1、 第二章第二章 逻辑函数及其简化逻辑函数及其简化n2.1 逻辑代数逻辑代数 n2.1.1 基本逻辑基本逻辑n2.1.2 基本逻辑运算基本逻辑运算n2.1.3 真值表与逻辑函数真值表与逻辑函数n2.1.4 逻辑函数相等逻辑函数相等n2.1.5 三个规则三个规则 n2.1.6 常用公式常用公式n2.1.7 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式n2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化n2.2.1 公式化简法公式化简法n2.2.2 卡诺图化简法卡诺图化简法n作业：n补2.1、补2.2、n2.1(1)(2)(3)、2.2(1)(2)、2.3(1)(4)、2.4(1)(2)、2.5(1)(3)(10)、2.
2、6(1)n2.7(1)、2.8(1)(3)(5)n2.9(1)(8)第第2章章 逻辑函数及其化简逻辑函数及其化简n布尔代数：布尔代数：18491849年，英国数学家乔治年，英国数学家乔治布尔首先提出了描述客观布尔首先提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法事物逻辑关系的数学方法.n开关代数：开关代数：19381938年，克劳德年，克劳德香农将布尔代数应用到继电器开关电香农将布尔代数应用到继电器开关电路的设计。路的设计。n逻辑代数：逻辑代数：随着数字技术的发展，布尔代数成为数字逻辑电路的随着数字技术的发展，布尔代数成为数字逻辑电路的分析与设计的基础。分析与设计的基础。本章主要内容本章主要内容n简单介
3、绍逻辑代数的基本公式、重要定简单介绍逻辑代数的基本公式、重要定理、常用公式。理、常用公式。n介绍逻辑函数及其表示方法。介绍逻辑函数及其表示方法。n重点讲述：重点讲述：应用逻辑代数简化逻辑函数应用逻辑代数简化逻辑函数的方法的方法代数法代数法和和卡诺图法卡诺图法。2.1 逻辑代数逻辑代数2.1.1 基本逻辑基本逻辑n在二值逻辑中，最基本的逻辑：在二值逻辑中，最基本的逻辑：n与逻辑（与逻辑（逻辑乘)n或逻辑、或逻辑、(逻辑加)、n非逻辑。非逻辑。(逻辑反)、定义：开关闭合为1，断开为0。灯亮为1，灯灭为0。1、与逻辑FE AB 真值表 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A B FFE
4、AB与逻辑可以用逻与逻辑可以用逻辑表达式表示为辑表达式表示为F=AB n例：与逻辑关系例：与逻辑关系n可以得出这样一种因果关系：可以得出这样一种因果关系：n只有只有当决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关合上）当决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关合上）全部全部具备时，这一事件（如灯亮）具备时，这一事件（如灯亮）才才会发生。会发生。n这种因果关系称为：这种因果关系称为：与逻辑关系与逻辑关系图 与门的逻辑符号 FAB(a)(b)&FAB(c)FAB 实现与逻辑的单元电实现与逻辑的单元电路称为与门，其逻辑符号路称为与门，其逻辑符号如图所示。如图所示。实现了实现了F=AB的功能。的功能。灭为0。定义：
5、开关闭合为1，断开为0。灯亮为1，灯F 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 A B F真值表F 或逻辑可以用逻辑或逻辑可以用逻辑表达式表示为表达式表示为F=A+B n或逻辑关系或逻辑关系n可得因果关系：可得因果关系：n只要在决定某一事件（如灯亮）的各种条件只要在决定某一事件（如灯亮）的各种条件（如开关合上）中，有一个或几个条件具备时，（如开关合上）中，有一个或几个条件具备时，这一事件（如灯亮）就会发生。这一事件（如灯亮）就会发生。或门的逻辑符号 FAB(a)(b)FAB(c)1FAB 实现或逻辑的单元电实现或逻辑的单元电路称为或门，其逻辑符路称为或门，其逻辑符号如图所示。号如图所示
