1、 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（理工农医类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 奎屯 王新敞 新疆第卷 1 至 2 页 奎屯 王新敞 新疆第卷 3 至 10 页 奎屯 王新敞 新疆考试结束后. 将本试卷和答题卡一并交回 奎屯 王新敞 新疆 第卷（选择题 共 60 分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 奎屯 王新敞 新疆 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 奎屯 王新敞 新疆 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么
2、 球的表面积公式 P（A+B）=P（A）+P（B） S=4R2 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P（AB）=P（A） P（B） 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P. 3 3 4 RV= 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP =)1 ()( 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1= + 2 )3( 31 i i （ ） Ai 4 3 4 1 + Bi 4 3 4 1 Ci 2 3 2 1 + Di 2
3、 3 2 1 2 已知=xxx2tan, 5 4 cos),0 , 2 (则 （ ） A 24 7 B 24 7 C 7 24 D 7 24 3设函数 = 0 , 0, 12 )( , 2 1 xx x xf x 若1)( 0 xf，则 x0的取值范围是 （ ） A （1，1） B （1，+） C （，2）（0，+） D （，1）（1，+） 4O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 )., 0 | (+= AC AC AB AB OAOP则 P 的轨迹一定通过ABC 的 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 5函数), 1 (, 1 1 ln+ + =x x
4、 x y的反函数为 （ ） A), 0(, 1 1 + + =x e e y x x B), 0(, 1 1 + + =x e e y x x C)0 ,(, 1 1 + =x e e y x x D)0 ,(, 1 1 + =x e e y x x 6棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） A 3 3 a B 4 3 a C 6 3 a D 12 3 a 7设cbxaxxfa+= 2 )(, 0，曲线)(xfy =在点)(,( 00 xfxP处切处的倾斜角的取值 范围为 4 , 0 ，则 P 到曲线)(xfy =对称轴距离的取值范围为 （ ） A 1
5、, 0 a B 2 1 , 0 a C| 2 | , 0 a b D| 2 1 | , 0 a b 8已知方程0)2)(2( 22 =+nxxmxx的四个根组成的一个首项为 4 1 的等差数列，则 =|nm （ ） A1 B 4 3 C 2 1 D 8 3 9已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0 ,7(= xyFM、N 两点， MN 中点的横坐标为, 3 2 则此双曲线的方程是 （ ） A1 43 22 = yx B1 34 22 = yx C1 25 22 = yx D1 52 22 = yx 10已知长方形的四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0
6、，1）.一质点从 AB 的中点 P0沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2，P3和 P4（入射角等于反射角） 奎屯 王新敞 新疆设 P4的坐标为（x4，0） ，若 21 4 x ， 则tan的取值范围是 （ ） A （ 3 1 ，1） B） 3 2 , 3 1 ( C) 2 1 , 5 2 ( D) 3 2 , 5 2 ( 11= + + )( lim 11 4 1 3 1 2 22 4 2 3 2 2 n n n CCCCn CCCC （ ） A3 B 3 1 C 6 1 D6 12一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，
7、则此球的表面积为 （ ） A3 B4 C33 D6 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案填在题中横线上. 13 92 ) 2 1 ( x x 展开式中 9 x的系数是 . 14某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆，为检验该公司的 产品质量 奎屯 王新敞 新疆现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 奎屯 王新敞 新疆 15某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分 （如图）.现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一 种且相邻部分不能栽种同样
8、颜色的花，不同的栽种方 法有 奎屯 王新敞 新疆（以数字作答） 16下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点， 能得出 l面 MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 已知函数)cos(sinsin2)(xxxxf+=. （1）求函数)(xf的最小正周期和最大值； （2）在给出的直角坐标系中，画出函数)(xfy =在区间 2 , 2 上的图象. x y O 18 （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABCA1B1
