1、位移分析与刚度设计位移分析与刚度设计本章重点本章重点 1.拉压、扭转、弯曲变形计算；拉压、扭转、弯曲变形计算；2.叠加法、能量法求变形；叠加法、能量法求变形；3.静不定问题解法；静不定问题解法；4.杆件刚度的合理设计。杆件刚度的合理设计。8 8-1 -1 拉（压）变形计算拉（压）变形计算一、纵向线应变与横向线应变一、纵向线应变与横向线应变纵向线应变纵向线应变ll bb横向线应变横向线应变lllbbbPP二、虎克定理二、虎克定理NF llEANFllE AE E当构件工作应力当构件工作应力 p时时应力应力 与应变与应变 成正比成正比即即,NFllA考虑到考虑到即即E为弹性模量，为弹性模量，EA称
2、为称为抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度或或横向变形横向变形：单向应力状态下单向应力状态下 p 时时 称为横向变形系数或称为横向变形系数或泊松（泊松（Poisson）比）比公式的应用范围与注意事项：公式的应用范围与注意事项：2、构件的工作应力、构件的工作应力 p（线弹性范围内）；（线弹性范围内）；3、轴力、横截面面积、轴力、横截面面积A为常量为常量等直杆两端受轴向力。等直杆两端受轴向力。讨论：讨论：1.1.轴力变化时：轴力变化时：1、L为为“+”时伸长，为时伸长，为“-”时缩短。符号规时缩短。符号规定与轴力一致；拉为定与轴力一致；拉为“+”，压为，压为“-”；BCABlll21B CA BNNFlF
3、lE AE A2.2.横截面变化时：横截面变化时：CAB阶梯状杆阶梯状杆BCABlll1l2lBC3P2P1PAlP lE A()dd()NFxlxEA x()d()NlFxlxEA x三、变截面杆：三、变截面杆：()NF x()NF x锥角锥角较小，如较小，如10度度xdxlPP例例1 1：图示杆，图示杆，1段为直径段为直径 d1=20mm的圆的圆杆，杆，2段为边长段为边长a=25mm的方杆，的方杆，3段为直段为直径径d3=12mm的圆杆。已知的圆杆。已知2段杆内的应力段杆内的应力2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长，求整个杆的伸长L。（不考虑应力集中）（不考虑应力集中）PP1
4、230.2m0.4m0.2m解解:PA22230251875.kN312312123NNNF lF lFlLEAEAEA2292187500.20.40.20.020.012210100.025440.272mm（缩短）（缩短）PP1230.2m0.4m0.2m例例2 2：求图示结构结点求图示结构结点A的垂直位移的垂直位移.PABC EAlEAl22cosPlAAEA解解:小变形条件下小变形条件下切线替代圆弧切线替代圆弧APcos221PFFNNcos2121EAPlEAlFllNAN2FN1F一、分析构件受力：一、分析构件受力：取取B点研究点研究例例3 3：简单托架，简单托架，BC杆为杆为圆
5、钢，直径圆钢，直径d=20mm，BD杆杆为为8号槽钢。号槽钢。=160MPa，E=200GPa，P=60KN。试求。试求B点的位移。点的位移。解解:PBN1FN2F（“-”表示表示FN2与图示方向相反，为压力）与图示方向相反，为压力）BDC4m3mPkN45431 PFNkN75452PFN 铣床要用于在铣床上加工平面、台阶、沟槽、成形表面和切断工件等。铣刀按用途区分有多种常用的型式。圆柱形铣刀：用于卧式铣床上加工平面。刀齿分布在铣刀的圆周上，按齿形分为直齿和螺旋齿两种。按齿数分粗齿和细齿两种。螺旋齿粗齿铣刀齿数少，刀齿强度高，容屑空间大，适用于粗加工；细齿铣刀适用于精加工。面铣刀：用于立式铣
6、床、端面铣床或、龙门铣床、上加工平面，端面和圆周上均有刀齿，也有粗齿和细齿之分。其结构有整体式、镶齿式和可转位式3种。立铣刀：用于加工沟槽和台阶面等，刀齿在圆周和端面上，工作时不能沿轴向进给。当立铣刀上有通过中心的端齿时，可轴向进给。三面刃铣刀：用于加工各种沟槽和台阶面，其两侧面和圆周上均有刀齿。角度铣刀：用于铣削成一定角度的沟槽，有单角和双角铣刀两种。锯片铣刀：用于加工深槽和切断工件，其圆周上有较多的刀齿。为了减少铣切时的摩擦，刀齿两侧有151的副偏角。此外，还有键槽铣刀 燕尾槽铣刀 T形槽铣刀和各种成形铣刀等。铣刀的结构分为4种。整体式：刀体和刀齿制成一体。整体焊齿式：刀齿用硬质合金或其他