6、。实现了实现了F=A+B的功能。的功能。1 00 1A F真值表非逻辑的逻辑表达式为 AF 通常称A为原变量，为反变量。An非逻辑关系非逻辑关系n可得因果关系：可得因果关系：n事件（如灯亮）发生的条件（如开关合上）具事件（如灯亮）发生的条件（如开关合上）具备时，事件（如灯亮）不会发生；反之，事件备时，事件（如灯亮）不会发生；反之，事件发生的条件不具备时，事件发生。发生的条件不具备时，事件发生。图 2-8 非门逻辑符号 FA(a)FA(b)1FA(c)实现非逻辑的单元电实现非逻辑的单元电路称路称为非门，其为非门，其逻辑符逻辑符号如图所示。号如图所示。实现了实现了 的功能。的功能。AF n上述三种
7、基本逻辑可用上述三种基本逻辑可用逻辑代数逻辑代数来描述来描述n在逻辑代数中，用字母在逻辑代数中，用字母A A、B B、C C、P P来来表示逻辑变量，表示逻辑变量，n如：开关、灯如：开关、灯n这些逻辑变量在二值逻辑中只有这些逻辑变量在二值逻辑中只有0 0和和1 1两种取值，以代表两种取值，以代表逻辑变量的两种不同的逻辑状态。（表示开关的断逻辑变量的两种不同的逻辑状态。（表示开关的断/开，开，灯的灭灯的灭/亮）亮）2.1.2 基本逻辑运算基本逻辑运算最基本的逻辑运算有三种：最基本的逻辑运算有三种：逻辑加、逻辑乘、逻辑非逻辑加、逻辑乘、逻辑非1.1.逻辑加（或运算）逻辑加（或运算）nP=A+BP=
8、A+Bn意义：意义：nA A或者或者B B只要有一个为只要有一个为1 1，则函数值，则函数值P P就为就为1 1n表示表示或逻辑或逻辑关系，电路上用关系，电路上用或门或门实现或运算实现或运算n运算规则：运算规则：n0 00 00 0 n0 01 11 1n1 10 01 1n1 11 11 1n一般形式：一般形式：nA+0=AA+0=AnA+1=1A+1=1nA+A=AA+A=An逻辑加的运算和二进逻辑加的运算和二进制加法规则是不同的制加法规则是不同的逻辑变量逻辑变量:用字母等标识符表示用字母等标识符表示输入取值输入取值：逻辑：逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1仅表仅表示相互对立的示相互对立的两种逻
9、辑状态；两种逻辑状态；不代表数值大小，不代表数值大小，运算结果运算结果：只有逻辑：只有逻辑0 0、逻辑、逻辑1 1两种可能两种可能逻辑加逻辑加1 AA2.2.逻辑乘（与运算）逻辑乘（与运算）nP=AP=AB Bn意义：意义：n只有只有A A和和B B都为都为1 1时，时，P P才为才为1 1n表示表示与逻辑与逻辑关系，电路上用关系，电路上用与门与门实现与实现与运算运算n运算规则：运算规则：一般形式：一般形式：n0 00 00 A0 A1=A1=An0 01=0 A1=0 A0=00=0n1 10=0 A0=0 AA=AA=An1 11=11=1逻辑乘逻辑乘0 AA3.3.逻辑非（非运算）逻辑非
10、（非运算）n意义：意义：函数值为输入变量的反函数值为输入变量的反n表示表示非逻辑非逻辑关系，电路上用关系，电路上用非门非门实现实现非非运算运算n运算规则：运算规则：一般形式：一般形式：AP 10 01 AA 1 AA0 AA4.4.复合逻辑运算复合逻辑运算（1 1）与非逻辑）与非逻辑n表达式：表达式：n先先“与与”运算，再运算，再“非非”运算运算n真值表：真值表：n由真值表可见：由真值表可见：只要输入变量中有一个为只要输入变量中有一个为0 0，输出就，输出就为为1 1BAPn逻辑符号逻辑符号（2 2）或非逻辑）或非逻辑n表达式：表达式：n先先“或或”，后，后“非非”n真值表：真值表：n由真值表
11、可见：由真值表可见：只有输入变量全为只有输入变量全为0 0，输出才为，输出才为1 1BAP（3 3）与或非逻辑）与或非逻辑(p18)(p18)n表达式：表达式：n顺序：顺序：A A、B B“与与”，C C、D D“与与”，再，再“或或”，“非非”n真值表：真值表：DCBAPn（4 4）同或逻辑和异或逻辑）同或逻辑和异或逻辑n同或：同或：A A和和B B的值相同时，的值相同时，P P才为才为1 1n表达式：表达式：n真值表：真值表：AP ABBABn运算规则：运算规则：一般形式：一般形式：n0 0=1 A 0=n0 1=0 A 1=An1 0=0 A =0n1 1=1 A A=1AA同或逻辑同或
12、逻辑n异或：异或：nA A和和B B取值相异时，取值相异时，P P才为才为1 1n表达式：表达式：n真值表：真值表：BABABAPn运算规则：运算规则：一般形式：一般形式：AA0011000110101AA11 AA0 AA异或异或逻辑逻辑n由上分析可见：由上分析可见：n同或与异或逻辑正好相反，因此：同或与异或逻辑正好相反，因此：nA B=n同或逻辑同或逻辑称为：称为：异或非异或非BABABAn对于两变量来说，若原变量相同，则取对于两变量来说，若原变量相同，则取非后的反变量也相同，反之亦然。非后的反变量也相同，反之亦然。nA B=ABBABAn若若A A和和B B相同，则相同，则 必与必与B
