1、2.1.2 2.1.2 求曲线的方程 1了解求曲线方程的步骤 2会求简单曲线的方程 本专题栏目开关 2.1.2 通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程研究曲线的性质和位置关系，进一步感受坐标法的作用和数形结合思想.本专题栏目开关 2.1.2 填一填填一填知识要点、记下疑难点知识要点、记下疑难点 1坐标法和解析几何 借助于坐标系，用_表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的_表示曲线，通过研究 _间接 地来 研究 曲 线的 性质，这 就 叫坐 标法 用_研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何 坐标 方程f(x，y)0 方程的性质 坐标法 本专题栏
2、目开关 2.1.2 填一填填一填知识要点、记下疑难点知识要点、记下疑难点 2解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出表示曲线的 _；(2)通过曲线的_，研究曲线的_ 3求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用_表示曲线上任意一点 M 的坐标；(2)写出适合条件 p 的点 M的集合 P_；(3)用_表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)0；(4)化方程 f(x，y)0 为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点 _.方程 方程 性质 有序实数对(x，y)M|p(M)坐标 都在曲线上 本专题栏目开关 2.1.2 研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 引言
3、引言 上一节，我们已经建立了曲线的方程、方程的曲线的概念利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程 f(x，y)0 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质 这就是我们反复提到的坐标法数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何从前面的学习中可以看到，解析几何研究的主要问题是：本专题栏目开关 2.1.2 研一研问题探究、课堂更高效 (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质 下面我们讨论求曲线方程的问题 探究点一 求曲线方程的一般步骤 问题问题 1
4、设 A、B 两点的坐标分别是(1，1)，(3,7)，如何求线段 AB的垂直平分线的方程？解 如图所示，设点 M(x，y)是线段 AB的垂直平分线上的任意一点，也就是点M 属于集合 PM|MA|MB|本专题栏目开关 2.1.2 研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 由两点间的距离公式，点 M适合的条件可表示为?x1?2?y1?2?x3?2?y7?2.上式两边平方，并整理得 x2y70.我们证明方程是线段 AB的垂直平分线的方程 由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解；设点 M1的坐标(x1，y1)是方程的解，即 x12y170，x172y1.本专题栏目开关 2.
5、1.2 研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 点 M1到 A，B 的距离分别是|M1A|?x11?2?y11?2?82y1?2?y11?2 5?y216y113?；|M1B|?x13?2?y17?2?42y1?2?y17?2 5?y216y113?.所以|M1A|M1B|，即点 M1在线段 AB的垂直平分线上 由可知，方程是线段 AB的垂直平分线的方程 本专题栏目开关 2.1.2 研一研问题探究、课堂更高效 问题问题 2 你能根据以上的求解过程归纳出求曲线方程的一般步骤吗？答 求曲线的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M
6、 的坐标；(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 PM|p(M)；(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)0；(4)化方程 f(x，y)0 为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明另外，也可以根据情况省略步骤(2)，直接列出曲线方程 本专题栏目开关 2.1.2 研一研问题探究、课堂更高效 问题问题 3 求曲线方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解 答案 坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的繁杂程度 本专题栏目开
7、关 2.1.2 研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 结论 建立坐标系的基本原则(1)让尽量多的点落在坐标轴上 (2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴 建立适当的坐标系是求曲线方程首要一步，应充分利用图形几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等 本专题栏目开关 2.1.2 研一研问题探究、课堂更高效 例例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方，它上面的每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2，建立适当的坐标系，求
8、这条曲线的方程 解 如图所示，取直线 l 为 x轴，过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 y 轴，建立坐标系xOy.设点 M(x，y)是曲线上任意一点，作 MBx轴，垂足为B，那么点 M属于集合 PM|MF|MB|2 由两点间的距离公式，点 M 适合的条件可表示为 动画演示 本专题栏目开关 2.1.2 研一研问题探究、课堂更高效 x2?y2?2y2，将式移项后两边平方，得 x2(y2)2(y2)2，化简得 y18x2.因为曲线在 x 轴的上方，所以 y0.虽然原点 O 的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是 y18x2(x0)本专题栏目开关 2.1.2 研一研研一
9、研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 小结 求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程也不同 求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上点的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上的点应注意剔除 本专题栏目开关 2.1.2 研一研问题探究、课堂更高效 跟踪训练跟踪训练 1 在正三角形 ABC内有一动点 P，已知 P 到三顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC|，且满足|PA|2|PB|2|PC|2，求 P 点的轨迹方程 解 以 BC 的中点为原点，BC 所在的直线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系(如图所示)，设点 P(x，y)，B(a,0)，C(a
