1、 高考数学试题研究的高考数学试题研究的 几种视角几种视角江苏省洪泽中学江苏省洪泽中学 胡国生胡国生n1.1.研究试题的必要研究试题的必要n2.2.研究试题的视角研究试题的视角 视角一：研究试题的立意视角一：研究试题的立意 视角二：研究试题的解法视角二：研究试题的解法 视角三：研究试题的背景视角三：研究试题的背景 视角四：研究试题的变式视角四：研究试题的变式 视角五：研究试题的导向视角五：研究试题的导向n3.3.小结小结 高考提出了三个有利于：即有利于推进基础教育课程高考提出了三个有利于：即有利于推进基础教育课程改革，有利于中学教学，有利于高校选拔人才。改革，有利于中学教学，有利于高校选拔人才。
2、各省的各省的高中数学课程标准教学要求高中数学课程标准教学要求是高考命题的基本准则，是高考命题的基本准则，是制定是制定考试大纲考试大纲以及分省适用的以及分省适用的考试说明考试说明的依据。的依据。高考数学试题是命题专家依据高考数学试题是命题专家依据课程标准课程标准，落实，落实考试考试说明说明，立足教材，科学设计的典型题。它不仅在一定程，立足教材，科学设计的典型题。它不仅在一定程度上浓缩了课本主要的数学基本知识和基本技能，而且蕴度上浓缩了课本主要的数学基本知识和基本技能，而且蕴含着丰富的思想方法，最终呈现在我们面前的是情境新颖，含着丰富的思想方法，最终呈现在我们面前的是情境新颖，构思独特，设问别致的
3、高考题。这其中包含着命题专家付构思独特，设问别致的高考题。这其中包含着命题专家付出的大量心血，但命题者研究设计的路径却隐藏于题外，出的大量心血，但命题者研究设计的路径却隐藏于题外，若解后不注意总结、反思，则高考命题的基本走向将难以若解后不注意总结、反思，则高考命题的基本走向将难以被捕捉，试题考查的深度与广度难以被挖掘，久而久之，被捕捉，试题考查的深度与广度难以被挖掘，久而久之，只能是广种薄收，解题就变成一场游戏一场空。只能是广种薄收，解题就变成一场游戏一场空。1.研究试题的必要 美国著名作家海明威在谈到阅读欣赏时，曾经讲过一个美国著名作家海明威在谈到阅读欣赏时，曾经讲过一个“冰山冰山理论理论”
4、。他认为人们看到的小说只是冰山露在海面上的八分之一，。他认为人们看到的小说只是冰山露在海面上的八分之一，即海面下的八分之七得让读者自己去揣摩，小说表象后面包含极为即海面下的八分之七得让读者自己去揣摩，小说表象后面包含极为丰富的内涵，它们是小说广阔的背景材料，要真正读懂小说，就必丰富的内涵，它们是小说广阔的背景材料，要真正读懂小说，就必须掌握和了解这些材料。这段话在一定程度上也反映研究性数学的须掌握和了解这些材料。这段话在一定程度上也反映研究性数学的意义之所在。一道道精彩纷呈的高考题，就如一道道靓丽的风景，意义之所在。一道道精彩纷呈的高考题，就如一道道靓丽的风景，需要我们仔细品味、欣赏。认真去感
5、知问题发生、发散、发展过程，需要我们仔细品味、欣赏。认真去感知问题发生、发散、发展过程，明晰问题来龙去脉，寻求问题解决办法，探求结论推广可能，揭示明晰问题来龙去脉，寻求问题解决办法，探求结论推广可能，揭示问题本质特征很有必要。市教研室冯建国专家多次在高三数学研讨问题本质特征很有必要。市教研室冯建国专家多次在高三数学研讨会上强调：加强对高考试题研究，它不仅仅是命题专家的事，更应会上强调：加强对高考试题研究，它不仅仅是命题专家的事，更应该是我们高三数学教师一件常态性的工作。该是我们高三数学教师一件常态性的工作。教而不研则浅，研而不教而不研则浅，研而不教则空。只有研究深入了、透彻了，你才能领会高考意
