1、2023-1-31第3讲 图形与几何（一）知识导航1.进一步理解角、垂直与平行、三角形和四边形的概念，掌握它们的特征和性质，以及各图形的联系;掌握圆的基本特点，能用工具画指定的圆。2.进一步明确直线、射线和线段的区别和联系；同一平面内的两条直线的几种位置关系；明确角的分类，角的大小与什么有关；能度量和画指定的角、平行线，根据已知条件计算角的度数。3.掌握周长和面积的含义，以及周长和面积的公式是怎样导出的，并能根据它们的含义和公式计算所学图形的周长和面积。学习目标2023-1-31平面图形的认识画一画，想一想。经过一点可以画？条直线。从一点可以引出？条射线。经过两点只可以画？条直线。线段：直线上
2、两点间的一段叫做线段。射线：把线段的一端无限延长，就得到一条射线。直线：把线段的两端无限延长，就可以得到一条直线。2023-1-31看一看，想一想。同一平面内的两条直线会有哪些位置关系呢？相交相交互相平行交点垂足互相垂直同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线，也可以说两条直线互相平行。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。角的认识顶点边边从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边，角通常用符号“”来表示。角的大小与什么有关？怎么用量角器测量角的大小呢？角可以分成锐角、直角三角形由三条线段围成的
3、封闭图形叫做三角形。三角形具有稳定性（不易变形）；三角形的三个内角和是180。请将下列三角形分类：底高底高底高高底4cm4cm4cm453535四边形由四条线段围成的封闭图形叫做四边形。四边形具有不稳定性（容易变形）；四边形的四个内角和是360。上底下底腰高底高高长宽说一说下列四边形的定义和特征：底边长边长（3）由图意可知：甲的周长=长方形的长+宽+公共曲线边长，乙的周长=长方形的长+宽+公共曲线边长，所以甲的周长=乙的周长。（3）根据“圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小”进行解题即可。（4）有一个三角形的三个内角都不相等，其中最小的角是45，这个三角形是（）三角形。由此可知：任意圆的周长都是
4、它直径的倍；（1）甲乙两圆的周长之比是3：5，则甲乙两圆的面积之比是（）（180-35）2=1452=72.（3）依据圆的面积公式即可求得结果。直线：把线段的两端无限延长，就可以得到一条直线。能度量和画指定的角、平行线，根据已知条件计算角的度数。（2）圆的周长与它的半径的比是2：1。S阴影=S大扇形+S小扇形-S长方形（2）利用三角形的面积公式即可解答；用一根长12厘米长的铁丝围成长方形或正方形（接头处忽略不计），有几种不同的围法（边长取整厘米数）？其中面积最大的是多少平方厘米？（1）在A点对面马路边有一棵柏树，已知柏树与A点连线正好与马路边形成60夹角，请用“”号在右图中标出柏树的大概位置。
5、（4）有一个三角形的三个内角都不相等，其中最小的角是45，这个三角形是（）三角形。（3）在量角器上找出要画的角的度数的刻度，点上一个点；圆形画圆时，固定的一点叫做圆心（o），从圆心到圆上任意一点的线段叫做半径（r），半径有无数条；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径（d），直径有无数条。圆心决定圆的位置，半径（直径）决定圆的大小。O圆心半径r直径d2023-1-31平面图形的周长和面积abab=S()b+a2=C2a=S4a=Caaah=Sah21=Sb）h+（a21=S2r =S2r=d=C2023-1-31例1.下图是一个等腰三角形，已知1=100，那么2=，3=。平面图形的认识2023
6、-1-31【答案】80；50【解析】（1）因为1和2的和是平角，所以2=180-1，又1=100，因此2很容易得出：2=180-1=180-100=80；（2）因为ABC是等腰三角形，利用三角形的内角和，即可求出3的度数。因为ABC是等腰三角形，所以3=（180-2）2=（18080）2=50此题考查了平角的概念、等腰三角形的特点，以及三角形的内角和等知识。2023-1-31 例2.判断。（1）一个三角形的三条边长分别为2cm、5cm、7cm。（）（2）由三条线段围成的图形叫三角形。（）（3）等边三角形也是锐角三角形。（）2023-1-31【答案】；【解析】（1）根据三角形的特性：两边之和大于
