE=BC, 四边形BCED是平行四边形. (2)DA=DB=2,且四边形ABCD是平行四边形, DA=DB=BC=2, 由(1)知四边形BCED是平行四边形, 四边形BCED是菱形. 连接BE,易知BEDC,BEAB, 在RtABE中,AE=
9、2DA=4,cos A= , AB=AEcos A=4 =1, 1 4 1 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 BE= = , BE= . 22 4115 15 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 5.(2019江西,22,9分)在图1,2,3中,已知ABCD,ABC=120,点E为线段BC上的动点,连接AE,以AE为边向上 作菱形AEFG,且EAG=120. (1)如图1,当点E与点B重合时,CEF= ; (2)如图2,连接AF, 填空:FAD EAB(填“”“AB时,过点F作FNBC于点N,FMBA,交BA的延长线于点M. 图1 在四边形FMBN中,FMB=FNB=90,B=120, MFN=
10、60. 又四边形AEFG是菱形,EAG=120, AF平分EAG,AE=EF. FAE=60,AEF是等边三角形. AFE=60. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 MFN-AFN=AFE-AFN. 即MFA=NFE. 在FMA和FNE中, FMAFNE.FM=FN. 点F在ABC的平分线上. 如图2,当BE=AB时,ABC=120,EAB=AEB=30. 四边形AEFG是菱形,EAG=120, 图2 FAE=FEA=60,AE=EF. , , , FMAFNE MFANFE FAFE 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 AEF为等边三角形,FAB=FEB=90. AF=EF.点F在ABC的平分线上
11、. 当BE13,最小整数n应为14,所以乙的思 路正确,他的n值正确;根据丙的思路,x= (6+12)=9 13,所以丙的思路错误,他的n值 错误.故选B. 22 612180 180 2 2 2 思路分析思路分析 分别按甲、乙、丙三人的思路求出各自x的值,根据题意确定各自所取n的值并与矩形对角线长 进行比较即可得解. 易错警示易错警示 三者思路的正误及n值的判断取决于x值不能小于矩形对角线长. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2017四川绵阳,9,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F 两点.若AC=2 ,AEO=120,则FC的
12、长度为 ( ) A.1 B.2 C. D. 3 23 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 A 四边形ABCD是矩形, OA=OB=OC= AC= . ADBC, OFC=AEO=120, BFO=60. EFBD, BOF=90, OBF=OCB=30, COF=BFO-OCB=30, OF=FC. OF=OB tan 30=1, FC=1, 1 2 3 故选A. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2019贵州贵阳,15,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,DCA=30,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以 DF为斜边作DFE=30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两
13、侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的 运动路径长是 . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 4 3 3 解析解析 连接BD,交AC于点O,矩形ABCD中,DCA=30,三角形AOD为等边三角形.AB=4,AD=OD= ABtan 30= .当点F与点A重合时,点E在OD的中点E1处,DE1= OD= ;当点F与点C重合时,点E(即E2)在 DC的上方.连接E1E2,易知E1DE2=ADC=90,DE1E2=60.DFE=DAE1=30, = = ,又 FDE=ADE1=60,FDA=EDE1,ADFE1DE,DAF=DE1E=60,由此可知点E的运动轨迹 为线段E1E2,E1DE2=
14、90,DE1E=60,E1E2=2DE1= . 4 3 3 1 2 2 3 3 1 DE AD DE DF 1 2 4 3 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 思路分析思路分析 首先确定点E的始点和终点,进而确定点E的运动轨迹,最后利用直角三角形的性质求得结果. 易错警示易错警示 本题的关键是确定点E的运动轨迹,错误得出点E的位置变化也就造成了误解. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC. 若APD是等腰三角形,则PE的长为 . 答案答案 3或 6 5 解析解析 在矩形AB
15、CD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD= =10,AB0),则BG=x-2 ,又知EG=4, 在RtBGE中,利用勾股定理可得x2+(x-2 )2=42,解得x= + .BE= + . 2 22626 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 三、解答题三、解答题(共29分) 8.(2018甘肃张掖甘州一模,23)如图,在ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线,交 CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF. (1)BD与CD有何数量关系?请说明理由; (2)当ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?请说明理由. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析