6、图，向学生教则空。只有研究深入了、透彻了，你才能领会高考意图，向学生讲清楚试题的实质，发挥试题功能最大化。讲清楚试题的实质，发挥试题功能最大化。2.研究试题的视角 本文以本文以20132013年江苏省高考数学解析几何题为例，年江苏省高考数学解析几何题为例，结合结合我校高三数学复习平时一些具体做法，我校高三数学复习平时一些具体做法，谈一谈高考数学试谈一谈高考数学试题研究的几种视角。题研究的几种视角。题目：如图，在平面直角坐标系题目：如图，在平面直角坐标系xoyxoy中，中，点点A A（0 0，3 3），直线），直线l l：y y=2=2x x4 4，设圆，设圆C C的半径为的半径为1 1，圆心在
7、，圆心在l l上。上。（1 1）若圆心）若圆心C C也在直线也在直线y y=x x1 1上，过上，过A A点作圆点作圆C C的切线，求切线的方程；的切线，求切线的方程；（2 2）若圆）若圆C C上存在点上存在点M M，使，使MA=2MOMA=2MO，求圆心，求圆心C C的横坐标的横坐标a a的的取值范围。取值范围。视角一：研究试题的立意视角一：研究试题的立意 立意就是试题要考查的目的。高考数学试题的命制一立意就是试题要考查的目的。高考数学试题的命制一般以立意为中心，主要考查知识立意和能力立意两方面。般以立意为中心，主要考查知识立意和能力立意两方面。知识立意就是要考查学生基础知识是否记住，基本方
8、法是知识立意就是要考查学生基础知识是否记住，基本方法是否理解。能力立意就是首先确定试题在能力方面考查目的，否理解。能力立意就是首先确定试题在能力方面考查目的，然后对照能力要求，选择重点的考查内容，设计恰当的设然后对照能力要求，选择重点的考查内容，设计恰当的设问方式。能力立意试题以基础知识、基本技能和基本数学问方式。能力立意试题以基础知识、基本技能和基本数学思想方法为载体，去践行考试的目的。思想方法为载体，去践行考试的目的。本题第本题第1 1问设计了两定，即过定点向问设计了两定，即过定点向A A定圆定圆C C作切线，作切线，主要考查求圆的标准方程和求切线的两种方法即代数法与主要考查求圆的标准方程
9、和求切线的两种方法即代数法与几何法的熟练程度。几何法的熟练程度。第第2 2问主要考查两动一定。即半径为问主要考查两动一定。即半径为1 1的动圆上有动点的动圆上有动点M M，满足到两定点满足到两定点A A、O O距离之比为定值距离之比为定值2 2，揭示了动中有静、静中，揭示了动中有静、静中有动、动静相宜的数学特征。主要考查学生求点的轨迹方程，有动、动静相宜的数学特征。主要考查学生求点的轨迹方程，圆与圆位置关系判定等基础知识。圆与圆位置关系判定等基础知识。该题体现了在学科基础知该题体现了在学科基础知识、基本能力和基本思想方法交汇处的命题思想，要求考生识、基本能力和基本思想方法交汇处的命题思想，要求
10、考生推理细致全面，运算合理准确，能综合运用代数方法和图形推理细致全面，运算合理准确，能综合运用代数方法和图形直观进行转化与划归，具有很好的甄别功能。其中，满足直观进行转化与划归，具有很好的甄别功能。其中，满足MA/MO=2MA/MO=2动点动点M M的轨迹是一个的轨迹是一个阿波罗尼圆阿波罗尼圆，在教材上作为例题，在教材上作为例题重点介绍过，背景公平，学生应该比较熟悉。本知识点来源重点介绍过，背景公平，学生应该比较熟悉。本知识点来源于课本，深挖教材探题源，体现了高考命题良好的导向性。于课本，深挖教材探题源，体现了高考命题良好的导向性。视角二：研究试题的解法视角二：研究试题的解法 高考试题最显著特