13、B相异（相异（A A与与 相异），反之亦然。相异），反之亦然。nA B=B=ABABAABABBAABP001010111001表2-1-12 楼道灯开关状态表和真值表开关开关 A A灯灯cdbdbcaa亮亮灭灭灭灭亮亮开关开关 B BabcdAB图2-1-6 楼道灯开关示意图求解给定逻辑命题的逻辑函数求解给定逻辑命题的逻辑函数表达式。表达式。第一步：由逻辑命题列真值表。第一步：由逻辑命题列真值表。（0）（0）（0）（1）（1）（1）2.1.32.1.3真值表与逻辑函数真值表与逻辑函数(P20)(P20)输入变量取值为输入变量取值为1 1用反变量表示用反变量表示;取值取值为为0用原变量表示用原
14、变量表示*方法一方法一:(P21):(P21)ABBAP BABAP 挑出函挑出函数值为数值为1的项的项 将每个将每个函数值为函数值为1 1的输入变量取值组合写成一个的输入变量取值组合写成一个乘积项乘积项 将这些乘积项作逻辑加将这些乘积项作逻辑加称为称为与或与或表达式表达式方法二方法二:(P21):(P21)挑出函挑出函数值为数值为0的项的项 将将每个函数值为每个函数值为0 0的输入变量取值组合写成一个的输入变量取值组合写成一个或项或项 将这些或项作逻辑乘将这些或项作逻辑乘称为称为或与或与表达式表达式BABAABP001010111001BABA输入变量取值为输入变量取值为1 1用原变量表示用
15、原变量表示;取值取值为为0用反变量表示用反变量表示第二步：第二步：由真值表写逻辑函数表达式。由真值表写逻辑函数表达式。例例2-1(P22)2-1(P22)有有A A、B B、C C个输入信号，当个输入信号中有两个或两个输入信号，当个输入信号中有两个或两个以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。列出下个以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表达式。列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表达式。表2-1-13 例 2-1 真值表11111011110100011110001001000000PCBA解：根据题意可得到
16、如表解：根据题意可得到如表2-1-132-1-13所示的所示的真值表：真值表：“与与-或或”式式:(:(取取1 1值值)ABCCABCBABCAP “或或-与与”式式：(取取0 0值值)()(CBACBACBACBAP 例例2-1(P22)2-1(P22)2.1.4 2.1.4 逻辑函数相等逻辑函数相等n定义：定义：n如果函数如果函数F F和函数和函数G G的任一组状态组合都的任一组状态组合都相同相同n则称：则称：F F和和G G是等值的是等值的/相等的相等的n记为：记为：F=GF=G若逻辑函数若逻辑函数 F 和和 G 的的真值表相同，则真值表相同，则FG；反之，若；反之，若FG，则它，则它们
17、具有相同的真值表。们具有相同的真值表。n例例2 22 2 设设n试证明：试证明：F=GF=Gn所以：所以：F=GF=Gn即证明了：即证明了：(,)(),(,)F A B CA BC G A B CABAC()A BCABACnF F和和G G所具有的逻辑功能完全相同，但逻辑电所具有的逻辑功能完全相同，但逻辑电路的结构形式不同路的结构形式不同。(,)(),(,)F A B CA BC G A B CABACn逻辑代数中最基本的公式逻辑代数中最基本的公式0AA以此推广得到摩根律的一般形式:DCBAABCD DCBADCBAn调换律：调换律：同或同或、异或异或逻辑的特点还表现在变逻辑的特点还表现在变
18、量的调换律量的调换律n同或同或调换律为：调换律为：n若若AB=CAB=Cn则必有则必有:AC=B,BC=A:AC=B,BC=An异或异或调换律为调换律为:n若若n则必有则必有ABC,ACB BCA2.1.5 2.1.5 三个规则三个规则1 1 代入规则代入规则n任何一个含有变量任何一个含有变量A A的等式，的等式，n如果将所有出现变量如果将所有出现变量A A的地方都代之以一个逻辑函数的地方都代之以一个逻辑函数F F，n则等式仍然成立则等式仍然成立n因为逻辑函数和逻辑变量一样，只有两种可能的取值因为逻辑函数和逻辑变量一样，只有两种可能的取值（0 0和和1 1）n所以代入规则是正确的。所以代入规则
