1、第三节第三节 向量值函数在定向曲线上的积分向量值函数在定向曲线上的积分二、第二类曲线积分的概念二、第二类曲线积分的概念四、推广四、推广三、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的计算一、一、定向曲线及其切向量定向曲线及其切向量五、小结五、小结 作业作业（第二类曲线积分）（第二类曲线积分）一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量定向曲线：定向曲线：规定了方向的曲线规定了方向的曲线.若若定定向向曲曲线线的的参参数数方方程程为为()():()xx tyy ttabzz t (),(),(),(),(),();()A x ay a z aB x by b z bab -则则为为起起点点为为终终点点
2、为为的的定定向向曲曲线线 与与其其相相反反的的曲曲线线记记作作注注意意:这这时时的的 未未必必小小于于规定：规定：定向光滑曲线上各点处的切向量的方向定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向一致总是与曲线的走向一致.(),(),()abMx ty tz t 则则当当时时，在在点点处处的的切切向向量量 (),(),(),(),(),()M x ty tz tN x tty ttz tt 设设 (),(),()abMx ty tz t 则则当当时时，在在点点处处的的切切向向量量 结论：结论：()():()(),(),(),xx tyy ttabzz tx ty tz tabab 由由 给给
3、出出的的定定向向曲曲线线在在任任一一点点处处的的切切向向量量 当当时时取取正正时时取取负负.oxyABL二、第二类曲线积分的概念二、第二类曲线积分的概念1 nMiM1 iM2M1M实例：实例：(,),(,),FP x y Q x yL 设设在在 上上连连续续,:,FLL AB 变变力力 沿沿定定向向曲曲线线所所作作的的功功cosdWF dr 功功元元素素 F dr F e ds ()dr 为为定定向向弧弧元元素素()LWF e ds 定义：定义：(,),(,)FP x y Q x yL 向向量量值值函函数数在在定定向向曲曲线线 上上的的曲曲线线积积分分为为()LLFFe dsdr (,),(,
4、)(cos,cos)LP x y Q x yds (,)cos(,)cos)LP x yQ x yds (,)(,)LP x y dxQ x y dy ,Ldr 也也称称为为第第二二类类或或对对坐坐标标的的曲曲线线积积分分叫叫定定向向积积分分曲曲线线叫叫定定向向弧弧元元素素.注意：注意：1 F eL 、第第二二类类曲曲线线积积分分本本质质上上就就是是第第一一类类曲曲线线积积分分,即即在在曲曲线线 上上的的第第一一类类曲曲线线积积分分.2(,),(,),LFP x y Q x yLF dr 、若若在在光光滑滑定定向向曲曲线线 上上 连连续续 则则一一定定存存在在.3.LF drFL 、物物理理意
5、意义义：表表示示变变力力 沿沿定定向向曲曲线线 从从起起点点到到终终点点所所做做的的功功4 L、性性质质(设设 是是定定向向曲曲线线)(1)线线性性性性质质()LLLFGdrF drG dr 12(2)()LLL 可可加加性性12.LLLPdxQdyPdxQdyPdxQdy (3)方方向向性性即第二类曲线积分与曲线的方向有关即第二类曲线积分与曲线的方向有关.LLPdxQdyPdxQdy 三、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的计算22(,),(,),(),(),(,),(),(),()()0,(,)(,),LP x y Q x yLxx tLtayy tbM x yLALBx ty tab
6、xtytP x y dxQ x y dy 设设在在曲曲线线弧弧 上上有有定定义义且且连连续续的的参参数数方方程程为为当当参参数数 单单调调地地由由 变变到到 时时 点点从从 的的起起点点 沿沿 运运动动到到终终点点在在以以及及为为端端点点的的闭闭区区间间上上具具有有一一阶阶连连续续导导数数 且且则则曲曲线线积积分分存存在在定理：定理：(,)(,)(),()()(),()()LbaP x y dxQ x y dyP x ty t x tQ x ty ty t dt 且且 计算步骤：计算步骤：(1)():Lt ab写写出出 的的参参数数方方程程 带带方方向向(2)(,(),().x yx ty t
7、表表为为定定积积分分并并计计算算分分别别用用代代替替特殊情形：特殊情形：(1):(),.L yy xxab 起起点点为为终终点点为为则则 ,(),()().bLaPdxQdyP x y xQ x y xy x dx (2):(),.L xx yycd 起起点点为为终终点点为为则则 (),()(),.dLcPdxQdyP x yy xyQ x yy dy 例例1 1、2,(1,1)(1,1).LxydxLyxAB 计计算算其其中中 为为抛抛物物线线上上从从到到的的一一段段弧弧45答答案案:xy 2)1,1(A)1,1(B2,(1);(2)(,0)(,0).Ly dxLaA axBa 计计算算其其
8、中中 为为半半径径为为、圆圆心心为为原原点点、按按逆逆时时针针方方向向绕绕行行的的上上半半圆圆周周从从点点沿沿轴轴到到点点的的直直线线段段例例2 2、)0,(aA)0,(aB 34:(1).3a 答答案案)0,(aA)0,(aB (2)0.注意：注意：被积函数相同，起点和终点也相同，被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同，积分结果也不同但路径不同，积分结果也不同.例例3 3、222,(1)(0,0)(1,1);(2),(0,0)(1,0),(1,1).Lxydxx dyLyxOBOABO A B 计计算算其其中中 为为抛抛物物线线上上从从到到的的一一段段弧弧有有向向折折线线，这这里里依依次