11、征就是解法的多样性，入口比较宽，深高考试题最显著特征就是解法的多样性，入口比较宽，深入有梯度，能甄别出思维的层次性。把高考题作为例题进行选讲，入有梯度，能甄别出思维的层次性。把高考题作为例题进行选讲，要充分发挥它的基础性、典型性和示范性，从不同角度对问题进要充分发挥它的基础性、典型性和示范性，从不同角度对问题进行分析探究，就能获得多种解法的启迪。既会有朴实自然的通法，行分析探究，就能获得多种解法的启迪。既会有朴实自然的通法，又会有简捷的巧法，这既能培养学生的学习兴趣，又能培养学生又会有简捷的巧法，这既能培养学生的学习兴趣，又能培养学生思维的发散性、选择性、灵活性和深刻性，还能培养学生数学探思维
12、的发散性、选择性、灵活性和深刻性，还能培养学生数学探究意识，为他们终身学习奠基。究意识，为他们终身学习奠基。本题第本题第1 1问是求切线方程。先求圆问是求切线方程。先求圆C C方程，注意到圆心方程，注意到圆心C C既在既在直线直线l l：y y=2=2x x4 4上，又在直线上，又在直线y y=x x1 1上，所以圆心在两直线交点，上，所以圆心在两直线交点，半径为半径为1 1，很容易写出圆，很容易写出圆C C的标准方程。过定点的标准方程。过定点A A向圆向圆C C引切线，首引切线，首先考查切线斜率都存在，可设切线方程为先考查切线斜率都存在，可设切线方程为y y=kxkx+3+3，利用几何法或，
13、利用几何法或代数法求得切线方程。代数法求得切线方程。很显然，用点到直线距离等于半径比代数很显然，用点到直线距离等于半径比代数法更简单些。法更简单些。第第2 2问，在动圆问，在动圆C C上存在点上存在点M M，使，使MA=2MOMA=2MO，去求动圆圆心，去求动圆圆心C C的横坐标的横坐标a a的取值范围。本问设计看似无过人之处，情境的取值范围。本问设计看似无过人之处，情境平静，但暗流涌动，蕴藏着丰富的变化过程。平静，但暗流涌动，蕴藏着丰富的变化过程。M M点被两种点被两种运动所制约，半径为运动所制约，半径为1 1的圆的圆C C在运动，在运动，M M点还在动圆上运动，点还在动圆上运动，二者有关联
14、，又非一一对应。二者有关联，又非一一对应。运动过程中不变的是圆运动过程中不变的是圆C C与与阿波罗尼圆总有公共点，阿波罗尼圆总有公共点，这是隐藏在题目字里行间的，需这是隐藏在题目字里行间的，需要我们入乎其内方可领悟，又需要出乎其外才能转化。我要我们入乎其内方可领悟，又需要出乎其外才能转化。我们思考深刻了，解题过程又是那么让人按捺不住激动的简们思考深刻了，解题过程又是那么让人按捺不住激动的简单。设圆单。设圆C C方程为方程为 ，圆圆D D方程为方程为 ，因圆因圆C C与圆与圆D D有公共点，所以有公共点，所以1CD3，易知，易知0a ,大功告成。但也有不少学生先设大功告成。但也有不少学生先设圆圆
15、C C的标准方程的标准方程 ，再设点再设点M M坐标的坐标的参数式参数式 ，然后代入然后代入MA=2MO，22()(24)1xaya22(1)4xy12522()(24)1xaya(cos,24sin)aa得到得到一个繁杂的二元方程，虽然想法朴实自然，但运算量较大，一个繁杂的二元方程，虽然想法朴实自然，但运算量较大，而且方程中的而且方程中的 主次关系拎不清，后继运算主次关系拎不清，后继运算难以展开，大多数学生半途而废，无功而返。难以展开，大多数学生半途而废，无功而返。阅卷中我们还发现，不少考生只专注于阅卷中我们还发现，不少考生只专注于M M点同时在两点同时在两条曲线上，从而联立方程组条曲线上，