7、耐磨刀具材料制成，并钎焊在刀体上。镶齿式：刀齿用机械夹固的方法紧固在刀体上。这种可换的刀齿可以是整体刀具材料的刀头，也可以是焊接刀具材料的刀头。刀头装在刀体上刃磨的铣刀称为体内刃磨式；刀头在夹具上单独刃磨的称为体外刃磨式。可转位式：这种结构已广泛用于面铣刀、立铣刀和三面刃铣刀等。编辑本段检验事项检验标准 铣床主要有：GB6477.9-86金属切削机床术语铣床，ZBJ54017-89及JB/T5599-91升降台铣床参数及系列型谱，GB3933-83升降台铣床精度，JB/T2800-92升降台铣床技术条件，ZBJ54014-88数控立式升降台铣床精度，ZBJ54015-90数控立式升降台铣床技术
8、条件，JB3696-84摇臂铣床精度，JB/T3697-96摇臂铣床技术条件，JB/T2873-91、JB/T5600-91万能工具铣床参数及系列型谱，JB/T2874-94万能工具铣床精度，JB/T2875-92万能工具铣床技术条件，JB/Z135-79床身铣床参数及系列型谱，GB3932-83床身铣床精度，ZBJ54010-88数控床身铣床精度，JB/T3027-93龙门铣床参数，JB/T3028-93龙门铣床精度，JB/T3029-93龙门铣床技术条件，JB3311-83，JB/Z195-83平面铣床参数及系列型谱，JB3312-83平面铣床精度，JB/T3313-94平面铣床技术条件，
9、ZBJ54013-88刻模铣床参数，JB/GQ1059-85立体仿形铣床参数，JB/GQ1060-85立体仿形铣床精度，JB/GQ1061-85立体仿型铣床技术条件，ZBJ54007-88立式立体仿形铣床精度，JB/T7414-94立式立体仿形铣床技术条件等。检验项目相关标准检验项目与其他金属切削机床大体相同，专用标准包括精度和性能，大体可概括为：安装刀具的孔（或心轴）的精度，刀架、滑枕(或摇臂)工作台的精度，安装刀具与工作台的相互位置精度，对规定工件的加工精度等。检验还须参照JB2670-82金属切削机床检验通则，出口产品不得低于一等品。编辑本段操作规程专用铣床操作规程 适用机型：铣床1、龙
10、门铣床：X245（A662），X209（6642），X2010，X2012A，FRM5，6642H1，92001。2双柱铣床：FX03，564H1，273-11A，535H2，459，544H1，571H1，529H1，FXZ-001，462C1。3单柱铣床：447H1，456H1458H1，461HX458C，459C1，459HX。4平面仿形铣床：XB4326，XF736，P-90A。5立体仿形铣床：6441，P-105，P-93。6立式圆工作台铣床：TZX16，X5216，449H1621M，621H5621C1H29，623，623H7，623H9，623H11，623H12，623B
11、H6，623BH10623CH2，621H6，623H10，623CH2，621H6，623H10，623H6，621MCH29。7鼓形铣床：490，6021BH1。8回转式端面铣床：K389-24一、认真执行金属切削机床通用操作规程有关规定。二、认真执行下述有关补充规定。1夹具或大型工件的实置(安装)，应使工作台受力均匀，避免受力不均导致工作台变形。2横梁或主轴箱根工件加工要求调正好后，应锁紧牢靠方可工作。3不准加工余量或重量超过规定的毛坯件。4工作后应将龙门、双柱、单柱、平面仿形铣床的工作台：置于床身导轨的中间位置。普通铣床操作规程 适用机型：1、卧式铣床：X6012、X60（6H80）、
12、X60W（6H80）、X602、X61（6H81）、X6H81、X6030、X6130、X2、（6H82）、X62W（6H82）、X6232、X6232A、X63、（6H83）X63W、6H83Y、6H83、B1-169A、6H81A、FU2A、4FWA、FA5H、FA5U、IAE、X3810。2立式铣床：X50、X51（6H11）、X52、X52k（6H12）、X53、X53k（6H13）、X53T（FA5V）、X5430A、X50T、X5350、XS5040、X518、610、F1-250、F2-250、FA4AV、652、VF222、FSS、FB40V、6H13，FYA41M、4MK-V
13、、UF/05-135、6A54、300、173M-12。3数控立式铣床：XsK5040。4键槽铣床：x920（692A）、4205、XZ9006、60A。5万能工具铣：x8119（678M）、x8126（679）、x8140、680。一、认真执行金属切削机床通用操作规程有关规定。二、认真执行下述有关铣床通用规定：（一）工作中认真做到 1铣削不规则的工件及使用虎钳、分度头及专用夹具持工件时，不规则工件的重心及虎钳、分度头、专用夹具等应尽可能放在工作台的中间部位，避免工作台受力不匀，产生变形。2在快速或自动进给铣削时，不准把工作台走到两极端，以免挤坏丝杆。3不准用机动对刀，对刀应的动进行。铣床4、