7、第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。因为：5+2=7，所以三条边长分别是7厘米、2厘米、5厘米不能围成三角形。解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可；（2）由三条线段围成的图形叫三角形，据此解答即可。本题考查了三角形定义这一基础知识。重点是“线段”与“直线”的区别；（3）根据等边三角形的特征：三条边都相等，三个角都是60度；因为三个角都是锐角，根据锐角三角形的含义得出结论。解答此题应结合题意，并根据等边三角形的特征和锐角三角形的含义进行解答。例3.判断。（1）四条边都相等的四边形都是正方形。（）（2）如果平行四边形的面积是三角形面积的2倍，那么它们一定等底等高。（
8、）（3）有一组对边平行的四边形叫做梯形。（）2023-1-31【答案】；【解析】（1）根据正方形的含义有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，叫正方形，即正方形四条边都相等，四个角都是90度；进而进行判断即可。根据正方形含义可知：四边形的四条边相等，但角不一定是90，所以四条边相等的四边形，都是正方形，说法错误；此题应根据正方形的意义进行解答。考点：平行四边形的面积；三角形的周长和面积。（2）本题根据三角形的面积和平行四边形面积公式，通过举（2）如果一个三角形每两个内角之差都等于0，这个三角形一定是（）三角形。在下面的方格图中先画出和长方形面积相等的平行四边形、三角形、梯形各一个，再在长方
9、形中画一个最大的圆。（4）小圆的直径等于大圆的半径，小圆的面积与大圆面积的比是所以三角形ABD和三角形ADC的面积相等，4m的直角三角形小红旗。此题主要考查对于图形的转换，关键要从整体上分析。（）（1）根据正方形的含义有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，叫正方形，即正方形四条边都相等，四个角都是90度；答：大约需要10分钟。角可以分成锐角、直角圆的面积公式为r2，若r扩大3倍，则其面积扩大32=9倍。（4）小圆的半径是102=5米，大圆的半径是5+1=6米，利用圆环的面积=大圆的面积-小圆的面积，据此解答即可。因为122=6=5+1=4+2=3+3，所以有3种围法；反例即可作出判断。底
10、4，高6的三角形面积是462=12，底3，高8的平行四边形面积是38=24，所以平行四边形的面积是三角形面积的2倍，但平行四边形和这个三角形不是等底等高。故答案为：。此题主要考查等底等高的平行四边形的面积是三角形的面积的2倍这一结论，但是反过来，已知平行四边形的面积是三角形的2倍，不能确定它们就是等底等高。（3）面积相等的梯形它的形状不一定相等，所以不一定能拼成平行四边形。例4.填空。（1）一个圆的半径是6cm，它的周长是，面积是。（2）在一个圆里有条直径，条半径。（3）的长短决定圆的大小，决定圆的位置。（4）任意圆的周长都是它直径的 倍。2023-1-31【答案】37.68厘米，113.04
11、平方厘米；无数，无数；半径，圆心；【解析】（1）根据圆是周长公式：c=2r，面积公式：s=r2，把数据分别代入公式解答即可。23.146=37.68（厘米）；3.1462=3.1436=113.04（平方厘米）；此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用。（2）直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段；半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。从定义上看：在一个圆里，有无数条直径，有无数条半径。此题考查在一个圆中直径和半径的数量，都有无数条。（3）根据“圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小”进行解题即可。此题考查了圆的特征。（4）根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率；圆周率用表示。由此可
12、知：任意圆的周长都是它直径的倍；据此解题即可。明确圆周率的含义是解答此题的关键。2023-1-31例5.判断。（1）一个正方形的边长是4米，它的周长和面积相等。（）（2）圆的周长与它的半径的比是2：1。（）（3）如图中，甲、乙两部分的周长相比较，甲的周长大于乙的周长。（）平面图形的周长和面积2023-1-31【答案】；【解析】（1）面积单位和周长单位是两种不同的计量单位，无法比较。边长4米的正方形面积和周长无法比较，故答案为：。考查了正方形的周长和面积的比较，是基础题型，比较简单（2）圆的周长=2r，依据比的意义即可得出圆的周长与半径的比因为圆的周长：C=2r，所以C：r=2：1，即题干的说法