16、从而联立方程组 有解有解，想消去想消去x x，y y转化为一元二次方程，问题朝着代数方向去转转化为一元二次方程，问题朝着代数方向去转化，这几乎是一条不归路。本道题不合理解法种种，反映化，这几乎是一条不归路。本道题不合理解法种种，反映了学生学的不活，想不到转化，平时的模式套路已无用武了学生学的不活，想不到转化，平时的模式套路已无用武之地，这也给我们平时教学研究敲了个警钟。之地，这也给我们平时教学研究敲了个警钟。平时学生没平时学生没有积极的深度思考，没有较好地掌握解析几何思想方法，有积极的深度思考，没有较好地掌握解析几何思想方法，没有养成良好的探索习惯，即使目标近在咫尺，也是咫尺没有养成良好的探索
17、习惯，即使目标近在咫尺，也是咫尺天涯。天涯。2222(cos)(2sin7)4(cos)(24sin)aaaa,cos,sina2222(1)4()(24)1xyxaya视角三：研究试题的背景 研究高考题设计背景，就是要深挖题源，研研究高考题设计背景，就是要深挖题源，研而不倦。高考数学试题设计背景是通过不同载体而不倦。高考数学试题设计背景是通过不同载体来实现和依托不同方式来呈现的。常见试题背景来实现和依托不同方式来呈现的。常见试题背景有：有：课本例习题课本例习题 国内外高考试题国内外高考试题 竞赛试题竞赛试题 经典名题经典名题 高等数学高等数学 生活常识生活常识 我省今年这道解几题就是课本例题
18、与数学经我省今年这道解几题就是课本例题与数学经典名题的有机整合。真可谓匠心独具，令人拍案典名题的有机整合。真可谓匠心独具，令人拍案叫绝！叫绝！本题第本题第1 1问过定点向定圆引切线是我们必须掌握的知问过定点向定圆引切线是我们必须掌握的知识点，识点，苏教版数学苏教版数学必修必修2 2第第102102页的例页的例2 2，自，自向定圆向定圆 引切线引切线l l，求切线，求切线l l的方程。的方程。教材详尽介绍了求切线的两种方法：几何法和代数法。得教材详尽介绍了求切线的两种方法：几何法和代数法。得切线斜率为切线斜率为 和和 。仔细研究后发现，今年高考题仔细研究后发现，今年高考题第第1 1问几乎就是课本
19、例题原题，只是把例题中的图形按向问几乎就是课本例题原题，只是把例题中的图形按向量量 平移了一下，切线斜率都没有改变，体现了平移了一下，切线斜率都没有改变，体现了高考试题源于课本、高于课本的良好导向性。高考试题源于课本、高于课本的良好导向性。（课本题）（课本题）（高考题）（高考题）(1,4)A 22(2)(3)1xy0k 34(1,1)a 3o-12xyAAx2o3y 再看第再看第2 2问，是阿波罗尼圆这样经典名题与另一动圆巧妙组合。问，是阿波罗尼圆这样经典名题与另一动圆巧妙组合。此问题干的主要信息来源于苏教版数学此问题干的主要信息来源于苏教版数学选修选修2-12-1第第5959页例页例2 2，
20、求平面内到两定点求平面内到两定点A A、B B距离之比等于距离之比等于2 2的动点的动点M M的轨迹方程的轨迹方程。虽然。虽然教材没有说明轨迹是阿波罗尼圆，但作为教师应该向学生交待清教材没有说明轨迹是阿波罗尼圆，但作为教师应该向学生交待清楚，引起学生高度重视。此信息背景还可以追溯到楚，引起学生高度重视。此信息背景还可以追溯到20082008年江苏高年江苏高考题填空题第考题填空题第1414题：在题：在ABCABC中，中，BC=2BC=2，若，若AC=2ABAC=2AB，则，则ABCABC面积面积最大值为最大值为 。本题就可以理解为考查，当本题就可以理解为考查，当BC=2，时，顶点时，顶点A A的