9、C1中，底面是等腰直角三角形， ACB=90，侧棱 AA1=2， D、E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的垂心 G. （）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ； （）求点 A1到平面 AED 的距离. AB C A1B1 C1 E D G 19 （本小题满分 12 分） 设0a，求函数), 0()(ln()(+=xaxxxf的单调区间. 20 （本小题满分 12 分） A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是 A1，A2，A3，B 队队员是 B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜
10、负概率如下： 对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率 A1对 B1 3 2 3 1 A2对 B2 5 2 5 3 A3对 B3 5 2 5 3 现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分，设 A 队、B 队最后所得总 分分别为、 （1）求、的概率分布； （2）求 E，E. 21 （本小题满分 14 分） 已知常数 a0，向量 c=（0，a） ，i=（1，0） ，经过原点 O 以 c+i 为方向向量的直线与 经过定点 A（0，a）以 i2c 为方向向量的直线相交于点 P，其中R.试问：是否存 在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；
11、若不存在，说明理 由. 22 （本小题满分 14 分） 设 0 a为常数，且)(23 1 1 Nnaa n n n = （1）证明对任意 0 1 2) 1(2) 1(3 5 1 , 1aan nnnnn n += ； （2）假设对任意1n有 1 nn aa，求 0 a的取值范围. 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学试题（理工农医类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 5 分，满分 60 分 奎屯 王新敞 新疆 1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基
12、本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分 奎屯 王新敞 新疆 13 2 21 146，30，10 15120 16 三、解答题 17本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分 12 分. 解： （1）xxxxfcossin2sin2)( 2 +=xx2sin2cos1+= ) 4 sin2cos 4 cos2(sin21 xx+= ) 4 2sin(21 +=x 所以函数)(xf的最小正周期为，最大值为21+. （2）由（1）知 1 8 5 21 8 3 1 8 21 8 1 8 3 + y x 故函数)(xfy =在区间 2 , 2 上的图象是 18本
13、小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空 间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分. 解法一： （）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC， AB C A1B1 C1 E D F G K . 3 2 arcsin . 3 2 3 1 3 6 sin . 3, 32,22,2 . 3 6 3 21 ,2 )4(. 3, 1, 3 1 ., , 1 1 22 11 所成的角是与平面 于是 分 中在直角三角形的重心是连结 为矩形平面又的中点分别是 ABDBA EB EG EBG
14、EBBAABCDFC EGED FDEFFDFDFGEF EFDDFGADBGDE CDEFABCDCBACCED = = = = = （）连结 A1D，有 EAADAEDA VV 11 = ,FABEFEFEDABED=又 ABAED 1 平面, 设 A1到平面 AED 的距离为 h， 则EDShS ABAAED = 1 3 62 1 =KA . 故 A1到平面 AED 的距离为 3 62 . 19本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分 12 分. 解： )0( 1 2 1 )( + =x axx xf . 当0, 0xa时 0)42(0)( 22
15、 +axaxxf. 0)42(0)( 22 +axaxxf （i）当1a时，对所有0x，有0)42( 22 +aax. 即0)( x f，此时)(xf在), 0( +内单调递增. （ii）当1=a时，对1x，有0)42( 22 +axax， 即0)( x f，此时)(xf在（0，1）内单调递增，又知函数)(xf在 x=1 处连续，因此， 函数)(xf在（0，+）内单调递增 （iii）当10 a时，令0)( x f，即0)42( 22 +axax. 解得aaxaax+122,122或. 因此，函数)(xf在区间)122 , 0(aa内单调递增，在区间),122(+aa 内也单调递增. 令0)42
16、(, 0)( 22 +axaxxf即， 解得aaxaa+122122. 因此，函数)(xf在区间)122 ,12-2aaaa+（内单调递减. 20本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分 12 分）. 解： （1）、的可能取值分别为 3，2，1，0. 75 8 5 2 5 2 3 2 )3(=P 75 28 5 2 5 3 3 2 5 2 5 2 3 1 5 3 5 2 3 2 )2(=+=P 5 2 5 2 5 3 3 1 5 3 5 2 3 1 5 3 5 3 3 2 ) 1(=+=P ， 25 3 5 3 5 3 3 1 )0(=P 又2