13、是正确的。故答案为：此题主要依据比的意义和熟记圆周长公式来解决问题。（3）由图意可知：甲的周长=长方形的长+宽+公共曲线边长，乙的周长=长方形的长+宽+公共曲线边长，所以甲的周长=乙的周长。解决此题的关键是明白，曲线部分是二者的公共边长，从而轻松求解。2023-1-31例6.在下面的方格图中先画出和长方形面积相等的平行四边形、三角形、梯形各一个，再在长方形中画一个最大的圆。2023-1-31【答案】【解析】可设方格图中每个小正方形的边长为1个单位长度，则可求出长方形的面积，再根据长方形的面积推算出面积相等的平行四边形、三角形的底和高，以及梯形的上底、下底以及高，再在规定的地方画出即可。对于在长
14、方形中画出面积最大的圆，只要以长方形的较短边为直径画圆即可。设方格图中每个小正方形的边长为1个单位长度，则图中长方形的长为3，宽为2，所以面积是：32=6，由此所画各图的面积都应为6。对于平行四边形，取底为3，高为2，由平行四边形的面积公式可得，面积=底高=32=6；对于三角形，取底为3，高为4，由三角形的面积公式，面积=底高2=342=6；对于梯形，取上底为2，下底为4，高为2，由梯形的面积公式：面积=（上底+下底）高2=（2+4）22=6；解决此题的关键是能正确推导出面积相等的各类图形的底、高以及圆的半径，其实在面积相等的条件下画出的图形的形状不一定相同，只要满足面积相等即可。1.直线、射
15、线和线段的比较：平面图形的认识端点数量延长性能否度量长度比较直线射线线段 没有端点 有一个端点 有两个端点可向两端无限延长可向一端无限延长 不能向 两端延长不能测量长度不能测量长度能测量 长度 无限长，不能比较长度 有限长，能比较长度 无限长，不能比较长度2.量角的方法：（1）把量角器放在角的上面，使量角器的中心与角的顶点重合；（2）调整量角器，使“0”刻度线与角的一条边重合；（3）读出角的另一边所对量角器上的度数，就是这个角的度数。1211213.画角的方法：（1）确定顶点，画一条射线；（2）使量角器的中心与射线的端点重合，“0”刻度线与射线重合；（3）在量角器上找出要画的角的度数的刻度，点
16、上一个点；（4）把射线的端点与刚才的点连起来。4.平面图形周长和面积的公式变形：平面图形的周长和面积b-2C=aa-2C=b4C=ahS=aaS=hh2S=aa2S=hb+a2S=hb-h2S=aa-h2S=bbS=aaS=b长方形正方形平行四边形三角形梯形圆形C=d2C=r()22d=S()22C=S1.如图，1=15，2=35，求3的度数。【答案】4=180-9035=9035=553=1801555=16555=110 答：3等于110度。【解析】根据三角形的内角和等于180度，ABC是直角三角形，用180减去90，再减去2的度数，即可求出4的度数，用180减去1的度数，再减去4的度数，
17、即可求出3的度数，列式解答即可。掌握三角形的内角和等于180度是解题的关键。2填空（1）一个三角形三个角的比5：3：1，则这个三角形是（）三角形。（2）如果一个三角形每两个内角之差都等于0，这个三角形一定是（）三角形。（3）在一个三角形中，两个内角度数的和小于第三个内角，这个三角形是（）三角形。（4）有一个三角形的三个内角都不相等，其中最小的角是45，这个三角形是（）三角形。【答案】（1）钝角；（2）等边；（3）钝角；（4）锐角【解析】（1）三角形的内角和为180，直接利用按比例分配求得份数最大的角，进而根据三角形的分类进行解答即可。5+3+1=9，180 =100（度），因为最大的角为100
18、度，是钝角，所以该三角形是钝角三角形；故答案为钝角。此题主要利用三角形的内角和是180度与按比例分配来解答问题。（2）根据等边三角形的含义：三个角都相等的三角形叫做等边三角形；据此解答。由分析可知：如果一个三角形每两个内角之差都等于0，则三角形95的三个内角都相等，即1803=60，所以这个三角形一定是等边三角形。此题考查等边三角形的含义，应注意灵活运用。（3）三角形的三角内角和等于180度，如果其中两个内角之和小于第三个内角，说明第三个内角大于90度，根据钝角三角形的含义：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；可知这个三角形是钝角三角形。三角形的内角和是180度；钝角三角形的含义。（4）最小的
