1、空间几何体的结构空间几何体的结构 一、一、观察下列几何体并思考：具备哪观察下列几何体并思考：具备哪些性质的几何体叫做棱柱些性质的几何体叫做棱柱?ABCDA1A1B1B1C1C1D1ABCA1B1C1D1 E1ABCED 1 1、定义：、定义：有两个面互相平行，其余各面都有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱棱柱。两个互相平行的平面叫做两个互相平行的平面叫做棱柱的底面棱柱的底面，其，其余各叫做余各叫做棱柱的侧面棱柱的侧面。相邻侧面的公共边叫做相邻侧面的
2、公共边叫做棱柱的侧棱棱柱的侧棱。侧面与底的公共顶点叫侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点做棱柱的顶点。底面底面侧面侧面侧棱侧棱顶点顶点 2、棱柱的分类：、棱柱的分类：棱柱的底面可以是三棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、角形、四边形、五边形、我们把这样我们把这样的棱柱分别叫做的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱三棱柱、四棱柱、五棱柱、柱、三棱柱三棱柱四棱柱四棱柱五棱柱五棱柱3、棱柱的表示法、棱柱的表示法(下图下图)用平行的两底面多边形的字母表示棱用平行的两底面多边形的字母表示棱柱柱,如：棱柱如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1。二、棱锥的结构特征二、棱锥的结构特征观察下列几何体观察下列几何体
3、,有什么相同点？有什么相同点？有一个面是多边形，其余各面是有有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，一个公共顶点的三角形，由这些面所围由这些面所围成的几何体叫做棱锥。成的几何体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的这个多边形面叫做棱锥的底面。底面。有公共顶点的各个三角形叫有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的做棱锥的侧面。侧面。各侧面的公共顶点叫做各侧面的公共顶点叫做棱锥的棱锥的顶点。顶点。相邻侧面的公共边叫做棱锥相邻侧面的公共边叫做棱锥 的的侧棱。侧棱。棱锥的底面棱锥的底面棱锥的侧面棱锥的侧面棱锥的顶点棱锥的顶点棱锥的侧棱棱锥的侧棱SABCDE2、棱锥的分类棱锥的分类：按底面多边形的边数，可
4、以分为三按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、棱锥、四棱锥、五棱锥、ABCDS3、棱锥的表示方法：棱锥的表示方法：用表示顶点和底面用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥的字母表示，如四棱锥S-ABCD。三、圆柱的结构特征三、圆柱的结构特征矩矩 形形O1O 1、定义：以矩形的一边所在直、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做曲面所围成的几何体叫做圆柱圆柱。（1）旋转轴叫做）旋转轴叫做圆柱的轴。圆柱的轴。（2）垂直于轴的边旋转而成垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做的曲面叫做圆柱的底面。圆柱的底面。（3）平行于轴的旋转而成的
5、）平行于轴的旋转而成的曲面叫做曲面叫做圆柱的侧面。圆柱的侧面。（4）无论旋转到什么位置不）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。圆柱的母线。轴轴母线母线底面底面侧面侧面2 2、表示：用表示它的轴的字母表示，如、表示：用表示它的轴的字母表示，如圆柱圆柱OOOO1 1。O OO O1 13 3、圆柱、圆柱与棱柱统与棱柱统称为称为柱体柱体。四、圆锥的结构特征四、圆锥的结构特征直角三角形直角三角形SAO1、定义：以直角三角形的直角边所在直定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做围成的几何体叫做
6、圆锥。圆锥。（1）旋转轴叫做）旋转轴叫做圆锥的轴。圆锥的轴。（2）垂直于轴的边旋转而成垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做的曲面叫做圆锥的底面。圆锥的底面。（3）不垂直于轴的边旋转而）不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做成的曲面叫做圆锥的侧面。圆锥的侧面。（4）无论旋转到什么位置不）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。圆锥的母线。OSBA轴轴底面底面侧面侧面母线母线2 2、圆锥的表示、圆锥的表示 用表示它用表示它的轴的字母表的轴的字母表示，如圆锥示，如圆锥SOSO。3 3、圆锥与、圆锥与棱锥统称为棱锥统称为锥体。锥体。五、棱台的结构特征五、棱台的结构特征B B1 1A A
7、1 1C C1 1D D1 1C C1 1 B B1 1A A1 1D D1 1 棱锥：有一个面是多边形棱锥：有一个面是多边形，其余各其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。些面所围成的几何体叫做棱锥。1 1、棱台的概念：、棱台的概念：用一个平行于棱锥底面用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。叫做棱台。C C1 1 B B1 1A A1 1D D1 1上底面上底面下底面下底面侧面侧面侧棱侧棱顶点顶点2 2、由三棱锥、四棱锥、五棱锥、由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得截得的棱台，分