16、(1)BD=CD.理由如下: AFBC,AFE=DCE. E是AD的中点,AE=DE, 在AEF和DEC中, AEFDEC(AAS),AF=CD, AF=BD,BD=CD. (2)当ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形时,四边形AFBD是矩形.理由如下: AFBD,AF=BD, 四边形AFBD是平行四边形, 要使平行四边形AFBD为矩形,需有ADB=90, BD=CD,需有AB=AC, , , , AFEDCE AEFDEC AEDE 当ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形时,四边形AFBD是矩形. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 9.(2017云南红河州模拟,17)如图,在ABCD中,对角线
17、AC与BD相交于点O,CAB=ACB,过点B作BEAB 交AC于点E. (1)求证:ACBD; (2)若AB=14,cosCAB= ,求线段OE的长. 7 8 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:CAB=ACB,AB=CB, ABCD是菱形,ACBD. (2)在RtAOB中,cosOAB= = ,AB=14, AO=14 = . 在RtABE中,cosEAB= = ,AB=14, AE=16,OE=AE-AO=16- = . AO AB 7 8 7 8 49 4 AB AE 7 8 49 4 15 4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 10.(2019甘肃定西一诊,24)如图,
18、在ABC中,点F是BC的中点,点E是线段AB的延长线上的动点,连接EF,过点 C作AB的平行线CD,与线段EF的延长线交于点D,连接CE、BD. (1)求证:四边形DBEC是平行四边形; (2)若ABC=120,AB=BC=4,则在点E的运动过程中: 当BE= 时,四边形BECD是矩形,试说明理由; 当BE= 时,四边形BECD是菱形. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:ABCD,CDF=FEB,DCF=EBF,点F是BC的中点,BF=CF. 在DCF和EBF中, DCFEBF(AAS),DC=BE, 又DCBE,四边形BECD是平行四边形. (2)2.理由如下: 当四边形
19、BECD是矩形时,CEB=90, ABC=120,CBE=60,ECB=30, BE= BC=2. 4. 四边形BECD是菱形,BE=EC,ABC=120, CBE=60,CBE是等边三角形,BE=BC=4. , , , CDFFEB DCFEBF FCBF 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 11.(2017江西萍乡模拟,15)如图,在ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE 的延长线于点F,连接BF. (1)求证:CF=AD; (2)若CA=CB,ACB=90,试判断四边形CDBF的形状,并说明理由. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证
20、明:CFAB, CFE=DAE,FCE=ADE. E为CD的中点, CE=DE. 在ECF和EDA中, ECFEDA(AAS), CF=AD. (2)四边形CDBF为正方形,理由如下: 在ABC中,CD是AB边上的中线, AD=BD, , , , CFEDAE FCEADE CEDE 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 由(1)知CF=AD, CF=BD. 又CFBD, 四边形CDBF为平行四边形, CA=CB,CD为AB边上的中线, CDAB,即BDC=90, 四边形CDBF为矩形, 等腰直角三角形ABC中,CD为斜边上的中线, CD= AB=BD, 四边形CDBF为正方形. 1 2 栏目引栏目
21、引 栏目索引栏目索引 一、选择题(每小题3分,共12分) 40分钟 50分 1.(2019陕西宝鸡陈仓一模,8)如图,在矩形ABCD中,AD=10,AB=6,E为BC上一点,ED平分AEC,则CE的长为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 B 四边形ABCD是矩形,ADBC,DEC=ADE,又DEC=AED,ADE=AED, AE=AD=10.在RtABE中,BE= = =8, CE=BC-BE=AD-BE=10-8=2.故选B. 22 AEAB 22 106 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2018天津蓟州模拟,11)如图,将矩形纸片ABC
22、D沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C处,点B落在点B 处,其中AB=9,BC=6,则FC的长为 ( ) A. B.4 C.4.5 D.5 10 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 设FC=x,则FD=9-x, BC=6,四边形ABCD为矩形,点C为AD的中点, AD=BC=6,CD=3. 在RtFCD中,D=90,FC=x,FD=9-x,CD=3, 且FC2=FD2+CD2,x2=(9-x)2+32,解得x=5,则FC=5. 故选D. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 3.(2018四川宜宾二模,6)如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DHAB于H,则DH等于 (
23、 ) A. B. C.5 D.4 24 5 12 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 A 四边形ABCD是菱形, AO= AC=4,BO= DB=3,AOB=90, AB= = =5. S菱形ABCD= AC DB=AB DH, DH= = = ,故选A. 1 2 1 2 22 AOBO 22 43 1 2 1 2 AC DB AB 1 8 6 2 5 24 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 4.(2019天津红桥一模,11)如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,P为AB上的一个动点,若AB=2,则PE+PC的 最小值为 ( ) A.1+2 B.2 C.2+ D. 23513
