1、实际问题与二次函数第一课时（1）对于任意一个二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a0），可以利用配方把它化为顶点式 ，进而写出顶点坐标（h，k）和对称轴x=h。2()ya xhk（2）求二次函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴的交点，即令y=0即可；其与x轴交点即为（x1，0）、（x2，0）；求二次函数y=ax2+bx+c（a0）与y轴的交点，即令x=0即可；其与y轴交点即为（0，c）。（3）将二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a0）转化成顶点式 来求二次函数最值，当x=h时，y取最值为k。2()ya xhk请你画一个周长为24厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？
2、谁的面积最大？探究一：最大面积活动1创设情境，发现问题。重点知识画周长一定的矩形时，我们会发现矩形长、宽、面积不确定。要求其面积的最大值，我们需要用二次函数的知识去解决。例1.李老师计划用长为24米的篱笆，围成长方形花圃，他想请同学们帮他思考一下如何围才能使围成的花圃面积最大，最大值是多少？设矩形宽为x厘米，则长为 厘米。当x=6时，S取最大值为36。探究一：最大面积活动2师生共研，探索解法。重点知识242122xx(12)Sxx练习1.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化。当l为多少米时，场地的面积S最大？【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列
3、出面积的关系式是本题关键。解：设矩形一边长l，则长为 厘米。602302ll（）当l=15时，S取最大值为225。(30)Sll探究一：最大面积重点知识例2.（例1变式）后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米的墙可以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？探究一：最大面积活动3变式应用重点知识解：设矩形长为x（x8）厘米，则宽为 厘米。当x=8时，S取最大值为64。242x22411(24)(12)72222xSxxxx 10,82ax 且例2.（例1变式）后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米墙可以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？【思路点拨】能用未知数表示清楚面积
4、问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键。考虑实际问题中靠墙所造成的易错点，最值不是由顶点处取到，学会区间求最值。探究一：最大面积活动3变式应用重点知识练习2.如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式时考虑实际问题中靠墙所造成的易错点。解：与墙垂直的一边为x米，则 060-2x32。14x30 当x=15时，S取最大值为450。(602)Sxx探究一：最大面积重点知识小结：在实际问题中求解二次函数的最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据
5、自变量的取值范围来确定。通过前面问题的对比，希望你们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值。探究一：最大面积重点知识例1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住（如下图）。设绿化带的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m。（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动1基础性例题解：（1），自变量x的取值范围是0
6、x25；24012022xyxxx 例1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住（如下图）。设绿化带的BC 边长为 x m，绿化带的面积为y m。（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动1基础性例题（2）2025，当x=20时，y有最大值200，即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大。22112020+20022yxxx 解：【思路点拨】中间线段用x的代数式来表
7、示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内。练习：某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m（图中所有线条长度之和），当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01 m）探究二：利用二次函数求几何最值的训练解：由题意可知 ，化简得 ，设窗户的面积为S m2，则 ，S有最大值。当x1.25 m时，S最大值4.69（m2），即当x1.25 m时，窗户通过的光线最多。此时，窗户的面积是4.69 m2。1426152yxx1564xxy2211561523242xxSxxxx 30a 练习：某窗户如图所示，它
8、的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m（图中所有线条长度之和），当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01 m）探究二：利用二次函数求几何最值的训练例2.如图，在矩形ABCD中，AB2 cm，BC4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BPPQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BPx cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm，试分别写出0 x2和2x4时，y与x之间的函数关系式。探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动2提升型例题【思路点拨】根据题目题意画出相关的图形
9、，充分利用几何关系来求解同时写出自变量x的取值范围内。解：如图，阴影部分的重叠部分的面积为y当0 x2时，如下面的左边的图形所示，PQ=BP=x，此时y=PQ=x，其中0 x2；当2x4时，如下面的右边的图形所示，PQ=BP=x，此时PC=BC-BP=4-x，其中2x4；2(4)28yPC CDPCABxx，其中2x4；综上所述：2022824xxyxx，探究二：利用二次函数求几何最值的训练练习：如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？【思路点拨】根据图形之间的关系，表示出两个正方形的边
10、长，进而表示出两个正方形的面积之和，转化为二次函数求最值。解：令DE=x，AD=a，则AE=a-x，所以面积之和 ，所以当 时，面积最小，即E应选在AD的中点。222222()222()22aaSxaxxaxax2ax 探究二：利用二次函数求几何最值的训练例3.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米。（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建