14、工作台换向时，须先将换向手柄停在中间位置，然后再换向，不准直接换向。5铣削键槽轴类或切割薄的工件时，严防铣坏分度头或工作台面。6、铣削平面时，必须使用有四个刀头以上的刀盘，选择合适的切削用量，防止机床在铣削中产生震动。（二）工作后将工作台停在中间位置，升降台落到最低的位置上。三、认真执行下述有关特殊的规定 XSK5040数控立式铣床，工作前应根据工艺要求进行有关工步程序，主轴转速、刀具进给量、刀具运动轨迹和连续越位等项目的预选。将电气旋钮置于调正位置进行试车，确认无问题后，再将电气旋钮置于自动或半自动位置进行工作。编辑本段包装储运精品课件文档，欢迎下载，下载后可以复制编辑。更多精品文档，欢迎浏
15、览。二、分析计算二、分析计算B点的位移点的位移假想把假想把B节点松开节点松开受力后受力后B点移到点移到B其位移其位移2BB1B3B4BBDC3mP4m1 32sinBB323B BB B ctg2321cosB BBPN1FN2F111111BBAELFlN222222BBAELFlN2BB1B3B4BBDC3mP4m水平位移水平位移铅垂位移铅垂位移222.153.94.45BBmmm1015.210204102003104536293111111BBAELFLN查型钢表得：查型钢表得：22cm24.10Am1083.11024.1010200510753493222222BBAELFlNmm
16、15.21lmm9.3ctgcossin122lll例例4 4：求图示结构结点求图示结构结点A的位移。的位移。AEAEA21PLAEAEA21PL解解:取取A点研究点研究PA12,0PLllEAAN1FN2F1l0,21NNFPF铅垂位移铅垂位移)(1l水平位移水平位移)(ctg1l例例5 5：图示结构中三杆的刚度均为图示结构中三杆的刚度均为EA，AB 为刚体，为刚体，P、l、EA皆为已知。求皆为已知。求C点的垂直点的垂直和水平位移。和水平位移。ll/2l/212345PACBl ll l/2l l/212345PACB解解:NNPN13220,llPlEAl13220,C点水平位移点水平位移
17、=铅垂位移铅垂位移 l1Pl/2l/245A C BN1N2N3例例6 6：求考虑自重影响的等直杆变形。已知求考虑自重影响的等直杆变形。已知P、杆长、杆长L、A、E、容重、容重。若已知若已知 求许可杆长。求许可杆长。P解：解：1、求轴力、求轴力FN(x)Pxxx2、求变形：、求变形：dxdxFN(x)FN(x)取微段取微段dx研究研究FN(x)xP+AL PFN(x)0:0AxPxFFNx AxPxFN xxAPEEAxxFxNd1dd3、求、求许可杆长许可杆长APAL:NmaxmaxAALPAF由ELEAPLdxxAPEL2)(120积分：积分：例例7 7：图示变截面杆左右两端直径分别为图示
18、变截面杆左右两端直径分别为D、d,作用有轴向压力作用有轴向压力P，不计杆件自重，材料弹性模量，不计杆件自重，材料弹性模量为为E，杆长，杆长L。试求杆件的变形。试求杆件的变形。DdPP解解:取微段取微段dx研究研究xdx设距左端为设距左端为x处横截面的处横截面的直径为直径为dd(1)DdxdDDL 222()(1)44DdxA xdDDL()NFxP 对微段来说对微段来说()4()NlFxdxP LlE A xD d E（缩短）（缩短）三、拉（压）杆超静定问题的解法静定问题静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即于独立的平衡
19、方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为可解出全部未知力，这类问题称为静定问题静定问题，相，相应的结构称应的结构称静定结构静定结构。超静定问题：超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数若未知力（外力或内力）的个数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题题或静不定问题.相应的结构称相应的结构称超静定结构超静定结构或或静不静不定结构定结构多余约束：多余约束：在静定结构在静定结构上加上的一个或几个约束，上加上的一个或几个约束，对于维持平衡来
20、说是不必对于维持平衡来说是不必要的约束称要的约束称多余约束多余约束。对。对应的约束力称应的约束力称多余约束反多余约束反力力 由于超静定结构能有效降低由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程上结构的内力及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。（如桥梁等）应用非常广泛。超静定次数：超静定次数：未知力个数与平衡未知力个数与平衡方程数之差，也等于多余约束数方程数之差，也等于多余约束数12PA11AE22AECBRARB拉（压）杆超静定问题的解法拉（压）杆超静定问题的解法比较变形法比较变形法 把超静定问题转化为静定问把超静定问题转化为静定问题解，但题解，但必须满足原结构的变必须满足原结构的变形