8、别叫做的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，三棱台，四棱台，五棱台五棱台3、棱台的表示法：棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶点的字棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如右图，母来表示，如右图，棱台棱台ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 。C C1 1 B B1 1A A1 1D D1 1六、圆台的结构特征六、圆台的结构特征1、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。几何体叫做圆台。OO底面底面底面底面轴轴侧面侧面母线母线2 2、圆台的表示：用表
9、示它的轴的字母表、圆台的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆台示，如圆台OOOO3 3、圆台与棱台统称为台体。、圆台与棱台统称为台体。七、球的结构特征七、球的结构特征O O球心球心半径半径AB1、球的定义：球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球。简称球。（1）半圆的半径叫做）半圆的半径叫做球的半径。球的半径。（2）半圆的圆心叫做）半圆的圆心叫做球心。球心。（3）半圆的直径叫做球的）半圆的直径叫做球的直径。直径。2、球的表示：球的表示：用表示球心的字用表示球心的字母表示，如母表示，如球球O
10、七、简单几何体的结构特征七、简单几何体的结构特征 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和们的表面积就是各个面的面积的和 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积图形求面积的方
11、法，求立体图形的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？h正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？/h/h正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？侧面展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图
12、棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？侧面展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和h 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面，各面均为等边三角形的四面体体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 DBCAS 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的
13、展开图是由四个全等的正三角形组成组成因为因为BC=a，aSBSD2360sin所以：所以：243232121aaaSDBCSABC因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作 ，ABCBCSD 思考OOr)(2222lrrrlrS圆柱表面积lr2圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么面展开图是什么)(22rllrrrS圆台表面积r2l
14、OrO r2 r圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？关系？rr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取取3.143.14，结果精
15、确到，结果精确到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：2225.11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 2cm3 3柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图)(22rllrrrS 圆台圆台圆柱圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥圆锥、长方体的体积、长方体的体积DABCD1A1B1C1abcShSVabcV底长方体或d2222cbad等底等高柱体的体积相等吗？等底等高柱体的体积相等吗？2、柱体的体
16、积、柱体的体积定理：等底等高柱体的体积相等定理：等底等高柱体的体积相等hShSShSV底柱祖恒原理祖恒原理 将一个三棱柱按如图所示分解成三将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？关系？1 12 23 31 12 23 3思考思考4:4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？想锥体的体积公式是什么？13VSh高高h h底面积底面积S S 3、锥体的体积、锥体的体积定理：等底等高锥体的体积相等定理：等底等高锥体的体积相等hSV
17、底锥31h等底等高的等底等高的棱柱和棱锥棱柱和棱锥体积的关系体积的关系4、台体的体积、台体的体积SSxhsshxxssshxxSxhSV31)31（台xSSxSh313131xSSSh)(3131)(3131ssshSSSh)(3131shssSh)(31ssssh 例例3 3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重共重5.8kg5.8kg（铁的密度是（铁的密度是7.8g/cm7.8g/cm3 3），已），已知螺帽的底面是正六边形，边长为知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm12mm，内孔直径为内孔直径为10mm10mm，高为，高为10mm10mm，问这堆，问这堆螺帽大约