24、栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 D 作点C关于直线AB的对称点Q,连接EQ交AB于P, 则此时PE+PC的值最小,PE+PC的最小值为EQ的长, 过E作EFBC于F,则四边形ABFE是矩形, EF=AB=2,BF=AE= AD=1,QF=3, EQ= = = ,故选D. 1 2 22 EFFQ 22 2313 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 二、填空题二、填空题(每小题3分,共9分) 5.(2019湖北武汉东西湖区模拟,14)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠, 使点B落在矩形内的点F处,连接CF,则CF的长为 . 答案答案 18 5 栏
25、目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 连接BF,设BF与AE交于点H.BC=6,点E为BC的中点,BE=3, 又AB=4,ABE=90,AE= =5, 易知BHAE,BH= , 则BF= .FE=BE=EC,BFC=90, 根据勾股定理得,CF= = = . 22 ABBE 12 5 24 5 22 BCBF 2 2 24 6 5 18 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 6.(2019山西大同二模,15)如图,在正方形ABCD中,F是AD的中点,E是CD上一点,FBE=45,则tanFEB的值 是 . 答案答案 3 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 四边形ABCD为正方形, BA=
26、BC,ABC=90, 把BAF绕点B顺时针旋转90得到BCG,如图, BCG=BAF=90,FBG=ABC=90,AF=CG,BG=BF. 又BCE=90,点G、C、E共线, EBF=45,GBE=45. 在BEF和BEG中, BEFBEG(SAS),FEB=GEB. , , , BEBE EBFGBE BFBG 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 设正方形的边长为2a,CE=x,则AF=CG=DF=a,DE=2a-x,EF=EG=x+a, 在RtDEF中,DF2+DE2=EF2, a2+(2a-x)2=(x+a)2,解得x= a, 在RtBCE中,tanCEB= = =3,tanFEB=3. 2
27、 3 BC EC 2 2 3 a a 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 7.(2018四川南充模拟,16)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将ADE沿AE对折至AFE, 延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论:ABGAFG;BG=GC;AGCF;SFGC=3.其 中正确的结论有 . 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 答案答案 解析解析 正确.理由:AB=AD=AF,AG=AG,B=AFG=90,RtABGRtAFG. 正确.理由:由已知得,EF=DE= CD=2,则EC=4,设BG=FG=x,则CG=6-x,EG=x+2.在RtECG中,根据勾股 定理,得
28、(6-x)2+42=(x+2)2,解得x=3,BG=GC=3. 正确.理由:CG=BG=GF,FGC是等腰三角形,且GFC=GCF.又易知AGB=AGF,AGB+ AGF=180-FGC=GFC+GCF, AGB=AGF=GFC=GCF,AGCF. 错误.理由:由上述可知DE=EF=2,EG=5, SFGC= SEGC= GC EC= 34= 3. 综上,正确的结论有. 1 3 3 5 3 5 1 2 3 5 1 2 18 5 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 三、解答题三、解答题(共29分) 8.(2019贵州毕节3月模拟,24)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD
29、的中点,连接CE,CF,OE, OF. (1)求证:BCEDCF; (2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是菱形, B=D,AB=BC=DC=AD. 点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点, AE=BE=DF=AF,OF= DC,OE= BC,OEBC. 在BCE和DCF中, BCEDCF(SAS). (2)当ABBC时,四边形AEOF是正方形,理由如下: 由(1)得AE=OE=OF=AF, 四边形AEOF是菱形,ABBC,OEBC, OEAB,AEO=90,菱形AEOF是正方形. 1 2
30、1 2 , , , BEDF BD BCDC 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 9.(2019云南昆明模拟,21)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DEAC且DE= AC,连接 AE交OD于点F,连接OE. (1)求证:OE=AB; (2)若菱形ABCD的边长为2,ABC=60,求AE的长. 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:连接EC. 四边形ABCD是菱形,OA=OC= AC,AD=AB. DEAC且DE= AC,DE=OA=OC, 四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形, OE=AD,OE=AB. (2)ACBD,平行四边形OCED是矩
31、形,OCE=90. 在菱形ABCD中,ABC=60,ABC为等边三角形, AC=AB=2,AO= AC=1, 1 2 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 在矩形OCED中,CE=OD= = . 在RtACE中,AE= = . 22 ADAO3 22 ACCE7 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 10.(2018云南昆明盘龙模拟,20)如图,在RtABC中,AD是斜边BC上的中线,过点A作AEBC,过点D作DE AB,DE与AC、AE分别交于点O、点E,连接EC. (1)求证:AD=EC; (2)求证:四边形ADCE是菱形; (3)若AB=AO,求 的值. OD OA 栏目引栏目引 栏