11、甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？探究二：利用二次函数求几何最值的训练例3.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米。（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（1）横向甬道的面积为：（2）依题意：整理得：解得：x1=5，x2=150，（舍去）故甬道的
12、宽为5米。21(120180)150()2xx cm2112 801502(120180)8028xxx21557500 xx解：探究二：利用二次函数求几何最值的训练（3）设建设花坛的总费用为y万元。则：当 时，y的值最小。根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，当x=6米时，总费用最少。即最少费用为 238.44万元。例3.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米。（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成
13、正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？解：2210.02(120 180)80(2310)5.72 0.040.5240yxxxxx 6.252bxa 探究二：利用二次函数求几何最值的训练【思路点拨】想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形。解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式。探究二：利用二次函数求几何最值的训练练习：如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120，
14、两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_时，横断面面积最大，最大面积是_。【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的关系式，进而列式转化为二次函数求解。探究二：利用二次函数求几何最值的训练练习：如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120，两腰与下底的和为4 m，当水渠深x为_时，横断面面积最大，最大面积是_。两腰与下底的和为4得到：下底为解：底角为120，则高和腰之间的夹角为30，水渠深度为 x，则得到：，腰长33AEx2 33ABCDx4 343BCx所以上底为设横断面的面积为S，则2 343ADx21()342SADBC BExx 2 3303x，对称轴为当 时，横断面面积最大
15、为 。2 33x 4 33探究二：利用二次函数求几何最值的训练例4.在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于8平方厘米？（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）t为何值时S最小？求出S的最小值。探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动3探究型例题例4.在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P
16、从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于8平方厘米？探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动3探究型例题解：（1）设x秒后PBQ的面积等于8，则AP=x，QB=2x，PB=6x。（6x）2x=8，解得x1=2，x2=4，所以2秒或4秒后PBQ的面积等于8。12例4.在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P
17、、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动3探究型例题解：（2）第t秒钟时，AP=t cm，故PB=（6-t）cm，BQ=2t cm，故212(6)62PBQSttt 6 1272ABCDS矩形272672 06.PBQSSttt 例4.在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就
18、停止移动，回答下列问题：（3）t为何值时S最小？求出S的最小值。探究二：利用二次函数求几何最值的训练活动3探究型例题22672=363Sttt 当t=3秒时，S取最小值为63。解：（3）练习：曾经有这样一道题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？（该题答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m）我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与该例题比较，改变窗户形状后，窗户透
19、光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明。探究二：利用二次函数求几何最值的训练解：（1）由已知可以得到：16 1 1 15224AD 此时窗户的透光面积55144S （2）设AB=x，则734ADx7304x1207x设窗户的面积为S，由已知可以得到2277769(3)3()44477SAB ADxxxxx 当 时，67x max91.057S与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大。探究二：利用二次函数求几何最值的训练知识梳理2(0)yaxbxc a2()(0)ya xhk a12()()(0)ya xxxxa1.二次函数的三种形式：一般式交点式顶点式2.二次函数的三种形式
20、之间的相互转化：一般式可以利用配方化为顶点式 ，进而可以得到顶点坐标公式 ，对称轴 。交点式可以先化为一般式再配方转化为顶点式，有时也可以利用交点式快速的求对称轴 。2224()(0)24bacbyaxbxca xaaa24(,)24bacbaa2bxa 122xxx3.利用二次函数求矩形周长一定的情况下，矩形面积的最大值，在求解的过程中需要标注自变量x的取值范围，求解的过程中注意是顶点最值还是区间最值，这里往往难度较大。重难点归纳1.利用二次函数的一般式求最值，有两种思路，第一可以先通过配方2224()(0)24bacbyaxbxca xaaa第二可以直接利用顶点坐标公式 来求解。24()2
21、4bacbaa，利用交点式求二次函数的最值，一般是快速的利用对称轴的方程 来求对称轴，进而求解。122xxx把一般式化为顶点式，再利用顶点式求函数的最值；2.实际问题中已知矩形的周长来求解面积最大，此时需要结合题意求解相关的边长，列出方程或是等式转化为二次函数的形式，但需要注意实际问题中往往需要注明自变量x的取值范围。3.强化利用二次函数求面积时，应该用一个变量来表示另一个变量，进而表示出面积，写出自变量的取值范围，再结合二次函数求最值的方法来求解，在求解的过程中应该注意是顶点最值还是区间最值，最后还需检验解的合理性。4.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键。重难点归纳谢 谢