21、轨迹是什么？的轨迹是什么？如果我们一眼识破庐山真面目，满足如果我们一眼识破庐山真面目，满足MA=2MOMA=2MO动点动点M M的轨迹是一的轨迹是一个圆的话，那么下面解题过程就会变得水到渠成了。再者，苏教个圆的话，那么下面解题过程就会变得水到渠成了。再者，苏教版老版本数学版老版本数学必修必修2 2第第105105页练习页练习2 2是已知动圆是已知动圆与定圆与定圆 相交，求实数相交，求实数m m的取值范围。新版的取值范围。新版本数学本数学必修必修2 2第第117117页习题页习题5 5是已知圆是已知圆 与与圆圆 没有公共点，求正数没有公共点，求正数a a的范围。而今年高考题最的范围。而今年高考题
22、最关键的一步是考查一动圆和一定圆相切与相交两种情况，与课本关键的一步是考查一动圆和一定圆相切与相交两种情况，与课本题几乎无异！而所考查的知识点与判定方法是一模一样的，题几乎无异！而所考查的知识点与判定方法是一模一样的，高考高考题的影子总在教材中，这就是我们常说的，题的影子总在教材中，这就是我们常说的，“万变万变”中的中的“不不变变”。2ACAB22xym2268110 xyxy22()1xay221xy视角四：研究试题的变式视角四：研究试题的变式 研究试题的变式就是将试题进行重组、嫁接、研究试题的变式就是将试题进行重组、嫁接、引申、拓展。著名的引申、拓展。著名的数学教育家波利亚说过数学教育家波
23、利亚说过“好问好问题同种蘑菇类似，它们都成堆生长，找到一个以后，题同种蘑菇类似，它们都成堆生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”也许数学题目本身看似也许数学题目本身看似“平民平民”，但若能对条件进，但若能对条件进行变化，背景进行变更，关系进行重组，设问角度行变化，背景进行变更，关系进行重组，设问角度进行调整，就会有许多意外收获，最终进行调整，就会有许多意外收获，最终“平民平民”也也能变成能变成“贵族贵族”，数学的魅力在于，数学的魅力在于“变变”，有，有“变变”才有才有“用用”，有，有“变变”才能才能“活活”。通过对本题拓展研究
24、，我们给出以下几种变式：通过对本题拓展研究，我们给出以下几种变式：变式变式1 1：在平面直角坐标系中，：在平面直角坐标系中，A A（0,30,3），直线），直线l l：y y=2=2x x4 4，设圆，设圆C C的半径为的半径为1 1，圆心在，圆心在l l上，现过上，现过A A点向动圆点向动圆C C引切线引切线APAP，AQAQ，P P、Q Q为切点，求为切点，求 最小值。最小值。设计意图：设计意图：高考题第高考题第1 1问考查的是由问考查的是由定点向定圆引切线，切线当然是确定定点向定圆引切线，切线当然是确定的，我们自然就会想到，如果过定点的，我们自然就会想到，如果过定点A A向动圆引切线，切
25、点虽然在变动，向动圆引切线，切点虽然在变动，但如何变化？用什么量来刻画呢？但如何变化？用什么量来刻画呢？结合图形，当然用切线长和切线间的结合图形，当然用切线长和切线间的夹角，如果选用夹角，如果选用 来表示，很明显就涉及到长度与来表示，很明显就涉及到长度与角度两个量，再经过画图试算调整，此题有解。角度两个量，再经过画图试算调整，此题有解。解法说明：解法说明：再利用求导或构造和积不等式模型可破题。再利用求导或构造和积不等式模型可破题。（此题由（此题由20102010年全国年全国卷第卷第1111题演变而来）题演变而来）22221cos|cos2()cos2(1 2sin)tansinAP AQAPA