17、4 1 2 1 1 11 = ABAASS ABAAEB ， 2 6 2 1 = EDAES AED ， 3 62 2 6 22 = =h . 解法二： （1）连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即A1BG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为 O，设 CA=2a， 则 A（2a，0，0） ，B（0，2a，0） ，D（0，0，1） A1（2a，0，2） E（a，a，1） G（ 3 1 , 3 2 , 3 2aa ）. ) 1 ,2, 0(), 3 2 , 3 , 3 (aBD aa GE=， 0 3 2 3 2 2 =+=aBDGE，解得 a
18、=1. ), 3 1 , 3 4 , 3 2 (),2 , 2, 2( 1 =BGBA 3 7 21 3 1 32 3/14 | cos 1 1 1 = = = BGBA BGBA BGA . A1B 与平面 ABD 所成角是 3 7 arccos . z y x AB C A1B1 C1 E D F G K （2）由（1）有 A（2，0，0） ，A1（2，0，2） ，E（1，1，1） ，D（0，0，1） 0)0 , 1, 1()2 , 0 , 0(001, 1() 1 , 1 , 1( 1 =EDAAEDAE，）， ED平面 AA1E，又 ED平面 AED. 平面 AED平面 AA1E，又面
19、 AED面 AA1E=AE， 点 A 在平面 AED 的射影 K 在 AE 上. 设AEAK=， 则)2,( 11 =+=AKAAKA 由0 1 = AEKA，即02 =+， 解得 3 2 =. ) 3 4 , 3 2 , 3 2 ( 1 =KA 根据题意知+=3，所以 P(=0)=P(=3)= 75 8 , P(=1)=P(=2)= 75 28 P(=2)=P(=1)= 5 2 , P(=3)=P(=0)= 25 3 . （2） 15 22 25 3 0 5 2 1 75 28 2 75 8 3=+=E ； 因为+=3，所以 . 15 23 3=EE 21本小题主要考查平面向量的概念和计算,
20、求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质， 曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分 12 分. 解：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P 到两定点 距离的和为定值. i=（1，0） ，c=（0，a） ， c+i=（，a） ，i2c=（1，2a）. 因此，直线 OP 和 AP 的方程分别为 axy = 和 axay2=. 消去参数，得点 ),(yxP 的坐标满足方程 22 2)(xaayy=. 整理得 . 1 ) 2 ( ) 2 ( 8 1 2 2 2 = + a a y x 因为, 0a所以得： （i）当 2 2 =
21、a时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F； （ii）当 2 2 0 a 时，方程表示椭圆，焦点 ) 2 , 2 1 2 1 ( 2 a aE 和 ) 2 , 2 1 2 1 ( 2 a aF 为合乎题意的两 个定点； （iii）当 2 2 a 时，方程也表示椭圆，焦点 ) 2 1 ( 2 1 , 0( 2 +aaE 和 ) 2 1 ( 2 1 , 0( 2 aaF 为合乎 题意的两个定点. 22本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题 的能力，满分 14 分. （1）证法一： （i）当 n=1 时，由已知 a1=12a0，等式成立
22、； （ii）假设当 n=k（k1）等式成立，则,2) 1(2) 1(3 5 1 0 1 aa kkkk k += 那么 0 11 1 2) 1(2) 1(3 5 2 323aaa kkkkkk k k k + + += .2) 1(2) 1(3 5 1 0 1111 a kkkkk+ += 也就是说，当 n=k+1 时，等式也成立. 根据（i）和（ii） ，可知等式对任何 nN，成立. 证法二：如果设),3(23 1 1 1 = n n n n aaa 用 1 1 23 = n n n aa代入，可解出 5 1 =a. 所以 5 3n n a 是公比为2，首项为 5 3 1 a 的等比数列.
23、).()2)( 5 3 21 ( 5 3 1 0 Nnaa n n n = 即 .2) 1( 5 2) 1(3 0 1 aa nn nnn n + + = （2）解法一：由 n a通项公式 .23) 1( 5 23) 1(32 0 1 111 1 aaa nn nnn nn + + = )( 1 Nnaa nn 等价于 ).() 2 3 () 15() 1( 2 0 1 Nna nn （i）当 n=2k1，k=1，2，时，式即为 32 0 22 ) 2 3 () 15() 1( kk a 即为 . 5 1 ) 2 3 ( 5 1 32 0 + k a 式对 k=1，2，都成立，有 . 3 1
24、5 1 ) 2 3 ( 5 1 1 0 =+ a （ii）当 n=2k，k=1，2，时，式即为 .) 2 3 () 15() 1( 22 0 12 kk a 即为 . 5 1 ) 2 3 ( 5 1 22 0 + k a 式对 k=1，2，都成立，有 . 0 5 1 ) 2 3 ( 5 1 212 0 =+ a 综上，式对任意 nN*，成立，有. 3 1 0 0 a 故 a0的取值范围为). 3 1 , 0( 解法二：如果 1 nn aa（nN*）成立，特别取 n=1，2 有 . 031 001 =aaa . 06 012 =aaa 因此 . 3 1 0 0 a 下面证明当. 3 1 0 0 a时，对任意 nN*， . 0 1 nn aa 由 an的通项公式 .235) 1(23) 1(32)(5 0 1111 1 aaa nnnnn nn += （i）当 n=2k1，k=1，2时， 0 111 1 2352332)(5aaa nnn nn += 02352322 111 =+ nnn （ii）当 n=2k，k=1，2时， 0 111 1 2352332)(5aaa nnn nn += . 02332 11 nn 故 a0的取值范围为). 3 1 , 0(