9、次是是点点2xy )0,1(A)1,1(B)0,1(A)1,1(B:(1)1;答答案案(2)1.注意：注意：被积函数相同，起点和终点也相同，被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同但路径不同而积分结果相同.四、推广四、推广(,),(,),(,)()():()FP x y z Q x y zR x y zxx tyy tt abzz t 向向量量值值函函数数在在定定向向曲曲线线:上上的的第第二二类类曲曲线线积积分分为为()F edrdsF (,)(,)(,)P x y z dxQ x y z dyR x y z dz (),(),()()(),(),()()(),(),()()b
10、aPdxQdyRdzP x ty tz tx tQ x ty tz ty tR x ty tz t z t dt 且且有有例例4.设在力场设在力场作用下作用下,质点由质点由沿沿 移动到移动到),2,0,(kRB)0,0,(RA.)2(ABBAzyx试求力场对质点所作的功试求力场对质点所作的功.;,sin,cos)1(t kztRytRx其中其中 为为),(zxyF(2)的参数方程为的参数方程为kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d222ksFWd解解:(1)zzyxxydddttkR2022d)()(222Rk sFWdozyx例例5.求求,d)(d)(d)(zyxyzx
11、xyzI其中其中,2122zyxyx从从 z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向.解解:取取 的参数方程的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd)sin)(cossin(cos)sin)(cos2(tt 2tt d)cos41(220练习、练习、,(2,0,0)(3,4,5)(3,4,0)ydxzdyxdzABC 求求其其中中是是从从到到再再到到的的折折线线段段.192答答案案:五、小结五、小结1、第二类曲线积分的概念、第二类曲线积分的概念2、第二类曲线积分的计算、第二类曲线积分的计算思考题：思考题：当当曲曲线线
12、 L 的的参参数数方方程程与与参参数数的的变变化化范范围围给给定定之之后后（例例如如 L：taxcos，taysin，2,0 t，a 是是正正常常数数），试试问问如如何何表表示示 L的的方方向向（如如 L 表表示示为为顺顺时时针针方方向向、逆逆时时针针方方向向）？思考题解答：思考题解答：曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例例如如L：taxcos，taysin，2,0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0 时时，L取取顺顺时时针针方方向向.F原点原点 O 的距离成正比的距离成正比,备用题备用题1.设一个质点
13、在设一个质点在),(yxM处受处受恒指向原点恒指向原点,)0,(aA沿椭圆沿椭圆此质点由点此质点由点12222byax沿逆时针移动到沿逆时针移动到,),0(bB),(yxMxyo)0,(aA),0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t,),(yxOM F 的大小与的大小与M 到原到原F 的方向的方向力力F 的作用的作用,求力求力F 所作的功所作的功.),(yxkFF),(xyk思考思考:若题中若题中F 的方向的方向 改为与改为与OM 垂直且与垂直且与 y 轴夹锐角轴夹锐角,则则)0,0,1(A)0,1,0(B)1,0,0(Coxyz2.已知已知为折线为折
14、线 ABCOA(如图如图),计算计算zyyxIddd提示提示:I001d)1(yy10dx2)211(12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd3.解解:zxoyABzk222zyxkzjyi xzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz)10:(t101d3ttk2ln3k)1,2,2(A线移动到线移动到,)2,4,4(B向坐标原点向坐标原点,其大小与作用点到其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比面的距离成反比.沿直沿直sFWLdF)(0r)1,2,2(ABr求求 F 所作的功所作的功 W.已知已知 F 的方向指的方向指一质点在力场一
15、质点在力场F 作用下由点作用下由点4.设曲线设曲线C为曲面为曲面2222azyx与曲面与曲面axyx22,)0,0(的交线az从从 ox 轴正向看去为逆时针方向轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线写出曲线 C 的参数方程的参数方程;(2)计算曲线积分计算曲线积分.ddd222zxyzxyC解解:(1)22222)()(aayx222yxaztxaacos22tyasin22sintaz 20:t(2)原式=ta38sin3tttadcos)cos1(2283令tu20uuuaacoscossin2223833uuuadsin)cos1(2283利用“偶倍奇零”0232auuudcos2cos134attacossin2223