21、约束条件。形约束条件。1、选取基本静定结构（静定基如图），、选取基本静定结构（静定基如图），B端解端解除多余约束，代之以约束反力除多余约束，代之以约束反力RB解解：12FC11AE22AEBABR例例8 8.杆上段为铜，下段为钢杆，杆上段为铜，下段为钢杆，上、下段长度、截面积以及材料的上、下段长度、截面积以及材料的弹性模量分别为弹性模量分别为l1，l2、A1、A2、E1、E2，杆的两端为固支，杆的两端为固支，求两段，求两段的轴力。的轴力。3、比较两次计算的变形量，其值、比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程应该满足变形相容条件，建立方程求解。求解。2、求静定基仅在原有外力作用
22、下和仅在代替约束的、求静定基仅在原有外力作用下和仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移约束反力作用下于解除约束处的位移0ABAC12FC11AE22AEBA)(111AEFACCBR为负值）BBABBRAEAER)(222111)122211122211122211AEAEFAERAEAEFAERBA拉（压）杆超静定问题的解法拉（压）杆超静定问题的解法几何变形法几何变形法 解超静定问题必须找出求解所有未知约束解超静定问题必须找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、连续、满足约束条件须象原来一样完整、连续、
23、满足约束条件-即即满足变形相容条件满足变形相容条件（变形协调条件）变形协调条件）。关键：关键：变形协调条件变形协调条件注意：注意：力与变形一致力与变形一致例例9 9：图示结构图示结构1、2杆抗拉刚度为杆抗拉刚度为E1A1，3杆为杆为E3A3，在在F力作用下，求各杆内力。力作用下，求各杆内力。解解:1、画画A结点受力图，建立结点受力图，建立 平衡方程平衡方程未知力个数未知力个数3 3个，平衡方程数个，平衡方程数2 2个，个，故为一次超静定。故为一次超静定。FA123AxyFFN1FN2FN321:0NNxFFFFFFFNNy31cos2:0A213213、代入物理关系，建立补充方程、代入物理关系
24、，建立补充方程21cos31A32、如图三杆铰结，画、如图三杆铰结，画A结点位移图结点位移图,列出变形相容条件列出变形相容条件。要注意所设的。要注意所设的变形性质必须和受力分析中设定的变形性质必须和受力分析中设定的力的性质一致。由对称性知力的性质一致。由对称性知cos11111111AElFAElFlNN33333333AElFAElFlNN4、联立、联立、求解求解333113211331cos21coscos2AEAEFFAEAEFFNNcoscos3313111AElFAElFNN由由式可知：式可知：例例10 10：图示桁架，已知图示桁架，已知3根杆的材料及横截面完全相根杆的材料及横截面完
25、全相同，即同，即EA相等。求各杆的内力及相等。求各杆的内力及B点的水平位移和铅点的水平位移和铅垂位移。垂位移。3030L321B30P解解:1、确定静不定次数、确定静不定次数1次次2、列静力平衡方程、列静力平衡方程研究研究B节点节点1F2F3F312sin30cos030cos3:00PFFFX31sin30sin300:cos300FFYP3、物理关系、物理关系（伸长）（伸长）（伸长）（伸长）（缩短）（缩短）30cos11EALFl EALFl2230cos33EALFl 4、变形几何关系、变形几何关系3030L321B30P1F2F3F123B1B2B3BB添加辅助线添加辅助线abCab=
26、BC-Ba-bC联立求解可得：联立求解可得：1231.030.2170.703FPFPFP（拉力）（拉力）（拉力）（拉力）（压力）（压力）l3 l2 l130tg30sin30sin30tg2312llll3123lll温度应力：温度应力：超静定结构中，由于温度超静定结构中，由于温度变化，使构件膨胀或收缩而产生的附加变化，使构件膨胀或收缩而产生的附加应力。应力。不容忽视！不容忽视！高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节路、桥、建筑物中的伸缩缝路、桥、建筑物中的伸缩缝8 8-2 2 圆轴扭转时的变形计算圆轴扭转时的变形计算ddxTGIpddTGIxpTGIxplddmm