10、,0)，A(0，3a)|PA|2|PB|2|PC|2，有 x2(y 3a)2(xa)2y2(xa)2y2，化简得 x2(y 3a)2(2a)2，即所求的轨迹方程为 x2(y 3a)24a2(y0)本专题栏目开关 2.1.2 研一研问题探究、课堂更高效 探究点二 求曲线方程的常用方法 问题问题 求曲线方程时，有时点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？答案(1)能直接写出点的条件进而代入坐标写出方程的求法，可称为直接法，常用的曲线方程求法还有：(2)定义法：如果所给几何条件正好符合所学过的已知曲线的定义，则可直接利
11、用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程；本专题栏目开关 2.1.2 研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 (3)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知曲线上的动点具体地说，就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已知曲线上动点的坐标，并代入已知的曲线方程，即可求得所求动点的轨迹方程此法也称为相关点法；(4)待定系数法：已知所求曲线类型，先设出曲线的方程，再应用已知条件求出参数的值，从而求得轨迹方程 本专题栏目开关 2.1.2 研一研问题探究、课堂更高效 例例 2 已知圆 C：x2(y3)29，过原点作圆 C 的弦 OP，求 OP 的中点 Q
12、的轨迹方程 解 方法一(直接法)如图，因为 Q 是 OP 的中点，所以OQC90.设 Q(x，y)，由题意，得|OQ|2|QC|2|OC|2，即 x2y2x2(y3)29，所以 x2?y32294(去掉原点去掉原点)本专题栏目开关 2.1.2 研一研问题探究、课堂更高效 方法二方法二 (定义法)如图所示，因为 Q 是 OP 的中点，所以OQC90，则 Q 在以 OC 为直径的圆上，故 Q 点的轨迹方程为 x2?y32294(去掉原点去掉原点)方法三(代入法)设 P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得?xx12，yy12，即?x12x，y12y.轨迹动画演示 本专题栏目开关 2.1.2 研一
13、研问题探究、课堂更高效 又因为 x21(y13)29，所以 4x24?y3229，即 x2?y32294(去掉原点去掉原点)小结 解答本题可以用三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件 本专题栏目开关 2.1.2 研一研问题探究、课堂更高效 跟踪训练跟踪训练 2 如图，过点 P(2,4)作两条互相垂 直的直线 l1、l2，若 l1交 x 轴于 A点，l2交 y 轴于 B 点，求线段 AB的中点 M的轨迹方 程 解 方法一 设点 M 的坐标为(x，y)M 为线段 AB的中点，A的坐标为(2
14、x,0)，B 的坐标为(0,2y)l1l2，且 l1、l2过点 P(2,4)，PAPB，kPAkPB1.而 kPA4022x(x1)，kPB42y20，21x2y11(x1)本专题栏目开关 2.1.2 研一研问题探究、课堂更高效 整理，得 x2y50(x1)当 x1 时，A、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4)，线段 AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x2y50.综上所述，点 M的轨迹方程是 x2y50.方法二 设 M 的坐标为(x，y)，则 A、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连接 PM.l1l2，2|PM|AB|.而|PM|?x2?2?y4?2，|AB|?2x?2?
15、2y?2，2?x2?2?y4?2 4x24y2，化简，得 x2y50，为所求轨迹方程 演示数值变化 本专题栏目开关 2.1.2 研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 方法三方法三 l1l2，OAOB，O、A、P、B 四点共圆，且该圆的圆心为 M，|MP|MO|，点 M 的轨迹为线段 OP 的中垂线 kOP40202，OP 的中点坐标为(1,2)，点 M 的轨迹方程是 y212(x1)，即 x2y50.本专题栏目开关 2.1.2 练一练当堂检测、目标达成落实处 1在ABC中，若 B、C 的坐标分别是(2,0)、(2,0)，BC边上的中线的长度为 5，则 A点的轨迹方程是()Ax2
16、y25 Bx2y225 Cx2y25(y0)Dx2y225(y0)解析 BC 的中点为原点，BC 边上的中线长为 5，即OA5.设 A(x，y)，则有 x2y225(y0)D 本专题栏目开关 2.1.2 练一练当堂检测、目标达成落实处 2平面内有两定点 A，B，且|AB|4，动点 P 满足|PA PB|4，则点 P 的轨迹是 ()A线段 B半圆 C圆 D直线 解析 以 AB的中点为原点，以 AB所在的直线为 x 轴建立直角坐标系，则 A(2,0)、B(2,0)设 P(x，y)，则PAPB2PO2(x，y)x2y24.C 本专题栏目开关 2.1.2 练一练当堂检测、目标达成落实处 3一动点 C
17、在曲线 x2y21 上移动时，它和定点 B(3,0)连线的中点 P 的轨迹方程是 ()A(x3)2y24 B(x3)2y21 C(2x3)24y21 D.?x322y21 解析 设 C(x0，y0)，P(x，y)依题意有?xx032，yy02.所以?x02x3，y02y.由于 C(x0，y0)点在曲线 x2y21 上，所以(2x3)2(2y)21，即 P 点的轨迹方程为(2x3)24y21.C 本专题栏目开关 2.1.2 练一练当堂检测、目标达成落实处 4设 A为圆(x1)2y21 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|1，则动点 P 的轨迹方程是_ 解析 圆(x1)2y21 的圆心为 B(1
18、,0)，半径 r1，则|PB|2|PA|2r2.|PB|22.P 的轨迹方程为：(x1)2y22.(x1)2y22 本专题栏目开关 2.1.2 1坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同 2一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x，y)等 3方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程 f(x，y)0 化成 x，y的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明 4“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状.本专题栏目开关