26、Q AP AQ AP AQ 3xo2y-4PQC2Al 变式变式2 2：过过A A（0,30,3）任作两条互相垂直的直线）任作两条互相垂直的直线 ，使它们总和半径为使它们总和半径为1 1，圆心在直线，圆心在直线l l：y y=2=2x x4 4上的定圆上的定圆 分别相交，且分别相交，且 分别被两圆截得弦长相等，求分别被两圆截得弦长相等，求圆圆 和圆和圆 的方程。的方程。设计意图：设计意图：高考题第高考题第1 1问考查了直线问考查了直线和圆相切，但直线和圆相交更值得和圆相切，但直线和圆相交更值得我们重视，能否换个角度，与定点、我们重视，能否换个角度，与定点、定值或定圆联姻呢？联想到定值或定圆联姻
27、呢？联想到20082008年年江苏省高考解几题，把条件与结论江苏省高考解几题，把条件与结论适当置换。只要研究过此题的教师，适当置换。只要研究过此题的教师，通过构图，很容易发现这两个定圆通过构图，很容易发现这两个定圆一定存在，如果过一定存在，如果过A A点作点作l l的垂线的垂线l l，很显然，圆和圆关，很显然，圆和圆关于直线于直线l l对称，它的背景是初中一道平几题，再逆向研对称，它的背景是初中一道平几题，再逆向研究，故得此题。究，故得此题。12,l l12,C C12,l l1C2C2A-43xoylC1C2l1l2l解法说明：设圆解法说明：设圆 ，圆圆 ，直线直线 ，由于是等圆，两直线分别
28、被两圆截得由于是等圆，两直线分别被两圆截得的弦长又相等，因此，圆心到直线的距离的弦长又相等，因此，圆心到直线的距离 ，由由 ，得到得到 ，其中其中a a，b b为常量，为常量，k k为变量，由恒等式性质，容易求出：为变量，由恒等式性质，容易求出：圆圆 ，圆圆 。221:()(24)1Cxaya222:()(24)1Cxbyb1:3lykx21:3lyxk 12dd122|324|27|11kaakaadkk 222|324|72|111bbbkbkkdkk|27|72|kaabkbk 2212122:()()155Cxy22276:()()155Cxy变式变式3 3：在直角坐标系在直角坐标系x
29、oyxoy中，中，A A（0,30,3），直线），直线l l：y y=2=2x x4 4，设动圆设动圆C C半径为半径为1 1，圆心在直线，圆心在直线l l上，若圆上，若圆C C上存在点上存在点M M，使使 ，求圆心的横坐标求圆心的横坐标a a的取值范围。的取值范围。设计意图：设计意图：高考题第高考题第2 2问的实质是考查问的实质是考查圆与圆位置关系，其实直线与圆的位置圆与圆位置关系，其实直线与圆的位置关系也可以依托本题背景进行考查。构关系也可以依托本题背景进行考查。构图发现，直线图发现，直线y y=1=1与动圆有交点比较简与动圆有交点比较简单，接下来，就是根据到两定点距离平单，接下来，就是根
30、据到两定点距离平方之差为定值的动点轨迹为一直线这一方之差为定值的动点轨迹为一直线这一常识，构造出背景条件常识，构造出背景条件 ，来暗合直线来暗合直线y y=1=1。解法提示：画图易知：解法提示：画图易知：。223MAMO223MAMO2,3ayxl2A-43oC变式变式4 4：在小岛：在小岛O O正南方向正南方向4 4 kmkm的的P P处湖面上有一龙卷风，处湖面上有一龙卷风，正以每分钟正以每分钟 kmkm的速度沿北偏东角的速度沿北偏东角 （）方向移动，距龙卷风中心方向移动，距龙卷风中心 kmkm范围内都要受到影响，问：范围内都要受到影响，问：几分钟后龙卷风将影响小岛几分钟后龙卷风将影响小岛O