19、是正确的。n作用：作用：n可将基本等式中的变量用某一逻辑函数来替代，可将基本等式中的变量用某一逻辑函数来替代，n从而扩大了等式的应用范围。从而扩大了等式的应用范围。n例例2 23 3 已知等式已知等式A(B+E)=AB+AEA(B+E)=AB+AE，试证明将所有，试证明将所有出现出现E E的地方代之以的地方代之以(C+D)(C+D)，等式仍成立。，等式仍成立。n注意：注意：所有出现被代替变量的地方都代之以同一所有出现被代替变量的地方都代之以同一函数函数2 2 反演规则反演规则/互补规则互补规则/德德摩根定理摩根定理将逻辑函数将逻辑函数F F中所有的中所有的 可得原函数可得原函数F F的反函数的
20、反函数或称为：补函数或称为：补函数意义：意义：运用反演规则可以较方便地求出反函数运用反演规则可以较方便地求出反函数例例2 24/4/例例2 25 5（P26P26）注意：注意：运算符号的先后顺序运算符号的先后顺序F 01原变量反变量+0 11 0+AAAA)(EDCBAF)(EDCBAF例2：CBAF(直接去掉反号)CBAFCBACBACBAF)(不属于单个变量上的非号应保持不变。不属于单个变量上的非号应保持不变。其实反演规则就是摩根律的推广。例3：)(CABBAF按反演规则可直接写出：)(CABBAF若用摩根律则先对原函数两边取非，得：)()()()(CABBACABBACABBACABBA
21、F3.3.对偶规则对偶规则将逻辑函数将逻辑函数F F中所有的中所有的 可得原变量可得原变量F F的对偶式的对偶式例如：例如：n注意：注意：F F的对偶式和的对偶式和F F的反函数是不同的，的反函数是不同的，n求对偶式时不需要将原变量和反变量互换。求对偶式时不需要将原变量和反变量互换。n注意：注意：运算符号的先后顺序运算符号的先后顺序 01F0 1 1 0+AAAA变量不变n如果函数如果函数F=G，则，则F*=G*n例如：例如：F=A(B+C)G=AB+ACn由式（由式（2135），可知），可知nF=Gn根据根据对偶规则对偶规则，有，有nF*=A+BC G*=(A+B)(A+C)n由式（由式（2
22、135），可知），可知:F*=G*n本节式（本节式（2125）式（）式（2142）与式（）与式（2125）式（）式（2142）互为对偶式。）互为对偶式。n因此，这些公式只需记忆一半即可。因此，这些公式只需记忆一半即可。2.1.6 2.1.6 常用公式常用公式n证明：证明：n称为：吸收律称为：吸收律n意义：意义：如果两个乘积项，除了公有因子（如如果两个乘积项，除了公有因子（如A A）外，）外，不同因子恰好互补不同因子恰好互补n则这两个乘积项可合并为一个由公有因子组成的乘则这两个乘积项可合并为一个由公有因子组成的乘积项积项n根据对偶规则，有：根据对偶规则，有：ABAAB.1ABABA)()(BB如
23、 和n证明：证明：n意义：意义：如果两个乘积项，其中一个乘积项如果两个乘积项，其中一个乘积项的部分因子（如的部分因子（如ABAB中的中的A A）恰好是另一个）恰好是另一个乘积项（如乘积项（如A A）的全部，）的全部，n则该乘积项（则该乘积项（ABAB）是多余的）是多余的n根据对偶规则，有：根据对偶规则，有：AABA.2ABAA)(n证明：证明：n意义：意义：如果两个乘积项，其中一个乘积项如果两个乘积项，其中一个乘积项 恰好是另一个乘积项的补（如恰好是另一个乘积项的补（如A A），），n则该乘积项则该乘积项是多余的。是多余的。n根据对偶规则，有：根据对偶规则，有：BABAA.3ABBAA)(AB
24、（如）的部分因子（如A）AB（）中的这部分因子（A）n推论：推论：n意义意义:如果两个乘积项中的部分因子恰好互补如果两个乘积项中的部分因子恰好互补n而这两个乘积项中的其余因子（如而这两个乘积项中的其余因子（如B B和和C C）都是）都是第三乘积项中的因子，第三乘积项中的因子，n则这个第三乘积项是多余的。则这个第三乘积项是多余的。n根据对偶规则，有：根据对偶规则，有：CAABBCCAAB.4)()()(CABACBCABACAABBCDECAAB（如AB和AC中的A和A）BCAABCCAABBCAACAAB)(CAABBCACAB)1()1(证明：证明：2.1.7 2.1.7 逻辑函数的标准形式
