1、 3.1.1方程的根方程的根 和和 函数的零点函数的零点 思考：一元二次方程思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？的图象有什么关系？方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3 y=x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y=x22x+3方程方程ax2+bx+c
2、=0(a0)的根的根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式=b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x2 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。注意：注意：零点指的是一个实数；零点指的是一个实数；零点是一个点吗?方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)
3、y=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点解方程法解方程法 图像法图像法课堂练习：课堂练习：1.求下列函数的零点：求下列函数的零点：42xy)3)(2)(1(xxxy)3)(2)(1(2xxxy82xy)2ln(xy2.若函数若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是的两个零点是2和和3，求求loga25+b2。y=-x2+6x+7 y=x3-4x 3.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）x23x50；（2）2x(x2)3；（3）x2 4x4；（4）5 x2 2x3 x2 5.思考：能
4、否不画图像，就判断出以上一元二次方程思考：能否不画图像，就判断出以上一元二次方程有没有根，有几个根？有没有根，有几个根？解：(1)方程即为x2-3x-50，因为判别式0，所以方程有两个不相等的实数根(2)2x(x2)3可化为2x24x30，因为判别式0，所以方程没有实数根练习：第（3）、第（4）题x23x5,作出函数作出函数的图象，如下：的图象，如下：.xy01321486224 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程x23x50有两个有两个不不相等的实数根。相等的实数根。1(1)x23x50课堂练习课堂练习 1(2)解：解：2x(x2)3可化为可化为2x24x30，令，令f(
5、x)=2x24x3,作出函数作出函数的图象的图象,如下：如下：xy0132112543.它与它与x轴没有交点，所以方程轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根无实数根。1(2)2x(x2)3课堂练习课堂练习1(3)解：解：x2 4x4可化为可化为x24x40，令，令f(x)=x24x4，作出，作出函数函数的图象，如下：的图象，如下：.它与它与x轴只有一个交点，所以轴只有一个交点，所以方程方程x2 4x4有两个相等的实有两个相等的实数根数根。xy0132112543641(3)x2 4x4课堂练习课堂练习1(4)解：解：5x2+2x3x2+5可化为可化为2x2 2x50，x22x5,作出函数作
6、出函数的图象，的图象，如下：如下：xy013211213343654422.它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程5x2+2x3x2+5有两个不有两个不相等的实数根相等的实数根。1(4)5 x2 2x3 x2 5课堂练习课堂练习0123 4 5-1-212345-1-2-3-4xy探究探究结论结论例例abababab问题：问题：如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连上的图象是连续不断的一条曲线，那么续不断的一条曲线，那么i)i)若若f(a)f(a)f(b)0 f(b)0，则函数，则函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有内有几个零点？能否增加
7、条件，使得函数在区几个零点？能否增加条件，使得函数在区间间(a,b)(a,b)内有且只有一个零点？内有且只有一个零点？函数函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上单调。上单调。ii)ii)若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点，一定能得内有零点，一定能得f(a)f(a)f(b)0f(b)0 f(b)0，则函数，则函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内内一定没有零点吗？一定没有零点吗？由表得由表得f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内有零点。内有零点。由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域
8、(0,+)内是内是增函数，所以它仅有一个零点，这个增函数，所以它仅有一个零点，这个零点所在的大致区间是（零点所在的大致区间是（2，3）解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象的对应值表和图象 4 1.3069 1.09863.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例例 判断函数判断函数f(x)=lnx+2x6是否有零点，若有，是否有零点，若有，求零点个数及零点所在的大致区间。求零点个数及零点所在的大致区间。123456789x0246105y241086121487643219全程设计P46例4解法二：估算解法二：估算f
9、(x)在各整数处的值的正负在各整数处的值的正负 如果不借助计算机，也不利用计算器，如果不借助计算机，也不利用计算器，你能否确定函数你能否确定函数f(x)=lnx+2x6零点所在的零点所在的大致区间？大致区间？x 1234f(x)-+解法三解法三:通过数形结合，把原函数的通过数形结合，把原函数的零点个数问题，零点个数问题，转化为讨论方程的根个数问转化为讨论方程的根个数问题，题，再转化为两个简单函数的图再转化为两个简单函数的图象交点个数问题象交点个数问题.6Ox1 2 3 4yy=lnxy=2x+6拓展提升：拓展提升：你还有其它办法来确定函数你还有其它办法来确定函数f(x)=lnx+2x6零点所在的大致区间？零点所在的大致区间？课后思考：课后思考：函数函数 f(x)=lnx+2x6的零点在区间的零点在区间(2,3)内，能否进一步地缩小零点所在的内，能否进一步地缩小零点所在的区间范围，求出这个零点？区间范围，求出这个零点？练习：用解法二和解法三解P88练习2课堂小结：、函数零点的定义；2、函数零点的存在性定理；3、确定函数f(x)的零点的方法。（1）解方程f(x)=0;（2）找f(x)图象与x轴交点的横坐标;（3）作出x,f(x)对应值表，找到a,b，使f(a)f(b)0，则零点c(a,b);（4）看成两个简单函数交点的横坐标.