31、 O，持续影响时间有多长？，持续影响时间有多长？设计意图：设计意图：点与圆，直线与圆，圆与点与圆，直线与圆，圆与圆位置关系是解析几何重点要考查的圆位置关系是解析几何重点要考查的三个维度，如果考查定点与定圆位置三个维度，如果考查定点与定圆位置关系，未免有些单调，设想让圆动起关系，未免有些单调，设想让圆动起来，考虑到控制运算量和问题的实际来，考虑到控制运算量和问题的实际意义，经反复测算，动圆半径设定为意义，经反复测算，动圆半径设定为 kmkm，龙卷风移动速度设定为每分钟移动，龙卷风移动速度设定为每分钟移动 kmkm，移动方向仍然沿直线移动方向仍然沿直线y y=2=2x x4 4向上的方向，以保证知
32、识点向上的方向，以保证知识点考查背景的连续性和思维的惯性不变。这一组姐妹题，都考查背景的连续性和思维的惯性不变。这一组姐妹题，都是同根生，有利于多样化，宽角度，多视点地培养学生的是同根生，有利于多样化，宽角度，多视点地培养学生的数学素养。数学素养。521tan25yxo552解法提示：解法提示：建立如图所示的直角坐标系，设龙卷风中心移建立如图所示的直角坐标系，设龙卷风中心移至至Q Q处时恰好影响到小岛处时恰好影响到小岛O O，则在，则在OPQOPQ中，中，OPOP=4=4，OQOQ=，由余弦定理知由余弦定理知，解得解得 或或 ，再由再由 知知 ，因此因此2 2分钟后将影响小分钟后将影响小岛，持
33、续影响时间达岛，持续影响时间达2.42.4分钟。分钟。（说明：为了增加思维梯度，可把龙卷风影响半径设置为（说明：为了增加思维梯度，可把龙卷风影响半径设置为时间的函数，让影响半径呈等差数列，在匀速增加一段时时间的函数，让影响半径呈等差数列，在匀速增加一段时间后，再呈等差数列匀速减小。）间后，再呈等差数列匀速减小。）52cos52222cosOQOPPQOP PQ5PQ 11 5552PQt12222,5tt视角五：研究试题的导向视角五：研究试题的导向 一道试题的编制并不在于它的深奥，而在于它的导向功能一道试题的编制并不在于它的深奥，而在于它的导向功能和示范作用。好的高考数学试题往往不一定都是新题
34、，它往往和示范作用。好的高考数学试题往往不一定都是新题，它往往就来源于教材。既能引导教师和学生重视教材作用和基础知识就来源于教材。既能引导教师和学生重视教材作用和基础知识学习，又能让教师和学生意识到仅仅靠题海战术和死记硬背是学习，又能让教师和学生意识到仅仅靠题海战术和死记硬背是无法在高考中取得高分脱颖而出的。靠打题海战的无法在高考中取得高分脱颖而出的。靠打题海战的“英雄英雄”们们可能会可能会“牺牲牺牲”出局。出局。“高考指挥棒高考指挥棒”在当代中国是客观存在在当代中国是客观存在的，高考的导向作用始终是高中数学教学最关心的问题，无论的，高考的导向作用始终是高中数学教学最关心的问题，无论是从学生学
35、的角度还是从教师教的角度，高考都起到积极导向是从学生学的角度还是从教师教的角度，高考都起到积极导向作用。作用。通过以上对试题的解法分析，结论的变式和背景解读，我通过以上对试题的解法分析，结论的变式和背景解读，我们在教学过程中要注意以下三点：们在教学过程中要注意以下三点：1.1.深刻剖析试题数学背景深刻剖析试题数学背景 解析几何本质就是用代数手法去研究图解析几何本质就是用代数手法去研究图形几何性质，只要抓住数学的本质和精要所形几何性质，只要抓住数学的本质和精要所在，就可以把数学教得在，就可以把数学教得“精简实用，趣味横精简实用，趣味横生生”，就能使数学就能使数学“易懂，会用易懂，会用”，让学生，