19、角是45，则另外两角都应大于45，由三角形的内角和可知，这两个角还都应小于90，所以问题得解。另外两角的和=180-45=135，假设一个角是90，则另一个角就是45，这与题干相违背。所以另外两个角都应小于90，这个三角形就是锐角三角形。故答案为锐角。此题主要考查对三角形分类的掌握。3.选择题。（1）甲乙两圆的周长之比是3：5，则甲乙两圆的面积之比是（）A.3：5 B.5：3 C.9：25 D.25：9（2）在周长相等的情况下，下面的图形中（）的面积最大。A.长方形 B.正方形 C.圆（3）圆的半径由3厘米增加到4厘米，圆的面积增加了（）平方厘米。A.3.14 B.12.56 C.21.98（
20、4）小圆的直径等于大圆的半径，小圆的面积与大圆面积的比是（）。A.12 B.14 C.18 【答案】C；C；C；B【解析】（1）圆的周长之比等于半径之比，圆的面积之比等于半径之比的平方；（2）周长相等的长方形、正方形和圆中，圆的面积最大；（3）半径为3厘米的圆的面积为28.26平方厘米，半径为4厘米的圆的面积为50.24平方厘米，所以50.2428.26=21.98平方厘米；（4）圆的面积之比等于半径之比的平方，根据题意可知小圆与大圆的半径之比为1:2，所以面积之比就是1:4。2023-1-314.用一根长12厘米长的铁丝围成长方形或正方形（接头处忽略不计），有几种不同的围法（边长取整厘米数）
21、？其中面积最大的是多少平方厘米？【答案】因为122=6=5+1=4+2=3+3，所以有3种围法；33=9（平方厘米）；答：共有3种围法，其中面积最大的是9平方厘米。【解析】只要看（122）可以分成多少组两个整数的和即可知道有多少种围法；其中数值最接近的两个数的乘积最大，利用长方形的面积公式即可求出。因为122=6=5+1=4+2=3+3，所以有3种围法；33=9（平方厘米）；共有3种围法，其中面积最大的是9平方厘米。解答此题的关键是明白，把122分成多少组两个整数的和，就有多少种围法；长和宽最接近的面积最大。2023-1-315.求阴影部分的面积。（1）大正方形的边长是6厘米，小正方形的边长是
22、4厘米，求阴影部分面积。（2）根据图中已知条件求阴影部分的面积。（3）如图，三角形ABC的面积是56平方米，BD=DC，DE垂直于AC，AC=14米。求图中阴影部分的面积。（1）（2）（3）2023-1-31【答案】（1）（44+66）-662-4（4+6）2=14（平方厘米）；答：阴影部分的面积是14平方厘米。（2）R2+r2-ab=4.205（平方厘米）答：阴影部分的面积为4.205平方厘米。（3）562=28（平方米）答：阴影部分的面积是28平方米。【解析】（1）由图可以看出：阴影的面积就是两个正方形的面积和减去两个三角形的面积。阴影的面积=大正方形面积+小正方形的面积-等腰直角三角形的
23、面积-直角三角形的面积，4141此题主要考查对于图形的转换，关键要从整体上分析。（2）根据图可知，以2厘米为半径的扇形和3厘米为半径的扇形相交后，公共的部分为A，且重叠在一起，所以把两个扇形的面积加起来后减去长方形的面积就是剩下的阴影部分的面积。S阴影=S大扇形+S小扇形-S长方形关键是明确阴影部分的面积等于两个扇形的面积加起来后减去长方形的面积。（3）三角形的面积=底高2，根据等底等高的三角形的面积相等进行计算即可。因为BD=DC，所以三角形ABD和三角形ADC的面积相等，因为三角形ABC的面积是56平方米，所以图中阴影部分的面积为：562=28（平方米）明确等底等高的三角形的面积相等，是解
24、答此题的关键。2023-1-316.操作题。图中半圆形的直径是4厘米。（1）过B点画出AC边得平行线。（2）图中三角形ABC的面积是多少？（3）求出这个半圆的周长。（取3.14）2023-1-31【答案】（1）根据题干分析，可画图如下：（2）422=4（平方厘米），答：三角形的面积是4平方厘米。（3）3.1442+4 =6.28+4 =10.28（厘米）答：半圆的周长是10.28厘米。【解析】（1）把三角板的一条直角边与AC重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边，向AC画直线即可；（2）利用三角形的面积公式即可解答；（3）半圆的周长=它所在的圆的周长的
