1、二、立体几何问题的类型及解法二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；、直线的方向向量；2、平面的法向量、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量一、引入两个重要空间向量 练习练习:在棱长为在棱长为2的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中,O是面是面AC的中心的中心,求面求面OA1D1的法向量的法
2、向量.A AABCDOA1B1C1D1zxy解：以解：以A为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面设平面OA1D1的法向量的法向量为的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面得平面OA1D1的法向量的坐标的法向量的坐标n=(2,0,1).取取z=120 xzy解得解得:2020 x yzx yz 得得:1OA1OD 由由 =（-1，-1，2），=（-1，1，2）练习练习 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1,E是
3、是PC的中点，的中点，求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDP PE E解：如图所示建立空间直角坐标系解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2PE依依题题意意得得D DB B(1 1,1 1，0 0)1 1(0,)2 2DE DB=(1,1，DB=(1,1，0)0)XYZ设平面设平面EDB的法向量为的法向量为(,1)nx y,nnDEDB 则1101,1,1220ynxy于是 因为方向向量与法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与
4、平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系.用向量方法解决几何问题二、立体几何中的向量方法二、立体几何中的向量方法平行关系平行关系mlab一一.平行关系：平行关系：au aAC axAByAD v u 例例1.用向量方法证明用向量方法证明 定理定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行则这两个平面平行已知已知 直线直线l与与m相交相交,lm,lm.求证 l,ma,.bv 证明 取的方向向量取,的法向量u,lm,av bv v u ab,b 又a 不共
5、线 所以v是 的一个法向量于是 v 同时是、的一个法向量 .例例2 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形,PD底面底面ABCD，PD=DC=6,E是是PB的的中点，中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：求证：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),A AE E=(-3 3,3 3,3 3),F FG G=(-2 2,2 2,2 2)32 AE=FGAE=FGAE/FG 证证 ：如图所示：如图所示,建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系./AEFGAEFGAEAE与与FGFG不共线不
6、共线几何法呢？几何法呢？例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的的中点，中点，(1)求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG解解1 立体几何法立体几何法ABCDP PE EXYZG解解2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2APE依依题题意意得得G1 11 1(,，(,，0)0)2 22 211(1,0,1),
7、(,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/ABCDP PE EXYZ解解3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,),2 2APE依依题题意意得得B B(1 1,1 1，0 0)(1,0,1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0,)2 2DE DB=(1,1，DB=(1,1，0)0)设平面设平面EDB的法向量为的法向量为(,1)nx y,nnDEDB 则1101,1,1220ynxy
8、于是0PA nPAn ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面练练 如图，已知矩形如图，已知矩形和矩形和矩形所在平面相交于所在平面相交于ADAD，点，点分别在对角线分别在对角线上，且上，且求证：求证：ABCEFDMNABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面练练 如图，已知矩形如图，已知矩形和矩形和矩形所在平面相交于所在平面相交于ADAD，点，点分别在对角线分别在对角线上，且上，且求证：求证：ABCEFDMN几何法呢？几何法呢？ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面练练
9、 如图，已知矩形如图，已知矩形和矩形和矩形所在平面相交于所在平面相交于ADAD，点，点分别在对角线分别在对角线上，且上，且求证：求证：2133DCDE MNMDDEEN 证明2233DBDEEA 22()()33DADCDEDADE ABCEFDMN MNDCDE 所以、共面/MNCDE故故平平面面MNCDE 但但平平面面几何法呢？几何法呢？三、立体几何中的向量方法三、立体几何中的向量方法垂直关系垂直关系(1)lm0aba b 二、垂直关系：二、垂直关系：lmab(2)l /auau lauABC3 （）0uvu v u v 例1 四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求
10、证MNAB,MNCD.证1 立几法 例1 四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB,MNCD.证2MAADDN 1122ABADDC 11()22ABADACAD 111222ABACAD 111()0222MN ABABACADAB MNAB,同理 MNCD.例1 四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MNAB,MNCD.证2 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.xyZxy(0,0,0)B(0,2,0)D(3,1,0)C32 6(,1,)33A3 16(,)623M3 3(,0)22N 练习练习 棱长为棱长为a a 的正方体的正方
11、体 中中,E,E、F F分别是棱分别是棱AB,OAAB,OA上的动点，且上的动点，且AF=BE,AF=BE,求证：求证：CBAOOABC OCBAOAB CEFZ11A FO Exy 解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.1(,)A a a a(0,0)Fab1(0,0,)Oa(,0)E ab a1(,)A Faba 1(,)O Eab aa 110A F O E 11A FO E 1A FO EABCDPEFXYZ-,.(2):.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2.四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正方方形形底底面面点点是是的的中中点