36、让学生喜欢数学，需要我们教师去彰显智慧。喜欢数学，需要我们教师去彰显智慧。2.2.认真分析试题教材背景认真分析试题教材背景 高中数学教材虽几经改版，但本道题的背景高中数学教材虽几经改版，但本道题的背景却一直在教材之中，事实上，教材承载着新课程却一直在教材之中，事实上，教材承载着新课程改革的理念和导向，渗透着创新精神和实践能力改革的理念和导向，渗透着创新精神和实践能力的培养，同时也体现着高考改革的发展趋势。数的培养，同时也体现着高考改革的发展趋势。数学教材是数学知识和数学思想方法的重要载体，学教材是数学知识和数学思想方法的重要载体，又是教师教学和学生学习主要依据，更是几代人又是教师教学和学生学习
37、主要依据，更是几代人集体智慧的结晶。集体智慧的结晶。教材的结构是反复考量的，语教材的结构是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是千锤百炼的，习题是精言是字斟句酌的，例题是千锤百炼的，习题是精挑细选的，教材中每个素材的选取，情境设置都挑细选的，教材中每个素材的选取，情境设置都具有极高教学价值和育人价值。具有极高教学价值和育人价值。因此，高三数学复习的因此，高三数学复习的“根根”仍然在教材之中，仍然在教材之中，有一个简单的道理我们必须明白：如果连教材都不有一个简单的道理我们必须明白：如果连教材都不能读懂、理解、吃透，却整天忙于搞题海战术，势能读懂、理解、吃透，却整天忙于搞题海战术，势必会事倍功半，即
38、使在耗费大量时间后，掌握了一必会事倍功半，即使在耗费大量时间后，掌握了一些方法技巧，但遗憾的是这些技巧总是命题专家要些方法技巧，但遗憾的是这些技巧总是命题专家要刻意回避的，因为高考考查的是考生对教材的领悟刻意回避的，因为高考考查的是考生对教材的领悟和把握，是考生的知识体系和能力结构，是考生对和把握，是考生的知识体系和能力结构，是考生对通性通法的理解和掌握。通性通法的理解和掌握。总之，高中数学教学必须总之，高中数学教学必须重视回归教材，因为教材中的例习题的基础性、典重视回归教材，因为教材中的例习题的基础性、典型性、示范性不是一般复习资料所能替代的，舍本型性、示范性不是一般复习资料所能替代的，舍本
39、逐末不可取。逐末不可取。3.3.培养学生思维的灵活性培养学生思维的灵活性 学生的思维是灵动的和多向的，教师提供给学生最好的教学生的思维是灵动的和多向的，教师提供给学生最好的教育应该是：激发他们的兴趣，拓展他们的思维空间，使他们潜能育应该是：激发他们的兴趣，拓展他们的思维空间，使他们潜能得到最大限度的发展，问题变式的灵活应用是实现这一目标的有得到最大限度的发展，问题变式的灵活应用是实现这一目标的有效途径。本题通过改变条件，让学生对满足不同条件的情况作出效途径。本题通过改变条件，让学生对满足不同条件的情况作出分析；通过改变结论，培养学生推理、探索思维能力。分析；通过改变结论，培养学生推理、探索思维
40、能力。实现例题实现例题资源利用最大化，课堂上教师要有意识引导学生在题目资源利用最大化，课堂上教师要有意识引导学生在题目“变化变化”中发现中发现“不变不变”的本质，在的本质，在“不变不变”的本质中，掌握的本质中，掌握“变变”的规的规律，练就一手莫让浮云遮望眼，除尽繁华识真颜的硬本领。律，练就一手莫让浮云遮望眼，除尽繁华识真颜的硬本领。避免避免学生机械地反复地训练同一题型，避免学生思维在低层次之间游学生机械地反复地训练同一题型，避免学生思维在低层次之间游走，尽量让学生体会柳暗花明又一村的豁然开朗，经历从苦思不走，尽量让学生体会柳暗花明又一村的豁然开朗，经历从苦思不得其解到得来全不费功夫的酣畅淋漓，让学生体味到数学的趣味得其解到得来全不费功夫的酣畅淋漓，让学生体味到数学的趣味性，使高三数学复习课充满诗意，精彩永恒！性，使高三数学复习课充满诗意，精彩永恒！谢谢 谢！谢！
