1、5.函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值函数极值的定义函数极值的定义函数极值的求法函数极值的求法最值的求法最值的求法应用举例应用举例一、函数极值的定义定义定义使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.,),(,),()(00 xUbaxbaxf 如如果果内内有有定定义义在在设设 00),()(xUxxfxfo ;)()(0的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称xfxf 00),()(xUxxfxfo .)()(0的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称xfxf极极 值值oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x二、函数极值的求法
2、 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数,且且在在0 x处取得极值处取得极值,那末必定那末必定0)(0 xf.定理定理1(1(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:例如例如,3xy ,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x极值点极值点驻点驻点可导可导(3 3)如如果果当当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时,)(xf 符符号号相相同同,则则)(xf在在0 x处处无无极极值值.定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)(
3、1 1)如如果果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx,有有0)(xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值.(2 2)如如果果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx 有有0)(xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值.内内可可导导，处处连连续续，在在在在设设00 xUxxfo(3 3)如如果果当当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时,)(xf 符符号号相相同同,则则)(xf在在0 x处处无无极极值值.定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(1 1)如如果果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx,有
4、有0)(xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值.(2 2)如如果果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx 有有0)(xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值.内内可可导导，处处连连续续，在在在在设设00 xUxxfoxyoxyo0 x0 x (不是极值点情形不是极值点情形)xyo0 x xyo0 x 求极值的步骤求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数;)(0)()2(不存在的点不存在的点的根及的根及求驻点，即方程求驻点，即方程xfxf ;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不
5、是极值点情形不是极值点情形)xyo0 x xyo0 x (是极值点情形是极值点情形)例例1 1 求函数求函数32)1()(xxxf的极值的极值 .解解:1)1)求导数求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)2)求可能的极值点求可能的极值点令令,0)(xf得得;521x令令,)(xf得得02x3)3)列表判别列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(520 x是极大点，是极大点，其极大值为其极大值为0)0(f是极小点，是极小点，其极小值为其极小值为52x33.0)(52f例例2 2解解.)2(1)(32的的极极值值求求出出函函数数 xxf)2()2(3
6、2)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf.)(1)2(的的极极大大值值为为xff.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.Mxyo0 x xyo0 x (不是极值点不是极值点弯弯曲方向改变曲方向改变)xyo0 x xyo0 x (是极值点是极值点曲线曲线弯曲方向不变弯曲方向不变)设设)(xf在在0 x处处具具有有二二阶阶导导数数,且且0)(0 xf,0)(0 xf,那那末末(1 1)当当0)(0 xf时时,函函数数)(xf在在0 x处处
7、取取得得极极大大值值;(2 2)当当0)(0 xf时时,函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值.定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)设设)(xf在在0 x处处具具有有二二阶阶导导数数,且且0)(0 xf,0)(0 xf,那那末末(1 1)当当0)(0 xf时时,函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值;(2 2)当当0)(0 xf时时,函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值.定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证)1(,0,0,0 所所以以，函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值 同理可证同理可证(2).由极限的局部保号性由极限的局部
8、保号性000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 异异号号，与与故故00)()(xxxfxf 时时，当当0 xx )()(0 xfxf 有有时时，当当0 xx )()(0 xfxf 有有例例3 3 求函数求函数1)1()(32 xxf的极值的极值 .解解:1)1)求导数求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22 xxxf2)2)求驻点求驻点令令,0)(xf得驻点得驻点1,0,1321xxx3)3)判别判别因因,06)0(f故故 为极小值为极小值 ;0)0(f又又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号左右邻域内不变号在在由于由于
9、xxf.1)(没没有有极极值值在在xxf1xy1P156-2 设设)(xf在在0 x处处具具有有二二阶阶导导数数,且且0)(0 xf,0)(0 xf,那那末末(1 1)当当0)(0 xf时时,函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值;(2 2)当当0)(0 xf时时,函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值.定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)三、最值的求法oxyoxybaoxyabab求求最最大大值值与与最最小小值值？个个导导数数为为零零的的点点，如如何何，并并且且至至多多有有有有限限设设除除个个别别点点外外处处处处可可导导.,)(,)(在在上上的的最最大大值值与与
10、最最小小值值存存在在上上连连续续，则则在在若若函函数数baxfbaxf步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值.注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值则这个极值就是最值就是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值)四、应用举例例例4 4解解)1)(2(6)(xxxf.4,314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程,0)(xf.1,
11、221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34)1(f;7;142)4(f，最大值最大值142)4(f比较得比较得.7)1(f最最小小值值实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;小小）值值值值即即为为所所求求的的最最（或或最最点点，则则该该点点的的函函数数若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻(kR)例例5.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货D 点应如何选取?20AB100C解解:设,(km)xAD x则
12、,2022xCD)100(320522xkxky)1000(x,)34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问Dkm,公路,某房地产公司有某房地产公司有5050套公寓要出租，当租金定为套公寓要出租，当租金定为每月每月180180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加元时，公寓会全部租出去当租金每月增加1010元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费每月需花费2020元的整修维护费试问
13、房租定为多少元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？可获得最大收入？例例6 6解解设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套，1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20(x 1018050 x（目标函数）（目标函数）10180 x未租出房子为未租出房子为 套，套，P161-15P161-15 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)(xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10
14、890 元元 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例6 6形面积最大形面积最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy解解如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16,8(200 xxB),0,8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x,0)1616643(41020 xxS令
15、令解得解得).(16,31600舍舍去去 xx8)316(s.0.274096)316(为为极极大大值值 s.274096)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s五、小 结极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.2.2.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.3.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)1.1.注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值最值是是整体整体概念而概念而极值极值是是局部局部概念
16、概念.4.4.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.作业:P162:1-(1)(7)、3、4-（2）、6、9、13、思考题思考题1下命题正确吗？下命题正确吗？如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此邻邻域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.思考题思考题1解答解答不正确不正确例例 0,20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时，)0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x为为)(xf的极小值点的极小值点当当0 x时，时，当当0 x时时，,0)1sin2(2 x
17、xx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)(思考题思考题2 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)(af？思考题思考题2解答解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例xxfy )(1,0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0(f的极值。的极值。求函数求函数例例 ttteytex5tttttettteeteey211 解解：不存在。不存在。ytyt ,1;0,
18、1不不存存在在。yexyex ,;0,1,0)(ef又又,0)(ef.1 eex为为极极大大值值点点，极极大大值值为为,0)(1 ef又又,0)(1 ef.1eex 为为极极小小值值点点，极极小小值值为为解解,0000)(xxexxxexfxx 000)(xxeexxxeexfxxxx不可导不可导令令f (x)=0,得得 x=1，,01|)()1(1 xxxxxeeef x=1为极大值点，极大值为极大值点，极大值1)1(ef 在在(-1，0)内，内，f (x)0;例例6 求求 的极值，并求其在的极值，并求其在-1,1上的最值。上的最值。xexxf|)(x=0为极小值点，极小值为极小值点，极小值 f(0)=0.0)0(,)1(,0)0()1(,)1(1 feffefef最最小小值值得得最最大大值值比比较较与与又又例例5.把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁，问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为hbd261hbw,)(2261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31从而有1:2:3:bhd22bdhd32即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.