27、xdxdxNF llEA 比较拉压变形比较拉压变形：公式适用条件：公式适用条件：1、当、当p（剪切比例极限）公式才成立（剪切比例极限）公式才成立2、仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）、仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）4、对于小锥度圆杆（截面缓慢变化）可作近似计算、对于小锥度圆杆（截面缓慢变化）可作近似计算3、扭矩、面积沿杆轴线不变化（、扭矩、面积沿杆轴线不变化（T、Ip为常量）为常量）GIp称为抗扭刚度称为抗扭刚度若若constT 则则pGITl圆轴扭转时的强度条件和刚度条件max pTWddpTxGImaxmax()180pTGIrad/m/m单位长度扭转角单位长度扭转角强度条件：强度
28、条件：刚度条件：刚度条件：例例1313：已知一直径已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭的钢制圆轴在扭转角为转角为 6时，轴内最大剪应力等于时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。求该轴长度。解：解：(1)pTlGImax(2)pTW()()12得：maxppIGlW618080100059010296.233.m例例14 14：圆截面橡胶棒的直径圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后受扭后,原原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90变为变为 88。如杆长。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的相，试求两端截面间的相对扭转角；如果材料的剪变
29、模量对扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩m。mdl解：解：由由ld2得ld2223004030max G272180.009425.MPamaxpmW009425100041663.118.N m2例例15 15：有两根圆轴，一为实心轴，一为空心轴，它有两根圆轴，一为实心轴，一为空心轴，它们的长度、横截面面积和承受的外力偶矩均相同。外们的长度、横截面面积和承受的外力偶矩均相同。外力偶矩力偶矩m=10KNm，轴长，轴长l=1m，剪切模量，剪切模量G=80GPa，实心轴直径为实心轴直径为104mm，空心轴外
30、径为，空心轴外径为120mm，内径为，内径为60mm。试比较它们的最大扭转角。试比较它们的最大扭转角。解：解：实心轴实心轴PT lG I34129(10 10)110410(80 10)32310.89 10 rad空心轴空心轴36.55 10 radPT lG I344129(10 10)1(12060)10(80 10)323310.89 101.6636.55 10实空ACB1m2m3mABlACl例例16 16：钢制实心圆截面轴，钢制实心圆截面轴，d=70mm，G=80GPa，lAB300mm，lAC500mm，m1=1592Nm，m2=955Nm，m3=637Nm，试求截面试求截面C
31、相对截面相对截面B的扭转角。的扭转角。解：解：假设假设A截面不动截面不动ABABBAPTlG IACACCAPTlG I34129955300107010(8010)3234129637500107010(8010)3231.52 10 rad31.69 10 rad41.7 10CBCABArad方向同方向同m3第一种解法第一种解法ACB1m2m3mABlAClm1=1592Nmm2=955Nmm3=637Nm第二种解法第二种解法 叠加法叠加法 在线弹性范围和小变形在线弹性范围和小变形条件下，可采用条件下，可采用叠加法叠加法 假设假设B截面不动。分别截面不动。分别求出在求出在m1和和m3单独
32、作用下，单独作用下，C截面相对截面相对B截面的扭转角，截面的扭转角，然后叠加。然后叠加。ACB1m2m3mABlAClm1=1592Nm,m2=955Nm,m3=637Nm31()ABACABCBPPmllm lG IG I33412412991592 300 10637(300500)1070107010(80 10)(80 10)323241.7 10 rad转向与转向与m1相反与相反与m3相同相同扭转超静定问题解法扭转超静定问题解法例例17 17：两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C受受外力偶矩外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。作用，试求杆两端的支座