32、目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:AEBC,DEAB, 四边形ABDE为平行四边形,AE=BD. 在RtABC中,AD是斜边BC上的中线, AD=CD=BD,AE=CD, 又AECD,四边形ADCE为平行四边形, AD=EC. (2)证明:由(1)可知,四边形ADCE为平行四边形,且AD=CD, 平行四边形ADCE为菱形. (3)四边形ADCE为平行四边形, AC与ED互相平分,点O为AC的中点. 在RtABC中,AD是斜边BC上的中线, 点D为BC的中点, 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 OD为ABC的中位线,OD= AB, AB=AO,OD= AO, 的值为 . 1 2 1 2 OD
33、OA 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 11.(2018新疆昌吉州阜康二模,20)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DEAC,AEBD. (1)求证:四边形AODE是矩形; (2)若AB=6,BCD=120,求四边形AODE的面积. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)证明:DEAC,AEBD, 四边形AODE是平行四边形. 在菱形ABCD中,ACBD, AOD=90, 四边形AODE是矩形. (2)BCD=120,ABCD, ABC=180-120=60, AB=BC=6,ABC是边长为6的等边三角形, OA= 6=3,OB= 6=3 . 四边形ABCD是
34、菱形,OD=OB=3 , 四边形AODE的面积=OA OD=33 =9 . 1 2 3 2 3 3 33 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 1.(2018黑龙江哈尔滨模拟,24)在正方形ABCD中,P是射线BD上的一点,PECD,PFBC,垂足分别是E、F, 连接AP、EF. (1)如图1,AP、EF的关系为 ,并证明你的结论; (2)如图2,AP、EF的上述关系是否仍然成立?并证明你的结论. 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)结论:AP=EF,APEF. 证明过程如下:如图,延长EP交AB于点G,延长AP交EF于点H. 四边形ABCD为正方形,C=ABC=90, 又PFBC,PE
35、CD,四边形PFCE为矩形,FC=PE. 同理,四边形BCEG也为矩形,PF=EC=GB, 又BD平分ABC,GBD=PBF=45, PG=BG=PF=BF. 又AB=BC=CD,AG=FC=PE. 在PAG和FEP中, PAGFEP(SAS),APG=EPH=EFP,PA=EF. EFP+PEH=90,EPH+PEH=90, , 90 , , AGPE AGPEPF PGPF 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 APEF. 综上,AP、EF的关系为AP=EF,APEF. 图 (2)成立.证明过程如下: 如图,延长PE交BA的延长线于点G,设AP交EF于点H. 图 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引
36、四边形ABCD为正方形,BCD=ABC=90, 又PFBC,PECD,四边形PFCE为矩形,PE=CF. 同理,四边形BCEG也为矩形,PF=EC=GB, 又BD平分ABC,GBD=PBF=45, PG=BG=PF=BF.又AB=BC,AG=FC=PE. 在PAG和FEP中, PAGFEP(SAS), APG=EFP,PA=EF. EFP+PEH=90,EPH+PEH=90,APEF. 综上,AP、EF仍然满足AP=EF,APEF. , 90 , , AGPE AGPEPF PGPF 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 2.(2019辽宁营口一模,25)如图,已知在矩形ABCD中,AD=8,CD=
37、4,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位 长的速度向点A运动,同时点F从点C出发,沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动,当B,E,F三点共线时, 两点同时停止运动.设点E运动的时间为t(秒). (1)当t为何值时,两点同时停止运动? (2)设四边形BCFE的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围; (3)当t为何值时,以E,F,C三点为顶点的三角形是等腰三角形? (4)当t为何值时,BEC=BFC? 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 解析解析 (1)当B,E,F三点共线时,两点同时停止运动,如图所示. 由题意可知ED=t,BC=8,FD=2t-4,FC=2t. EDBC,
38、FEDFBC. = . = .解得t=4. 当t=4时,两点同时停止运动. (2)ED=t,CF=2t,S=SBCE+SECF= 84+ 2tt=16+t2.S=16+t2(0t4). (3)若EF=EC,则点F只能在CD的延长线上,此时2t4.EF2=(2t-4)2+t2=5t2-16t+16,EC2=42+t2=t2+16, 5t2-16t+16=t2+16.t=4或t=0(舍去). FD FC ED BC 24 2 t t 8 t 1 2 1 2 栏目引栏目引 栏目索引栏目索引 若EC=FC,则点F在CD的延长线上,此时2t4.EC2=42+t2=t2+16,FC2=4t2,t2+16=
39、4t2,t= ,满足2t 4. 若EF=FC,则点F在线段CD上,此时0t2.EF2=(4-2t)2+t2=5t2-16t+16,FC2=4t2,5t2-16t+16=4t2. t1=8+4 (舍去),t2=8-4 . 综上,当t的值为4, ,8-4 时,以E,F,C三点为顶点的三角形是等腰三角形. (4)在RtBCF和RtCDE中, BCF=CDE=90, = =2,RtBCFRtCDE. BFC=CED.ADBC,BCE=CED. 若BEC=BFC,则BEC=BCE,BE=BC. BE2=42+(8-t)2=t2-16t+80,BC=8,t2-16t+80=64. t=8+4 (舍去)或t=8-4 . 当t=8-4 时,BEC=BFC. 4 3 3 33 4 3 33 BC CD CF ED 33 3