18、有多少个？螺帽大约有多少个？12101096.210514.3106124322V251)96.28.7(108.53求此棱柱挖去圆求此棱柱挖去圆柱后的体积和表柱后的体积和表面积面积引申引申:.圆柱的侧面展开图如下左图所示，求此圆柱的圆柱的侧面展开图如下左图所示，求此圆柱的体积。体积。8128)212(2柱V28883612)28(2柱V1921216侧面展开图侧面展开图直直观观图图1直观图直观图2190)40406060(3122h75h190V60a40b?h引申引申2:已知正四棱台两底面的边长已知正四棱台两底面的边长,和棱台体积和棱台体积,求棱求棱台的高台的高.柱、锥、台体积的关系柱、锥
19、、台体积的关系)(31sssshV台ss 0sShV31锥ShV柱知识探究（一）知识探究（一）:球的体积球的体积思考思考1:1:从球的结构特征分析，球的大小从球的结构特征分析，球的大小由哪个量所确定？由哪个量所确定？思考思考2:2:底面半径和高都为底面半径和高都为R R的圆柱和圆锥的圆柱和圆锥的体积分别是什么？的体积分别是什么？3VR柱313VR锥思考思考3:3:如图，对一个半径为如图，对一个半径为R R的半球，其的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系？关系？思考思考4:4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么
20、？猜想半球的体积是什么？323VR球思考思考5:5:由上述猜想可知，半径为由上述猜想可知，半径为R R的球的的球的体积体积 ，这是一个正确的结论，你，这是一个正确的结论，你能提出一些证明思路吗？能提出一些证明思路吗？343VRAOirO.niinRRri,2,1,)1(22,21RRr,)(222nRRr问题问题:已知球的半径为已知球的半径为R,用用R表示球的体积表示球的体积.B2C2BiCiAO,)2(223nRRrnininRnRrVii,2,1,)1(1 232问题问题:已知球的半径为已知球的半径为R,用用R表示球的体积表示球的体积.niinRRri,2,1,)1(22nVVVV21半球
21、)1(2122223nnnnR6)12()1(123nnnnnnR6)12)(1(11 23nnnR知识探究（二）知识探究（二）:球的表面积球的表面积思考思考1:1:半径为半径为r r的圆面积公式是什么？它的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？是怎样得出来的？2rS圆a1a2a3ana4思考思考2:2:把球面任意分割成把球面任意分割成n n个个“小球面小球面片片”，它们的面积之和等于什么？，它们的面积之和等于什么？o思考思考3:3:以这些以这些“小球面片小球面片”为底，球心为底，球心为顶点的为顶点的“小锥体小锥体”近似地看成棱锥，近似地看成棱锥，那么这些小棱锥的底面积和高近似地等那么这些小棱锥
22、的底面积和高近似地等于什么？它们的体积之和近似地等于什于什么？它们的体积之和近似地等于什么？么？o o思考思考4:4:你能由此推导出半径为你能由此推导出半径为R R的球的的球的表面积公式吗？表面积公式吗？24SR思考思考5:5:经过球心的截面圆面积是什么？经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？它与球的表面积有什么关系？球的表面积等于球的大圆面积的球的表面积等于球的大圆面积的4 4倍倍例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积.3336125)25(3434cmRV334RV定理定理:半径是半径是R的球的体积的球的体积变式变式1 1：一种空心钢球的质量是
23、：一种空心钢球的质量是142g,142g,外径外径是是5cm,5cm,求它的内径求它的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.142 34)25(349.733x3.1149.73142)25(33x由计算器算得:24.2x5.42 x(变式变式2)2)把钢球放入一个正方体的有盖纸把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中盒中,至少要用多少纸至少要用多少纸?用料最省时用料最省时,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体球内切于正方体2215056cmS侧侧棱长为侧棱长为5c
24、m 例例2 2 已知正方体的八个顶点都在球已知正方体的八个顶点都在球O O的球面上，且正方体的表面积为的球面上，且正方体的表面积为a a2 2，求，求球球O O的表面积和体积的表面积和体积.o oAC变式变式3.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体一球过正方体的各顶点的各顶点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比.作轴截面作轴截面两个几何体相切两个几何体相切:一个几何体的各个一个几何体的各个面面与另与另一个几何体的各一个几何体的各面面相切相切.两个几何体相接两个几何体相接:一个几何体的所有一个几何体的所有顶点
25、顶点都都 在另一个几何体的表面上在另一个几何体的表面上1.一种方法一种方法:“分割分割,求和求和,取极限取极限”的数学方法的数学方法.2.一个观点一个观点:在一定条件下在一定条件下,化曲为直的辨证观化曲为直的辨证观点点.3.一个公式一个公式:半径为半径为R的球的体积是的球的体积是334RV4.解决两类问题解决两类问题:两个几何体相切和相接两个几何体相切和相接作适当的轴截面作适当的轴截面(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的倍。倍。(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的倍。倍。(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是。(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是。练习一：练习一：2422:134:1习题（考察球、台体体积公式）习题（考察球、台体体积公式）8442201610812(16 20 16 10 10 8)373.333V 台4 8 20640V 柱34233.493V球373.33 640 33.49 1046.82V 20