33、反力偶矩。mCBA b解：解：mmmAB静力平衡方程为：静力平衡方程为：0ABACCB变形协调条件为：变形协调条件为：maG Im bG IApBp0即：即：Am bmlBm amlmCBA bmmBmA8-3 弯曲变形计算 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。零件的加工精度，甚至会出现废品。桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走则会使小车行走困难，出现爬坡现象。困难，出现爬坡现象。但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足
34、特定的工作需要。弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。以缓解车辆受到的冲击和振动作用。P2P2P一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程 1 1、挠曲线、挠曲线挠曲线挠曲线2 2、挠度和转角、挠度和转角规定：规定：向上的挠度为正向上的挠度为正 逆时针的转角为正逆时针的转角为正挠曲线方程：挠曲线方程：()y f x转角方程：转角方程：d()dyfxx tan挠度挠度y(f)：横截面形心处的铅垂位移：横截面形心处的铅垂位移转角转角：横截面绕中性轴转过的角度：横截面绕中性轴转过的角度yx
35、yx3 3、梁的挠曲线近似微分方程、梁的挠曲线近似微分方程zEIM1Kyy()/123 2曲线曲线y=f(x)的曲率为：的曲率为：梁纯弯曲时中性层的曲率：梁纯弯曲时中性层的曲率：2 3/21(1)yy y zMyEIyMEI 或EIyM M 0 xy0y MMMMM 00yxy式中积分常数式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定由边界条件和连续条件确定()EIyM x()dEIyM xxC()d dEIyM xx xCxD二、积分法求弯曲变形二、积分法求弯曲变形没有约束无法确定位移没有约束无法确定位移约束对位移的影响约束对位移的影响1 1、连续光滑曲线，铰支座对位移的限制、连续光滑曲线，铰支
36、座对位移的限制0AByy2 2、连续光滑曲线，固定端对位移的限制、连续光滑曲线，固定端对位移的限制0,0BBy3 3、光滑连续条件、光滑连续条件PCccccyy例18：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁。试求图示简支梁在均布载荷在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定定max和和ymax。xylq解：解：M xqlxqx()222222qlqEIyxx 2346qlqEIyxxC 341224qlqEIyxxCxD由边界条件：由边界条件：000 xyxly时，时，得：得：CqlD 3240,xqlxyAB梁的转角方程和挠曲线方程分
37、别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：qEIlxxl2464233()233(2)24qxylxxlEI最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max ABqlEI3244max25384lxqlyyEI xqlxyAB A B例19：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁。试求图示悬臂梁在集中力在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定定max和和ymax。xylPAB解：解：M xP lx()()EIyPxPl 22PEIyxPlxC 3262PPlEIyxxCxD由边界条件：由边界条件：00,0 xyy时，得：得：CD