12、点 作作交交于于点点求求证证平平面面 证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.)1,1,1(PB021210故DEPB)21,21,0(DEDEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以ABCDPEFXYZ-,:.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2.四四棱棱锥锥中中底底面面是是正正方方形形底底面面点点是是的的中中点点作作交交于于点点求求证证平平面面 证2：A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 练习练习 正方体正方体中，中，E、F分别分别平面平面ADE.证
13、明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1，为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0,1)2D F 00DADE 则则，所以所以1D FADE 平平面面DADE 则则，A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 练习练习 正方体正方体中，中，E、F分别分别平面平面ADE.证明证明2：,E,E是是AA1 1中点，中点，1111DCBAABCD 例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD.证明：证明：E求证：求证：平
14、面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0,1)EB (0,2,1)ED 设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是(,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1(1,1,1)vCA 0,u v 平面平面C1 1BD.平面平面EBD 证明证明2：E,E,E是是AA1 1中点，中点，1111DCBAABCD 例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD.求证：求证：平面平面EBD-,:P ABCDABCDPDABCD GPB 练练习习
15、四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正方方形形底底面面是是上上的的点点求求证证 平平面面GACGAC平平面面PDBPDBABCDPXYZG 例例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E 平面DBC1;(2)AB1 平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy 解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则 A(-1,0,0),B(0,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,从而A1
16、E 平面DBC1(2),而 n=-2+0+2=0 AB1 平面DBC1330302yzx02yzx)1,0,2(1EA)2,3,1(1AB1AB 例例4 正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别分别是是BB1、CD的中点的中点,求证求证:平面平面AED平面平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,0202yzx021yzx平平面AED平面A1FDn1 n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得)1,0,2(A
17、E)0,2,0(AD于是 ，设：正方体的棱长为2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值线的方向向量模的
18、比值.nabAB,|nnABnnABd 例例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1 解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得 n=(-1,-1,2).,异面直线AC1与BD间的距离)0,1,1(),1,1,1(1BDAC得取解得2,22,00zzyzxyxzyx)0,0,1(AB66411|001|nnABd(2)点到平面的距离 A为平面外一点(如图),n为平面的法向量,
19、过A作平面的斜线AB及垂线AH.=.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值的比值.|,cos|sin|nABABABAH|nABnABAB|nnABnABH|nnABd 例例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距离.2zxyCC1A1B1AB 解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则 C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).设面A1BC的法向量n=(x,y,z
20、),由 得 n=(-,0,1).,或 ,或 ,可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.22),0,1,0(),2,0,1(1CBCA得取得,1,02,002zyzxyzx)2,0,0(1BB2363212|200|1nnBBd)0,1,1(11BA363212|002|11nnBAd)2,1,0(1CB363212|200|1nnCBd 会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,ABC=60,侧棱PA底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离.xzyPBEADC
21、F解:以A为原点、AB为x轴、ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F 为CD的中点,于是 A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2 ,0),C(2,2 ,0),D(-2,2 ,0),P(0,0,4),E(0,0,2).设面BED的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(1,2).n 2+6-8=0，故PC面BED,PC到面BED的距离就是P到面BED的距离,.333),2,32,2(),2,0,4(DEBE得取得,2,232,02322024zzyzxzyxzx)4,32,2(PC3PC)2,0,0(EP24314|nnEPd 空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题量运算解决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。
