1、 绝密启用前 2001 年普通高等学校春季招生考试（上海卷）年普通高等学校春季招生考试（上海卷） 数学数学 考生注意：本试卷共有考生注意：本试卷共有 22 道试题，满分道试题，满分 150 分分 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有分）本大题共有 12 题只要求直接填写结果，每题填对得题只要求直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律是零分分，否则一律是零分 1函数)0( 1)( 2 +=xxxf的反函数= )( 1 xf_ 2若复数z满足方程1=ii z（i是虚数单位） ，则z=_ 3函数 x x y cos1 sin =的最小正周期为_ 4二项式 6 ) 1
2、( x x+的展开式中常数项的值为_ 5若双曲线的一个顶点坐标为（3，0） ，焦距为 10，则它的标准方程为_ 6圆心在直线xy =上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为_ 7计算： n n n n ) 1 3 (lim + + =_ 8若向量，满足|=+，则与所成角的大小为_ 9在大小相同的 6 个球中，2 个红球，4 个是白球若从中任意选取 3 个，则所选的 3 个球 中至少有 1 个红球的概率是_ （结果用分数表示） 10若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即 2 ba ba + =，则两边均 含有运算符号“*”和“+” ，且对于任意 3 个实当选a、b、c都能成立的一
3、个等式可以是 _ 奎屯 王新敞 新疆 11关于x的函数)sin()(+=xxf有以下命题： （1）对任意的，)(xf都是非奇非偶函数； （2）不存在，使)(xf既是奇函数，又是偶函数； （3）存在，使)(xf是奇函数； （4）对任意的，)(xf都不是偶函数 奎屯 王新敞 新疆 其中一个假命题的序号是_ 奎屯 王新敞 新疆因为当=_时，该命题的结论不成立 奎屯 王新敞 新疆 12 甲、 乙两人于同一天分别携款 1 万元到银行储蓄， 甲存五年期定期储蓄， 年利率为 2.88% 奎屯 王新敞 新疆 乙存一年期定期储蓄， 年利率为 2.25%， 并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄 奎屯 王新敞 新
4、疆按规定 每次计息时，储户须交纳利息的 20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款， 则甲与乙所得本息之和的差为_元 奎屯 王新敞 新疆（假定利率五年内保持不变，结果精确到 1 分） 奎屯 王新敞 新疆 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个的四个 结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对 得得 4 分，不选，选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括
5、号内） ，一律得零分分，不选，选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内） ，一律得零分 奎屯 王新敞 新疆 13若a、b为实数，则0ba是 22 ba 的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分条件也非必要条件 14若直线1=x的倾斜角为，则（ ） （A）等于 0 （B）等于 4 （C）等于 2 （D）不存在 15若有平面与，且lPPl=,，则下列命题中的假命题为（ ） （A）过点P且垂直于的直线平行于 （B）过点P且垂直于l的平面垂直于 （C）过点P且垂直于的直线在内 （D）过点P且垂直于l的直线在内 16若数列 n a前 8 项的值各异，
6、且 n8n aa= + 对任意的Nn都成立，则下列数列中可取遍 n a前 8 项值的数列为（ ） （A） 12 +k a （B） 13 +k a （C） 14 +k a （D） 16 +k a 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 86 分）本大题共有分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17 （本题满分 （本题满分 12 分）分） 已知R为全集，1 2 5 |,2)3(log| 2 1 + = x xBxxA，求BA 18 （本题满分 （本题满分 12 分）分） 已知) 24 ( 1 2sinsin2 2 = + + k tg ，试
7、用k表示cossin的值 19 （本题满分 （本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 5 分，第分，第 2 小题满分小题满分 9 分分 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器（如图） ， 设容器的高为h米，盖子边长为a米 （1）求a关于h的函数解析式； （2）设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值 （求解本题时，不计容器的厚度） 2020 （本题满分 （本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 5 5 分，第分，第 2 2 小题满