38、0 xylPABx梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：PxEIxl22()2(3)6PxyxlEI最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max BPlEI223max3BPlyyEI xylPABxB例例2020：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支。试求图示简支梁在集中力梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定并确定max和和 ymax。xyl2PABCl2解：解：ACM xPx段：()22PEIyx 24PEIyxC 312PEIyxCxD由边界条件：由边界条件：00 xy时，得：得：D 0由
39、对称条件：由对称条件：02lxy时，得：得：CPl 216xyl2PABCl2xAC段段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：PEIxl16422()22(43)48PxyxlEI最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max ABPlEI2163max248lxPlyyEI xyl2PABCl2x讨论：讨论：0c例例21 21：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定的转角方程、挠曲线方程，并确定max和和ymax。yaqABCxaaaDE解：解：由对称性，只考虑半跨梁由对称性，只考虑半跨梁A
40、CDMxqaxxa11110()()112222()2EIyqaxqEIyqaxxaMxqaxqxaaxa22222222()()()yaqABCxaaaDEqaqax1x2由连续条件由连续条件：121212,xxayyyy时21112qaEIyxC由边界条件：由边界条件：由对称条件由对称条件：得CCDD1212110,0 xy时得 D10222,0 xay时得 Cqa23116 11EIyqax2222()2qEIyqaxxa3111 116qaEIyxC xD232222()26qaqEIyxxaC34222222()624qaqEIyxxaC xD梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角
41、方程和挠曲线方程分别为：22111233222223111134322222(113)06 3()1126(11)06 4()44224qaaxxaEIqaxxaaaxaEIqaya xxxaEIqyaxxaa xaxaEI 最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：13max10116AxqaEI 24max22198xaqayyEI 例例2222：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求求A端端的挠度的挠度fA解：解：AC段（段（0 x l/2）()M xP x EIyP x 212PEIyxC 3116PEIyxCx D()M xP x 2EIyP x 2
42、222PEIyxC 32226PEIyxC xD 2lABP2IICx2lCB段（段（l/2 x l）由边界条件：由边界条件：由连续条件：由连续条件：2ClxC左C右左C右时,y=y,=得：得：232211,23CPlDPl 231153,1616CP lDP l AC段挠度方程为：段挠度方程为：3231153()61616yPxPl xPlEI令令0 x 得得:3316APlfEI ()x=l时时，y=0，=0三、叠加法求弯曲变形三、叠加法求弯曲变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载载荷与它所引起的变形成线性关系。荷与它所引起的变形成线性关系。
43、当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。个载荷单独作用下的变形，然后叠加。例例2323：用叠加法求用叠加法求fC、A、B。qPmABCl/2l/2解：解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加将梁上的各载荷分别引起的位移叠加Cf 53844qlEIPlEI348mlEI216()AqlEI324PlEI216mlEI3()BqlEI324PlEI21
44、6mlEI3()mA B CqPl/2 l/2A B Cql/2 l/2A B CPl/2 l/2A B Cml/2 l/2逐段刚化法：逐段刚化法：变形后：变形后：AB AB BC BC变形后变形后AB部分部分为曲线，但为曲线，但BC部分仍为直线。部分仍为直线。C点的位移为：点的位移为：wc2LwwwwBBcBc例例2424：求外伸梁求外伸梁C点的位移。点的位移。解：解：将梁各部分分别将梁各部分分别引起的位移叠加引起的位移叠加ABCP刚化刚化EI=LaCABPPCfc11、BC部分引起的位移部分引起的位移fc1、c1c1EIpafc331EIpac2212、AB部分引起的位移部分引起的位移fc
