1、一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第八节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与初等函数的连续性 第二章 定理定理2.连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1.在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和,差差,积积,(利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商商(分母不为分母不为 0)运算运算,结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数.例如
2、例如,例如例如,xysin在,22上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数xyarcsin(递减递减).(证明略证明略)在在 1,1 上也连续单调递增上也连续单调递增.递增递增(递减递减)也连续单调也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.xey 在在),(内连续内连续 单调单调 递增递增,其反函数其反函数xyln在),0(内也连续单调递增内也连续单调递增.证证:设函数设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uufy.)()(lim00ufufuu于是于是)(lim0 xfxx)(lim0uf
3、uu)(0uf)(0 xf故复合函数故复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如,且且即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,xy1sin是由连续函数链是由连续函数链),(,sinuuy,1xu*Rx因此因此xy1sin在在*Rx上连续上连续.复合而成复合而成,xyoxy1sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,指数函数指数函数xay 可看成由连续函数链可看成由连续函数链),(,ueyu,lnaxu),(x复合而成复合而成,因而指数函数因而指数函数xay 在在 R 内连续内连续.由反函数的连续性知由反函数的连续性知,对数函数对数函数 在其定义域在其定义域 R+内亦连续内亦连
4、续.xyalog）内亦连续。，在（幂函数0lnxexy例例1.设设)()(xgxf与均在均在,ba上连续上连续,证明函数证明函数)(,)(max)(xgxfx 也在也在,ba上连续上连续.证证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则根据连续函数运算法则,可知可知)(,)(xx也在也在,ba上上连续连续.)(,)(min)(xgxfx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数
5、连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,21xy的连续区间为的连续区间为1,1(端点为单侧连续端点为单侧连续)xysinln的连续区间为的连续区间为Znnn,)12(,2(1cosxy的定义域为的定义域为Znnx,2因此它无连续点因此它无连续点而而机动 目录 上页 下页 返回 结束 在函数在函数 f 连续的条件下连续的条件下,如果已知如果已知f(x)在点在点x0连续连续,则给出了求极限的一种方法则给出了求极限的一种方法,这就是这就是:)()(lim00 xfxfxx 另外另外,在在f 连续的条件下连续的条件下,求复合函数极求复合函数极限的公式
6、可改写为限的公式可改写为)(lim)(limxufxuf利用这个公式可以解决一系列极限计算问题利用这个公式可以解决一系列极限计算问题.例例2.求.)1(loglim0 xxax解解:原式原式xxax1)1(loglim0 xxax/101limlogaealn1log例例3.求.1lim0 xaxx解解:令,1xat则,)1(logtxa原式原式)1(loglim0ttataln说明说明:当当,ea 时时,有有0 x)1ln(x1xexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 1xaaxln例例4.证明证明.1)1(lim0 xxx例例5:求求.)0(coslncoslnlim0bbxaxx例例6
7、.求求).,0,()()(lim2022babababaxxxxx例例7:求求.,)1()1(lim0是常数xxxx例例8.求求.)21(limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明说明:若若,0)(lim0 xuxx则有则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 x2等价地等价地:当当计算公式是时,1vuvuveu)1lim(lim例例9:设设).(,812limaxaxxx则解解:左边左边=81)12(limexp112
8、limexp12axxexxaxxax.212ln23a两边取自然对数得1,41,)(xxxxx例例10.设设,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数讨论复合函数)(xf的连续性的连续性.)(xf1,2xx1,2xx故此时连续故此时连续;而而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故故)(xfx=1为第一类间断点为第一类间断点.1)(),(2xx1)(,)(2xx,)(1为初等函数时xfx在点在点 x=1 不连续不连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结基本初等函数基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续连续函数的连续函数的四则运
9、算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.设函数设函数)(xf于于x=0 处连续，且对任意实数处连续，且对任意实数x，有，有,)()2(xfxf证明证明 f(x)是常数函数是常数函数.证明证明:由条件由条件)()2(xfxf可以推出可以推出nxfxfxfxf242)()0(2lim2lim)(lim)(fxfxfxfxfnnnnn由由 x 的任意性即知的任意性即知：f(x)=f(0).