25、一半+直径，由此利用圆的周长公式即可解答。此题考查了平行线的画法、三角形的面积、半圆的周长公式的灵活应用。1.填空。（1）在直角三角形中，其中一个锐角是38，另一个锐角是（）度。（2）一个等腰三角形的一个顶角是35，它的底角是（），这个三角形按角分是（）三角形。（3）三角形ABC是直角三角形，AC=6，AB=8，BC=10，那么斜边BC边上的高为（）。（4）要在一个直径是10米的圆形花坛周围修一条宽1米的小路，这条小路占地面积是（）平方米。【答案】（1）52（2）72.5；锐角（3）4.8（4）34.54【解析】（1）直角三角形中隐含了直角是90，再由三角形的内角和是180来求解。180-90
26、-38=52在直角三角形中两个锐角的和是90。（2）因为等腰三角形的两个底角相等，再根据三角形的内角和是180度，用180减去35再除以2，可以求出底角的度数，再根据三个角的度数，即可判定这个三角形的类别。（180-35）2=1452=72.5所以这个三角形又叫做锐角三角形。解答此题的关键是：先依据等腰三角形的特点以及三角形的内角和定理确定出三角形的底角的度数，即可判定这个三角形的类别。（3）先根据直角三角形的两条直角边的长度得到三角形ABC的面积，再乘2除以斜边即可得到斜边上的高。682=24，24210=4.8，考查了三角形面积公式：S=ah的灵活运用。（4）小圆的半径是102=5米，大圆
27、的半径是5+1=6米，利用圆环的面积=大圆的面积-小圆的面积，据此解答即可。小圆的半径是102=5米，大圆的半径是5+1=6米，3.14（62-52）=3.14（36-25）=3.1411=34.54（平方米）此题主要考查圆环的面积的计算方法的灵活应用。2选择题。（1）角的两条边是（）。A.线段 B.直线 C.射线（2）下面各组小棒中能围成三角形的是（）组。A.3厘米、3厘米、6厘米B.3厘米、4厘米、5厘米 C.2厘米、3厘米、6厘米（3）一个圆的半径扩大3倍，面积扩大（）倍。A.3 B.6 C.9（4）如图，长方形内有两个三角形和，那么的面积（）的面积。A.B.C.=【答案】C；B；C；C
28、【解析】（1）根据角的定义：从一点引出两条射线，所组成的图形叫作角。这两条射线叫作角的边，据此解答。根据角的含义可知：角的两条边是两条射线。明确角的含义，是解答此题的关键（2）A选项中3+3=6，则不能构成三角形；C选项中2+36，则不能构成三角形。（3）依据圆的面积公式即可求得结果。圆的面积公式为r2，若r扩大3倍，则其面积扩大32=9倍。此题主要考查圆的面积公式。（4）如图所示，三角形ABC和三角形DBC等底等高，则二者的面积相等，二者分别减去公共部分三角形BOC，则剩余的部分仍然相等，即三角形和三角形的面积相等，据此即可判断。解答此题的主要依据是：等底等高的三角形面积相等。3.填表。图形
29、底/m高/m面积/m平行四边形1.20.7 3.216三角形5.4 12.15 8.568梯形上底13.2下底6.87.1 上底下底1812.6283.5【答案】图形底/m高/m面积/m平行四边形 0.845 三角形 4.5 16 梯形 71上底 27 【解析】本题根据平行四边形、三角形以及梯形的面积计算公式进行求解。第二、三、四、六题，可以列方程解答。4.操作题。（1）在A点对面马路边有一棵柏树，已知柏树与A点连线正好与马路边形成60夹角，请用“”号在右图中标出柏树的大概位置。（2）先画一条通过A、B的直线，再画一个通过A、B两点的最小的圆，并标明圆心与直径。【答案】（1）（2）【解析】（1
30、）柏树的位置有两种情况，一种是在点A的左边，一种是在点A的右边，过A点作MAB=60和NAC=60，AB与与马路对面边的交点B、C就是柏树的位置。此题考查了角的画法。（2）根据题意，可利用直尺，通过A、B作条直线；要使通过点A、B的圆最小，那么点A、B就在最小圆的圆周上，即线段AB为最小圆的直径，据此作图即可。解答此题的关键是确定最小圆的直径，然后再作图即可。5.解决问题。（1）一辆自行车的车轮半径是40厘米，车轮每分钟转100圈，要通过2512米的桥，大约需要几分钟？(车身的长度忽略不计)（2）下图是一块红布，辅导员李老师准备用这块红布剪直角边分别是0.7m，0.4m的直角三角形小红旗。最多可以剪多少面？【答案】（1）3.14402100=25120厘米=251.2(米)2512251.2=10(分钟)答：大约需要10分钟。（2）(3.60.4)(1.40.7)2=36(面)答：最多可以剪36面。【解析】（1）首先求出车轮转动一圈的周长，然后计算出每分钟所行走的路程，然后用总路程每分钟的路程=总时间（2）本题根据长方形的长用作三角形的短边，则分成9份，宽用作三角形的长边，则分成2份，然后计算。