8、分小题满分 9 9 分分 奎屯 王新敞 新疆 在长方体 1111 DCBAABCD中，点E、F分别 1 BB、 1 DD上，且BAAE 1 ，DAAF 1 奎屯 王新敞 新疆 （1）求证：AEFCA平面 1 ； （2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角） ，则在 空间中有定理： 若两条直线分别垂直于两个平面， 则这两条直线所成的角与这两个平面所成若两条直线分别垂直于两个平面， 则这两条直线所成的角与这两个平面所成 的角相等的角相等 奎屯 王新敞 新疆 试根据上述定理，在4=AB，3=AD，5 1 =AA时，求平面AEF与平面BDBD 11 所 成的角的大小 奎屯
9、王新敞 新疆（用反三角函数值表示） 21 （本题满分 （本题满分 16 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 9 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分分 奎屯 王新敞 新疆 已知椭圆C的方程为1 2 2 2 =+ y x， 点),(baP的坐标满足1 2 2 2 + b a 奎屯 王新敞 新疆过点P的直线l与椭 圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求： （1）点Q的轨迹方程； （2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数 22 （本题满分 （本题满分 18 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 5 分，第分，第 2 小题
10、满分小题满分 13 分分 已知 n a是首项为 2，公比为 2 1 的等比数列， n S为它的前n项和 （1）用 n S表示 1+n S； （2）是否存在自然数c和k，使得2 1 + cS cS k k 成立 数学试卷答案要点及评分标准数学试卷答案要点及评分标准 说明：说明： 1本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答 中评分标准的精神进行评分 2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时， 可视影响程度决定后面部分的给分， 这时原则上
11、不应超过后面部分应给分 数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 3给分或扣分均以 1 分为单位 答案及评分标准答案及评分标准 一、 （第一、 （第 1 至至 12 题）每一题正确的给题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1 ) 1(1xx 2 i1 3 2 420 5 1 169 22 = yx 6 1) 1() 1( 22 =+yx 7 2 e 890 95 4 10 ),(*)()*(cabacba+=+ . 等)()( ,)()()()( ),()()*( cb*aca*b *bca*acb*cbacba* b*ca*ccba +=+ +=+=+=+ +=+
12、11 （1） ， )(Zkk ； （1） ， )( 2 Zkk+ ； （4） ， )( 2 Zkk+ 等 奎屯 王新敞 新疆 （两个空格全填对时才能得分，其中k也可以写成任何整数） 12219.01 二、 （第二、 （第 13 至至 16 题）每一题正确的给题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 奎屯 王新敞 新疆 13A 14C 15D 16B 三、 （第三、 （第 17 至至 22 题）题） 17解解 由已知4log)3(log 2 1 2 1 x 因为xy 2 1 log=为减函数，所43x 由 03 43 x x 解得31x 所以31|=xxA 由1 2 5 +x
13、 ，解得32x 奎屯 王新敞 新疆所以 32|=xxB 于是31|=xxxA或 故312|=xxxBA或 18解解 因为= + + cossin2 tg1 2sinsin2 2 所以=cossin2k 因而k=1cossin21)cos(sin 2 又 24 ，于是0cossin 因此k=1cossin 19解解（1）设 h为正四棱锥的斜高 由已知 =+ =+ , ha 4 1 h , 2a h 2 1 4a 222 2 解得)0( 1 1 2 + =h h a （2）)0( ) 1( 33 1 2 2 + =h h h haV 易得 ) h 1 h(3 1 V + = 因为2 1 2 1 =