25、逻辑函数的标准形式n1.1.最小项表达式最小项表达式n逻辑函数的表达式不是唯一的逻辑函数的表达式不是唯一的n如：如：p28 :2-1-48p28 :2-1-48式式n相同点：相同点：都是都是与或与或表达式表达式n不同点：不同点：下式中每一个乘积项都包含了全部输入变量，下式中每一个乘积项都包含了全部输入变量，n每个输入变量或以原变量形式或以反变量形式在乘积每个输入变量或以原变量形式或以反变量形式在乘积项中出现，并且仅仅出现一次。项中出现，并且仅仅出现一次。n这种包含了全部输入变量的乘积项称为：这种包含了全部输入变量的乘积项称为：最小项最小项CBABCACABABCCBAF),(n最小项？最小项？
26、n包含了全部输入变量的乘积项，包含了全部输入变量的乘积项，n只有一组变量取值才能使该乘积项的值为只有一组变量取值才能使该乘积项的值为1 1，n其余任何变量的取值都使该乘积项的值为其余任何变量的取值都使该乘积项的值为0 0。n即：即：包含了全部输入变量的乘积项等于包含了全部输入变量的乘积项等于“1 1”的的机会最小。机会最小。n例如：例如：CABCBACBACBAF),(CBA全部由全部由最小项最小项相加构成的相加构成的与或与或表达式表达式称为：称为：n最小项表达式最小项表达式n标准与或式标准与或式n标准积之和式标准积之和式 n包含包含n n个变量的函数，共有个变量的函数，共有2 2n n个不同
27、取值个不同取值组合，有组合，有2 2n n个最小项。个最小项。n例如：例如：3 3个变量有个变量有2 23 3个最小项个最小项A B C 最小项 编号 1 1 1 m7 1 1 0 m6 1 0 1 m5 1 0 0 m4 0 1 1 m3 0 1 0 m2 0 0 1 m1 0 0 0 m0 CBACBACBACBACBACBACBACBA例如：例如：3 3个变量有个变量有2 23 3个最小项个最小项n为了便于叙述和使用函数最小项表达式，对最为了便于叙述和使用函数最小项表达式，对最小项编号：记为：小项编号：记为：min给给每个变量赋予每个变量赋予一个二进制的一个二进制的位权值位权值2in根据
28、各个变量的根据各个变量的位权值和变量取值位权值和变量取值求出对应的求出对应的十进制号码十进制号码min因此，函数的最小项表达式书写起来将十分方便因此，函数的最小项表达式书写起来将十分方便n例如：例如：CABCBABCACBACBAF),(6532mmmm)6,5,3,2(mn任何一个函数都可以变换成最小项表达式任何一个函数都可以变换成最小项表达式n通常采用的方法是：通常采用的方法是：n将非标准将非标准与或与或式中的每一个乘积项，式中的每一个乘积项，n利用利用 n将所缺的变量逐步补齐，展开成将所缺的变量逐步补齐，展开成最小项最小项表达表达式式n例例n补充：补充：由真值表求最小项表达式由真值表求最
29、小项表达式n例：例：AABAB的关系)6,5,4,2(),(mCABCBACBACBACBAFn如果函数表达式不是一个简单的如果函数表达式不是一个简单的与或与或式式n则首先将其变换成则首先将其变换成与或与或表达式，表达式，n再展开成再展开成最小项最小项表达式。表达式。n2.2.最大项表达式最大项表达式n又称为：标准或与式又称为：标准或与式n标准和之积式标准和之积式n最大项：最大项：n包含全部变量的和项，每个变量仅出现一次包含全部变量的和项，每个变量仅出现一次（原变量或反变量）。（原变量或反变量）。n例如：例如：。、)()()(CBACBACBAn最大项？最大项？n包含全部输入变量的和项，包含全
30、部输入变量的和项，n只有一组变量取值才能使该和项的值为只有一组变量取值才能使该和项的值为0 0，n其余任何变量的取值都使该和项的值为其余任何变量的取值都使该和项的值为1 1。n即：即：最大项（最大项（和和项）等于项）等于“1 1”的机会最大。的机会最大。n例如：例如：)7,3,1,0()()()(),(MCBACBACBACBACBAFA B C 最小项 编号 最大项最大项 编号编号1 1 1 m7 M71 1 0 m6 M61 0 1 m5 M5 1 0 0 m4 M40 1 1 m3 M30 1 0 m2 M20 0 1 m1 M10 0 0 m0 M0CBACBACBACBACBACBA