45、2、c2CABP刚化刚化EI=fc2 B2P B2aEIPaLafBc32223BPaLEI 21cccfff21cccPa例例2525：已知梁的已知梁的EI为常数，今欲使梁的挠为常数，今欲使梁的挠曲线在曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值处出现一拐点，则比值m1/m2为为多少？多少？lm2xm1解：解：由梁的挠曲线近似微分方程由梁的挠曲线近似微分方程()EIyM x 知，在梁挠曲线的拐点处有：知，在梁挠曲线的拐点处有：从弯矩图可以看出：从弯矩图可以看出：2121mmlm2xm1M 0Mm2m1拐点：曲线凹与凸拐点：曲线凹与凸 的分界点的分界点0y 例例2626：欲使欲使AD梁梁C点挠度为零，
46、求点挠度为零，求P 与与q的关系的关系。qPACBD 解：解：45(2)384CqafEI PaaEI()2162 0Pqa56qPA C B D qA C B D PA C B D PPA C B D 例例2727：若图示梁若图示梁B端的转角端的转角B=0，则力偶，则力偶矩矩m等于多少？等于多少？PmACB 解：解：BPaEI 22maEI20mPa4PmA C B PA C B mA C B 例例2828：求图示梁求图示梁 C、D两点的挠度两点的挠度 fC、fD。qqA C B D 2 解：解：qqA C B D 2 qqA C B D 2 445(2)50,38424CDqaqaffEI
47、EI 例例2929：求图示梁求图示梁B、D两处的挠度两处的挠度 fB、fD2 q2q A C B D解：解：434(2)(2)14833BqaqaaqafEIEIEI 342(2)82483BDfqaaqafEIEIqa为为B处约束力处约束力qABq 2q CBD2 q2q A C B D例例3030：用叠加法求图示变截面梁用叠加法求图示变截面梁B、C截截面的挠度面的挠度 fB、fC。PEI2EI ABC解：解：323(2)2(2)BPaPa afEIEI33BBCfaPafEI 3512PaEIBPaEIPa aEI22 22()234PaEI顺时针 332PaEIEIC2EIAB PCEI
48、BPEIP2EIABPP 例例31 31：用叠加法求图示梁端的转角和挠度。用叠加法求图示梁端的转角和挠度。P ABCq 解：解：3364BCqaqaEIEI顺时针BqaaEIqaaEI22223216()312qaEI顺时针 445824BCqaqafEIEIaP=q P=q m=q/2ABqCBP=q qABC 例例3232：用叠加法求图示梁跨中的挠度用叠加法求图示梁跨中的挠度fC和和B点的转角点的转角B（k为弹簧系数）。为弹簧系数）。qABCEIkl/2l/2解：解：弹簧缩短量弹簧缩短量BqkqlEIqlEI8224222433378384qqakEI顺时针 4516768CqlqlfkE
49、I qlk88qlB处反力=kqEIl l/2l l/2ABCqkABCq/2ABCq/2q/2ABC例例3333：图示梁图示梁B处为弹性支座，弹簧刚处为弹性支座，弹簧刚 度度k=EI/2a3，求，求C端挠度端挠度fC。qEIk 2 2 ABC解：解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为点挠度为 41332CqaqafkEI 342(2)243CqaqafaEIEI(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为点挠度为(3)C点总挠度为点总挠度为 41283CCCqafffEIBqa处 反 力=qk 2 ABCqk 2 ABCqk 2 AB
50、CEIALBq四、静不定梁的解法 用用“多余多余”反力反力代替代替“多余多余”约束，约束，就得到一个形式上就得到一个形式上的静定梁，该梁称的静定梁，该梁称为原静不定梁的相为原静不定梁的相当系统当系统,亦称亦称基本静基本静定系定系。一个静不定结构一个静不定结构往往有多个基本静往往有多个基本静定系定系l l qABqABRBqBAMA例例3535：求图示静不定梁的支反力。求图示静不定梁的支反力。qABl 解法一：解法一：将支座将支座B看看成多余约束，变形协调成多余约束，变形协调条件为：条件为：0Bf 即R lEIqlEIB34380RqlB38ABql l ABqRB 解法二：解法二：将支座将支座