14、+ h h h h，所以 6 1 V 等式当且仅当 h h 1 =，即1=h时取得 奎屯 王新敞 新疆 故当1=h米时，V有最大值，V的最大值为 6 1 立方米 20证证（1）因为BACB 1 平面，所CA1在平面BA1上的射影为BA1 由BAAEAEBA 11 ,平面，得AECA 1 ， 同理可证AFCA 1 因为AECAAFCA 11 , 所以AEFCA平面 1 解（2）过A作BD的垂线交CD于G， 因为AGDD 1 ，所以BDBDAG 11 平面 设AG与CA1所成的角为，则即为平面AEF与平面BDBD 11 所成的角 由已知，计算得 4 9 =DG 如图建立直角坐标系，则得点(0,0,
15、0)A， )0 , 3 , 4(),5 , 0 , 0(),0 , 3 , 4 9 ( 1 CAG， 5, 3 , 4,0 , 3 , 4 9 1 =CAAG， 因为AG与CA1所成的角为 所以 25 212 | cos 1 1 = = CAAG CAAG 25 212 arccos= 由定理知，平面AEF与平面CEF所成角的大小为 25 212 arccos 21解解（1）设点A、B的坐标分别为),( 11 yxA、),( 22 yxB，点Q的坐标为),(yxQ当 21 xx 时，设直线l的斜率为k，则l的方程为baxky+=)( 由已知1 2 , 1 2 2 22 2 2 12 1 =+=
16、+ y x y x （1） baxkybaxky+=+=)(,)( 2211 （2） 由（1）得 0)( 2 1 )( 21212121 =+yyyyxxxx， （3） 由（2）得 bakxxkyy22)( 2121 +=+， （4） 由（3） 、 （4）及 2 21 xx x + =， 2 21 yy y + =， 21 21 xx yy k =， 得点 Q 的坐标满足方程 022 22 =+byaxyx 奎屯 王新敞 新疆 （5） 当 21 xx =时，k 不存在，此时 l 平行于 y 轴，因此 AB 的中点 Q 一定落在 x 轴上，即 Q 的坐 标为（a，0） 奎屯 王新敞 新疆显然点
17、Q 的坐标满足方程（5） 奎屯 王新敞 新疆 综上所述，点 Q 的坐标满足方程 022 22 =+byaxyx 奎屯 王新敞 新疆 设方程（5）所表示的曲线为 L， 则由 =+ =+ , 1 2 , 022 2 2 22 y x byaxyx 得024)2( 2222 =+baxxba 奎屯 王新敞 新疆 因为 +=1 2 8 2 22 b ab，由已知1 2 2 2 + b a， 所以当1 2 2 2 =+ b a时，=0，曲线 L 与椭圆 C 有且只有一个交点 P（a，b） 奎屯 王新敞 新疆 当1 2 2 2 + b a时，0，曲线 L 与椭圆 C 没有交点 奎屯 王新敞 新疆 因为（0
18、，0）在椭圆 C 内，又在曲线 L 上，所以曲线 L 在椭圆 C 内 奎屯 王新敞 新疆 故点 Q 的轨迹方程为022 22 =+byaxyx （2）由 = =+ , 0 , 022 22 x byaxyx 解得曲线 L 与 y 轴交于点（0，0） ， （0，b） 奎屯 王新敞 新疆 由 = =+ , 0 , 022 22 y byaxyx 解得曲线 L 与 x 轴交于点（0，0） ， （a，0） 当 a=0，b=0，即点 P（a，b）为原点时， （a，0） 、 （0，b）与（0，0）重点，曲线 L 与坐标 轴只有一个交点（0，0） 奎屯 王新敞 新疆 当 a=0 且20 b，即点 P（a，b
19、）不在椭圆 C 外且在除去原点的 y 轴上时，点（a，0） 与（0，0）重合，曲线 L 与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0） 奎屯 王新敞 新疆 同理，当 b=0 且10 a，即点 P（a，b）不在椭圆 C 外且在除去原点的 x 轴上时，曲线 L 与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0） 奎屯 王新敞 新疆 当10 a且)1 (20 2 ab，即点 P（a，b）在椭圆 C 内且不在坐标轴上时，曲线 L 与坐标轴有三个交点（a，0） 、 （0，b）与（0，0） 奎屯 王新敞 新疆 22解解（1）由 = n n S 2 1 14，得 )(2 2 1 2 1 14 1 1 Nn SS n n n
20、 += = + + 奎屯 王新敞 新疆 （2）要使2 1 + cS cS k k ，只要0 2 2 3 k k Sc Sc 奎屯 王新敞 新疆 因 为4 2 1 14 = k k S， 所 以N)(k SSS kkk = 0 2 1 22 2 3 ， 故 只 要 N)(k ScS kk 2 2 3 奎屯 王新敞 新疆 因为)( 1 NkSS kk + ，所以12 2 3 2 2 3 1 =SSk， 又4 k S，故要使成立，c 只能取 2 或 3 奎屯 王新敞 新疆 当 c=2 时，因为2 1 =S，所以当 k=1 时， k Sc 不成立，从而不成立 奎屯 王新敞 新疆 因为cS= 2 5 2 2 3 2 ，由)( 1 NkSS kk + ，得 2 2 3 2 2 3 1 +kk SS，所以当2k时，cSk2 2 3 ，从而不成立 奎屯 王新敞 新疆 当 c=3 时，因为2 1 =S，3 2 =S， 所以当 k=1，2 时， k Sc 不成立，从而不成立 奎屯 王新敞 新疆 因为cS= 4 13 2 2 3 3 ，又2 2 3 2 2 3 1 +kk SS， 所以当3k时，cSk2 2 3 ，从而不成立 奎屯 王新敞 新疆 故不存在自然数 c、k，使2 1 + cS cS k k 成立 奎屯 王新敞 新疆