31、CBACBACBACBACBACBACBACBACBACBA如：如：3变量的最大项变量的最大项nn n个变量的函数，共有个变量的函数，共有2 2n n个最大项。个最大项。n只有一组变量取值使其为只有一组变量取值使其为0 0，n而对于其余而对于其余(2(2n n-1)-1)组变量取值均使最大组变量取值均使最大项为项为1 1n为了便于叙述和使用函数最大项表达式为了便于叙述和使用函数最大项表达式n可以对最大项编号，记为：可以对最大项编号，记为：M Mi in对最大项编号？对最大项编号？n给每个变量赋予一个二进制的位权值给每个变量赋予一个二进制的位权值2 2i in根据各个变量的位权值和变量取值求出对
32、应的十进制根据各个变量的位权值和变量取值求出对应的十进制号码。号码。n例如：例如：n因此，函数的最大项表达式书写起来将十分方便。因此，函数的最大项表达式书写起来将十分方便。n例如：例如：)7,6,3()()(763MMMMCBACBACBAF3)(MCBAn任何一个函数都可以变换成最大项表达式任何一个函数都可以变换成最大项表达式n通常采用的方法是：通常采用的方法是：n将非标准将非标准或与或与式中的每一个和项，式中的每一个和项，n将所缺的变量逐步补齐，展开成将所缺的变量逐步补齐，展开成最大项最大项表达式表达式n如果函数表达式不是一个简单的如果函数表达式不是一个简单的或与或与式式n则首先将其变换成
33、则首先将其变换成或与或与表达式，表达式，n再展开成再展开成最大项最大项表达式表达式n例如：例如：n补充：补充：由真值表求最大项表达式由真值表求最大项表达式n例如：例如：真值表 A B C F 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11 1 0 0 1 1 0 0 )7,6,3,2()5,4,1,0(76325410MMMMMFmmmmmF最大项表达式是真值表中使函数值最大项表达式是真值表中使函数值为为0的各个最大项相与。的各个最大项相与。结论：任一个逻辑函数可用最小项表达式表示，也可以结论：任一个逻辑函数可用最小项表达式表示，也可以用最大项表达式表示。用
34、最大项表达式表示。若将一个若将一个n变量函数的最小项表达式改写为最大项表达式时，变量函数的最小项表达式改写为最大项表达式时，其其最大项的编号最大项的编号都不是都不是最小项的编号最小项的编号。2.最小项与最大项之间的关系最小项与最大项之间的关系 变量数相同，编号相同的变量数相同，编号相同的最小项和最大项之最小项和最大项之间存在互补关系间存在互补关系，即，即 iiiimMMm,例如：7777MCBACBACBAmmCBACBAM 2.2 逻辑函数的简化P322.2.1 公式法（代数法）公式法（代数法）n运用逻辑代数的基本公式和常用公式化简逻运用逻辑代数的基本公式和常用公式化简逻辑函数辑函数n1.1
35、.合并项法：合并项法：n2.2.吸收法：吸收法：n3.3.消去法：消去法：n4.4.配项法：配项法：ABABA利用公式;AABA ABACBCABACAABAB();AAABACABACBC将乘积项ABAABBACBACBAACBACAB例2：BAFEBCDABA)(3、消去法，利用定理BABAA例3DCADCCADCACAAABA2、吸收法，利用定理;AABA ABACBCABAC4、配项法，利用AA1及1 AACACBBACBABCACBACBACBBABACCCBAACBBABACBCBBA)()(例4：CDBCDBACDBACDABAACDBACBAF)()(),(例1:)()()(D
36、CACBBABAFBCAACDBCAACDBCBAABF*二、或与式化简 P33)()(*CBAFF)()(CBAFF例2:)()()(CACBBABAFCBABACBABABACABBABACABCBABAF)(CBABAFF)()(2.2.2 图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）n1.1.什么是卡诺图什么是卡诺图n卡诺图：卡诺图：将真值表转换成方格图的形式将真值表转换成方格图的形式,用用卡诺图表示最小项卡诺图表示最小项n变量的取值组合按循环码的规律来排列。变量的取值组合按循环码的规律来排列。n卡诺图法：卡诺图法：n利用卡诺图对逻辑函数进行化简利用卡诺图对逻辑函数进行化简F1BA001m0m
37、2m1m31F2C CAB01101101m0m2m4m6m1m3m5m700 CDCDABF30001000110101111m0m4m8m12m1m5m9m13m2m6m10m14m3m7m11m15CDABF40001111000011110m0m8m16m24m2m10m18m26m4m12m20m28m6m14m22m30CDABF40001111000011110m1m7m15m23m3m9m17m25m5m11m19m27m7m13m21m31E=0E=1F5DEABC00011110000 001 011010 110 111 101 100m0m1m2m3m4m20m24m2
38、8m8m5m9m13m17m21m25m29m6m10m14m18m22m26m30m16m7m11m15m19m23m27m31m122.2.用卡诺图表示逻辑函数的方法用卡诺图表示逻辑函数的方法n（1 1）把）把逻辑函数表达式逻辑函数表达式变换成最小项表达式变换成最小项表达式再填图再填图n将构成逻辑函数的最小项在卡诺图上相应的方将构成逻辑函数的最小项在卡诺图上相应的方格中填格中填1 1，其余的方格填，其余的方格填0(0(或不填或不填)，则可以得，则可以得到该函数的卡诺图。到该函数的卡诺图。（2 2）直接观察法填图：）直接观察法填图：)7,6,5,3(7653)()(mmmmmBCACBACA
39、BABCBCABBACCCABBCAACABF0001101101A1111BCABCD00FCDBDCBACABDCBDCBAF),(直接观察法填图：直接观察法填图：3.3.利用卡诺图合并最小项的规律利用卡诺图合并最小项的规律n由于卡诺图变量取值组合按循环码的规律排列，由于卡诺图变量取值组合按循环码的规律排列，使处在相邻位置的最小项都只有一个变量取值使处在相邻位置的最小项都只有一个变量取值不同，不同，n因此，在卡诺图中处于相邻位置的最小项均可因此，在卡诺图中处于相邻位置的最小项均可以合并成一项，合并项由没有变化的那些变量以合并成一项，合并项由没有变化的那些变量组成组成ABAABABAABn用
40、卡诺图化简逻辑函数的步骤：用卡诺图化简逻辑函数的步骤：（1 1）作出所要化简函数的卡诺图）作出所要化简函数的卡诺图（2 2）圈出所有没有相邻项的孤立）圈出所有没有相邻项的孤立1 1格主要项格主要项（3 3）找出只有一种圈法，即只有一种合并可能的）找出只有一种圈法，即只有一种合并可能的1 1格，从格，从它出发把相邻它出发把相邻1 1格圈起来（包括格圈起来（包括2i个个1 1格），构成主要项格），构成主要项（4 4）余下没有被覆盖的）余下没有被覆盖的1 1格均有两种或两种以上合并的可格均有两种或两种以上合并的可能，可以选择其中一种合并方式加圈合并，直至使所有能，可以选择其中一种合并方式加圈合并，直
41、至使所有1 1格无遗漏地都至少被圈一次，而且总圈数最少。格无遗漏地都至少被圈一次，而且总圈数最少。图 2-19 最小项合并规律 1ABC00011110011(b)ABC0001111001111ABCD0001111011100011110(c)(a)1ABCD0001111011111111100011110(d)ACACBCBDABCD0001111011111111111100011110(e)ABDABD0001101101ABCF411111ABBCACCBAF40001101101BCAF3111111BACBCAF30001101101ABCF6111111CAF6ABCD00
42、FCDBDCBACABDCBDCBAF),(CBACDCBF0001101101ABCF711111111F7=111111111DCAABCCDACBAF811111111BABDF911111111DBBDF10【例【例 2-2】求 ABCDCABDCBDBACDBF的最简与或式。的最简与或式。解：解：画出F的K图。如图2-21所示。图 2-21 例2-2的卡诺图 ABCD0001111011111111100011110(a)ABCD0001111011111111100011110(b)画圈化简函数。写出最简与或式。本例有两种圈法，都可以得到最简式。按图2-21(a)圈法：ABDDCB
43、DCACBF按图2-21(b)圈法：ACDCABDBACBF该例说明，逻辑函数的最简式不是惟一的逻辑函数的最简式不是惟一的。n几个概念几个概念n主要项主要项/素项素项/本原蕴含项本原蕴含项：n定义：定义：n在卡诺图中，将在卡诺图中，将2 2i i个相邻个相邻1 1格进行合格进行合并，并，合并圈不能再扩大合并圈不能再扩大，这样圈得，这样圈得的合并项称为的合并项称为主要项主要项。n举例：举例：n必要项必要项/实质素项实质素项/实质本原蕴含项：实质本原蕴含项：n定义：主要项圈中至少有一个定义：主要项圈中至少有一个“特定特定”的的1 1格格没有被其他主要项覆盖。没有被其他主要项覆盖。n举例：举例：n多
44、余项多余项/冗余项：冗余项：n定义：主要项圈中所包含的定义：主要项圈中所包含的1 1格均被其他的主格均被其他的主要项所覆盖。要项所覆盖。n举例：举例：多余项多余项n用卡诺图化简逻辑函数的步骤：用卡诺图化简逻辑函数的步骤：（1 1）作出要化简函数的卡诺图）作出要化简函数的卡诺图（2 2）圈出所有没有相邻项的孤立）圈出所有没有相邻项的孤立1 1格主要项格主要项（3 3）找出只有一种圈法，即只有一种合并可能的）找出只有一种圈法，即只有一种合并可能的1 1格，从格，从它出发把相邻它出发把相邻1 1格圈起来（包括格圈起来（包括2i个个1 1格），构成主要项格），构成主要项（4 4）余下没有被圈的）余下没
45、有被圈的1 1格均有两种或两种以上合并的可能，格均有两种或两种以上合并的可能，可以选择其中一种合并方式加圈合并，直至使所有可以选择其中一种合并方式加圈合并，直至使所有1 1格格无遗漏地都至少被圈一次，而且总圈数最少。无遗漏地都至少被圈一次，而且总圈数最少。n画圈合并时，应遵循以下原则（化简准则）：画圈合并时，应遵循以下原则（化简准则）：n（1 1）每个圈尽可能大，圈内包含的）每个圈尽可能大，圈内包含的1 1格数应为格数应为2 2i in（2 2）所有）所有1 1格至少被圈过一次格至少被圈过一次n（3 3）每个圈中至少有一个）每个圈中至少有一个1 1格为本圈所独有格为本圈所独有（不被其他圈所覆盖
46、）（不被其他圈所覆盖）在不同的圈法中，应选取采用最少的圈数、在不同的圈法中，应选取采用最少的圈数、将余下的最小项全部圈入的圈法。将余下的最小项全部圈入的圈法。n对卡诺图中所有的对卡诺图中所有的0格进行加圈合并，可以得格进行加圈合并，可以得到：到：最简或与式最简或与式。n原理和化简方法及步骤与圈原理和化简方法及步骤与圈1格方法相同。格方法相同。n区别为：区别为：n由由2i个个0格构成的圈，格构成的圈，n由圈内取值不变的变量相或（相加项）来表示（以原由圈内取值不变的变量相或（相加项）来表示（以原变量表示变量取值变量表示变量取值0，以反变量表示变量取值，以反变量表示变量取值1）n所有的相加项圈相与（
47、乘），构成最简或与式。所有的相加项圈相与（乘），构成最简或与式。)(DCBAF例：例：求函数求函数F的最简或与式的最简或与式(2)、圈“0”所得的逻辑函数表达式11111111)()()(13CBADCADCACBAFn非完全描述的逻辑函数：非完全描述的逻辑函数：n具有任意项的函数具有任意项的函数n合理地利用任意项，常能使逻辑函数的表达式进一合理地利用任意项，常能使逻辑函数的表达式进一步简化。步简化。n在化简时，任意项可以作为在化简时，任意项可以作为1 1格，也可以作为格，也可以作为0 0格。格。n化简过程中，已对任意项赋予了确定的输出值。化简过程中，已对任意项赋予了确定的输出值。n例例2 2
48、17 17 化简函化简函数数(p43)(p43)(,)(0,2,5,9,15)(6,7,8,10,12,13)mdF a b c d 111000111100001cdab111110111000111100001cdab111110(a)不利用任意项不利用任意项(b)利用任意项利用任意项 。化简化简例例 dmdcbaF13,12,10,8,7,615,9,5,2,0,172解填写卡诺图，画包围圈解填写卡诺图，画包围圈化简结果为：化简结果为：dbcabdF 合理利用任意项，能使逻辑函数的表达式进一步合理利用任意项，能使逻辑函数的表达式进一步化简。化简。说明：说明：任意项产生的输出在原函数中没有定义。任意项产生的输出在原函数中没有定义。但化简后，任意项的输出均有了定义：圈过的但化简后，任意项的输出均有了定义：圈过的输出定义为输出定义为1，没，没圈的圈的输出定义为输出定义为0。由于任意。由于任意项的输入不会出现，所以对函数结果没有影响。项的输入不会出现，所以对函数结果没有影响。
